LNTwww - User contributions [en]

An e-learning project for Communications Engineering - LNTwww

2024-01-14T22:04:41Z

Tasnad:

=== Dummy===
'''Das hier ist nur ein Test, wie man einen Link in einem neuen Fenster öffnen könnte. Dieser wurde bei den Applets verwendet'''

{{LntAppletLinkEnDe|besselFuns_en|besselFuns}}
  eingefügt aus: https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind

*Wenn man in diesem MediaWiki-Dokumnent das deutsche und das englische Applet öffnet, dann sind insgesamt drei Fenster offen.
*Und wenn man das zweite und dritte Fenster wieder schließt, landet man wieder bei der Beschreibung.
*Das macht doch genau das, was ich möchte. Oder ist da ein Gedankenfehler?
*Ich weiß nur nicht, was mit dem Aufruf „Open Applet in new Tab“ genau passiert. Diese Routine hat Tasnad erstellt.

* Hier ist ein Beispiel: <html><a href="https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/home/" target="_blank">Link Text</a></html>. Man muss auf HTML ausweichen und einen low level HTML Link erstellen. "taret=_blank" heißt ein Klick soll in einem neuen Fenster geöffnet werden.

'''ENDE Dummy'''

$\text{Gerhard Kramer}$  and  $\text{Günter Söder}$
<br>

The e-learning project »LNTwww« offered by the  [https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/home/ »TUM Institute for Communications Engineering«]  provides nine online courses on the subjects of »Communications Engineering«  $\rm (CE)$  and  »Information and Communication Technology«  $\text{(I&C)}$.  The target group of our online offer are students of these or similar disciplines as well as practicing engineers and scientists.

The German version  »www.LNTwww.de«  was created between 2001–2021.  At the beginning of corona  $($2020$)$ we started the English version, which has been finalized in 2023.  In the following we refer to this version  [https://en.lntwww.de »en.lntwww.de«],  whose homepage can be seen in the graphic below.

[[File:LNTwww2023_StartPage_6thJan2024.png|right|frame|Screenshot of the English version  »www.LNTwww.de«.  <u>Note:</u> <br>(1)  '''LNTwww''' is acronym of the German term »'''L'''erntutorial für '''N'''achrichten'''T'''echnik im '''w'''orld '''w'''ide '''w'''eb«.<br>(2)  '''LNT''' also stands for the German name »'''L'''ehrstuhl für '''N'''achrichten'''T'''echnik« of our chair.]]

Here are some features of our e-learning platform:
# »LNTwww« is freely accessible $($no need for registration$)$. No specific system requirements.
# »LNTwww« uses the free server-based software  [https://en.wikipedia.org/wiki/MediaWiki »MediaWiki«],  just like »Wikipedia«, the best-known free encyclopedia.
#The  [https://en.lntwww.de/Book_Overview »Book Collection«] link takes you to the nine courses $($which are referred to as »books«$)$ and to the collection »Biographies and Bibliographies«.
#The  [https://en.lntwww.de/Exercises:Exercise_Overview »Exercises«]  link takes you to a list with a total of around  $640$  exercises and  $3100$  subtasks $($each with detailed sample solution$)$.
#About thirty learning videos $($in German language$)$ can get accessed via the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Videos »Videos«]  link. These are grouped according to the individual courses.
#Via the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets »Applets«]  link you have access to around thirty applets based on HTML5/JavaScript and some older shockwave flash $($SWF$)$ applets.

Other important project features are summarized in the file »About LNTwww«  $($red marked link$)$,  among others:
* [https://en.lntwww.de/LNTwww:About_LNTwww#.28A.29_The_didactic_concept_of_LNTwww »The didactic concept of LNTwww«]:   These rules from 2001 still apply, although »LNTwww« has had to be continuously adapted to developments on the Internet.

* [https://en.lntwww.de/LNTwww:About_LNTwww#.28B.29_Content_and_scope_of_LNTwww »Content and scope of LNTwww«]:   Our online offer corresponds to conventional courses with a total of 36 semester hours per week of lectures and exercises.

===LNTwww Design and Structure===
<br>
»LNTwww« has a book structure. Each »course« corresponds to an own »book« that can be selected via »Book Collection«.
*Each book is divided into several  »main chapters«, 
*each main chapter is divided into several  »chapters«,  and
*each chapter comprises several  »sections«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example A:}$  To illustrate these statements, here is an example of how to use »LNTwww«:

# After pressing the  [https://en.lntwww.de/Book_Overview »Book Collection«]  button, a selection screen will appear with the nine course-books as well as the book »Biographies and Bibliographies«.
# By selecting the book  [https://en.lntwww.de/Information_Theory »Information Theory«],  its "start page" will appear with links to the four main chapters and to the corresponding sub-chapters. Furthermore, beside a brief book summary and bibliographical references, links to exercises and to multimedia elements are part of this information page.
# We now select the first main chapter  »Entropy of Discrete Sources«  and of this in turn the first sub-chapter  [https://en.lntwww.de/Information_Theory/Discrete_Memoryless_Sources »Discrete Memoryless Sources«].  This exemplary sub-chapter explains in eight sections the procedure for calculating the entropy of binary and non-binary sources.
# As in conventional mathematical and technical literature, the facts are illustrated by texts, models, graphs, diagrams, equations and derivations. The last two sections of each sub-chapter contain exercises and references to the topic covered.}}

===LNTwww Exercises===
<br>
The core elements of our didactic concept are »exercises«. We believe that the sensible use of »LNTwww« by a user with previous knowledge should be to work first on the exercises related to his actual learning area and only jump to the corresponding theory section when required.

All exercises have a similar structure:
*Each exercise consists of the »exercise description« and several  »subtasks«. An exercise will only get valued as solved if all subtasks are completed correctly.

* For each exercise, a detailed »sample solution« exists, sometimes with an indication to different solution paths.

* The »exercise types« used are:
# »Single Choice»   ⇒   only one of the  $n$  given answers is correct;<br>      ⇒   Check Box for alternative answers:  ${\huge\circ}$
# »Multiple Choice«   ⇒   of the  $n$  given answers, between zero and  $n$  answers can be correct;<br>      ⇒   Check Box for alternative answers:  $\square$
# »Arithmetic Task«   ⇒   numerical value query,  possibly with sign; <br>    small deviations  $($usually  $\pm 3\%)$  are allowed when checking real-valued results.

* We distinguish between  »exercises«  $($e.g.  »Exercise 1.1»$)$  and  »additional exercises«  $($e.g.  »Exercise 1.1Z«$)$.
# If you were able to solve all exercises of a chapter without any problems,  we believe that you are familiar with the content of the entire chapter. 
#If you have solved one exercise incorrectly,  you should also work on the following,  usually somewhat easier additional exercise.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example B:}$ 
The  $58$  exercises/additional exercises of the first book can be accessed via the link  [https://en.lntwww.de/Category:Signal_Representation:_Exercises »Signal Representation: Exercises«]. 

*From there,  we move on to the individual exercises,  e.g. to  [https://en.lntwww.de/Aufgaben:Exercise_1.1:_Music_Signals »Exercise 1.1: Music Signals«].  This relatively simple exercise consists of
#  one »Single Choice«   ⇒   subtask  '''(1)''',
#  two »Multiple Choice«   ⇒   subtasks  '''(2)''',  '''(3)''',  and
#  one »Arithmetic Task« with two real-valued computational queries   ⇒   subtask  '''(4)'''.

*However,  most of our exercises are not that easy.  Although MediaWiki also calls an arithmetic task  »quiz«,  answering them is usually much more difficult than in the numerous quiz shows on TV.   Because: 
#  There are no predetermined answers in an arithmetic task,  and moreover:
#  Integrals often have to be solved beforehand,  such as in  [[Aufgaben:Exercise_4.4:_Two-dimensional_Gaussian_PDF|»Exercise 4.4: Two-dimensional Gaussian probabilty density function«.]]

*We recommend:  First print the exercise   ⇒   »printable version«  and solve the exercise  offline  before checking  online.
}}

===LNTwww Applets===
<br>
Working with applets in a virtual environment has a similar function to laboratories in mathematical and engineering sciences face-to-face courses:   Supplementing lectures and exercises through independent work by the students on the topic covered.

Starting from the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets »Applet«]  button on the homepage, another click takes you to the »Alphabetic list of all HTML5/JS applets $($English language$)$«. All these twenty-four applets have the same structure:
*The »applet description page« on MediaWiki level provides all information about the theoretical background as well as the purpose and handling of the application.

*The HTML5/JavaScript program with graphical user interface takes over the parameter input and the display of the calculated diagrams and numerical results.

*The most important part of an applet is the »questionnaire«, which guides the user through the program. The user has to solve various tasks along the way: <br>     Predict and evaluate results, optimize parameters, etc.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example C:}$ 
The didactic significance of applets will be demonstrated by applet no. 10:  [[Applets:Eye_Pattern_and_Worst-Case_Error_Probability|»Eye Pattern and Worst-Case Error Probability«]].  We will not go into the detailed explanation of the theoretical background in the »applet description page« here. Just this much:  The »eye diagram« is a proven digital signal transmission tool for quantifying the influence of line dispersion on the quality characteristic »error probability«.

*By pressing »Open applet in new Tab«, the graphical program interface appears, which allows to choose from four coding options and three basic transmission pulse options. Depending on the setting, further parameter values $($as cutoff frequency, rolloff factor, ...$)$ can get determined.   This means that the program offers a large number of setting options. However, not every setting brings the user a relevant learning success and even fewer lead to a so-called "aha effect".

*It was task of the program developers to formulate the »questionnaire» in the lower section $($in this example 14 exercises$)$ and the associated solutions in such a way that the learning success is as great as possible for as many users as possible. A top 10% student naturally has the opportunity to use the applet to set himself tasks that go beyond our questionnaire and thus to delve very deeply into the material presented.

* This applet serves the clarification of difficult facts. Exercise (1), for example, illustrates the step-by-step construction of the eye diagram from the binary symbol sequence for a Gaussian pulse, and Exercise (10) shows the »Overall View« of the eye diagram of a quaternary Nyquist system with rolloff factor $r_f=0.5$.
}}

===LNTwww Learning Videos===
<br>
The realization of a learning video required very many individual steps:  Writing the script and texts   ⇒   Creating a set of slides with only slight differences between successive slides   ⇒   Voicing texts and audio editing   ⇒   Combining texts and images into a coherent video stream.

All of our learning videos $($from 2003–2015$)$ are in German language.  In the English »LNTwww« version, we have dispensed with the very time-consuming translation of the learning videos. Assuming that some visitors to the English version also have sufficient knowledge of German, we also offer these original learning videos here.

Please note the following when handling the learning videos:

*The link  »Videos«  on the homepage provides a list of all thirty-one learning videos, grouped according to the nine courses. Some videos appear for multiple courses.
*After selecting the desired learning video,  a wiki description page appears with a short content description and the user interface.
*From here you can start the video in  »mp4«  and  »ogv«  format.  The browser will search for the appropriate format.
*Each video part can be started by single click and paused by another click.
*The videos can be played by many browsers  $($Firefox, Chrome, Safari, ...$)$  as well as smartphones and tablets.
*The playback speed can be changed:  Firefox offers a submenu after right-clicking on the video.  For Google Chrome you can install the plugin  »Video Speed Controller«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example D:}$ 
We'll take a look at the three-part learning video  [https://en.lntwww.de/Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo) »Der AWGN-Kanal«].  Here you can see the corresponding »video description page« on MediaWiki level. 

At the end of this file you will find the English title »The AWGN Channel « and the English summary:

    $\text{Part 1}$   $($duration 5:59$)$:   $\text{Preliminary remarks}$     $($Common channel models regarding media,  operational equipment,  interference/noise$)$

    $\text{Part 2}$   $($duration 5:14$)$:   $\text{Properties}$  $($additive, white, Gaussian distributed$)$   $\text{and characteristics}$  $($PSD, PDF, variance, standard deviation/rms$)$

    $\text{Part 3}$   $($duration 6:13$)$:   $\text{Calculation/simulation of BER}$  $($bit error rate$)$   $\text{and SNR}$  $($signal-to-noise ratio$)$  $\text{for the optimal binary system}$
}}

===LNTwww Glossary===
<br>
Due to the fact,  that our e–learning project was first conceived in German and the wish for an English version came much later,  the assignment between  »formula sign«   and  »designation«  is not quite easy, e.g.   carrier frequency  $f_{\rm T}$,  equivalent low-pass transmitted signal  $s_{\rm TP}(t)$,  threshold value  $E$.

The link  [[LNTwww:Glossary|»Glossary«]]  on the homepage below can help with the following alphabetically ordered entries:
::  »Formula sign«   ⇒   »German designation«   ⇒   »English designation«<br>

The file »Glossary« is self-explanatory. A few explanations are given under the last menu item  »Some remarks to the Glossary«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example E:}$  In this file you will find the following entries:
:  $f_{\rm T}$   ⇒   Trägerfrequenz   ⇒   carrier frequency<br>
:  $s_{\rm TP}(t)$   ⇒   äquivalentes Tiefpass–Sendesignal   ⇒   equivalent low-pass transmitted signal<br>
:  $ E$   ⇒   $(1)$ Schwellenwert,  $(2)$ Energie   ⇒   $(1)$ threshold value,  $(2)$ energy<br>

From the context,  the decision for  »threshold value«  or  »energy«  should be easy. }}

===Conclusions===
<br>
<br><br>

__NOTOC__

An e-learning project for Communications Engineering - LNTwww

2024-01-14T22:03:32Z

Tasnad:

=== Dummy===
'''Das hier ist nur ein Test, wie man einen Link in einem neuen Fenster öffnen könnte. Dieser wurde bei den Applets verwendet'''

{{LntAppletLinkEnDe|besselFuns_en|besselFuns}}
  eingefügt aus: https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind

*Wenn man in diesem MediaWiki-Dokumnent das deutsche und das englische Applet öffnet, dann sind insgesamt drei Fenster offen.
*Und wenn man das zweite und dritte Fenster wieder schließt, landet man wieder bei der Beschreibung.
*Das macht doch genau das, was ich möchte. Oder ist da ein Gedankenfehler?
*Ich weiß nur nicht, was mit dem Aufruf „Open Applet in new Tab“ genau passiert. Diese Routine hat Tasnad erstellt.

* Hier ist ein Beispiel: {{#tag:html|<a href="https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/home/" target="_blank">Link Text</a>}}. Man muss auf HTML ausweichen und einen low level HTML Link erstellen. "taret=_blank" heißt ein Klick soll in einem neuen Fenster geöffnet werden.

'''ENDE Dummy'''

$\text{Gerhard Kramer}$  and  $\text{Günter Söder}$
<br>

The e-learning project »LNTwww« offered by the  [https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/home/ »TUM Institute for Communications Engineering«]  provides nine online courses on the subjects of »Communications Engineering«  $\rm (CE)$  and  »Information and Communication Technology«  $\text{(I&C)}$.  The target group of our online offer are students of these or similar disciplines as well as practicing engineers and scientists.

The German version  »www.LNTwww.de«  was created between 2001–2021.  At the beginning of corona  $($2020$)$ we started the English version, which has been finalized in 2023.  In the following we refer to this version  [https://en.lntwww.de »en.lntwww.de«],  whose homepage can be seen in the graphic below.

[[File:LNTwww2023_StartPage_6thJan2024.png|right|frame|Screenshot of the English version  »www.LNTwww.de«.  <u>Note:</u> <br>(1)  '''LNTwww''' is acronym of the German term »'''L'''erntutorial für '''N'''achrichten'''T'''echnik im '''w'''orld '''w'''ide '''w'''eb«.<br>(2)  '''LNT''' also stands for the German name »'''L'''ehrstuhl für '''N'''achrichten'''T'''echnik« of our chair.]]

Here are some features of our e-learning platform:
# »LNTwww« is freely accessible $($no need for registration$)$. No specific system requirements.
# »LNTwww« uses the free server-based software  [https://en.wikipedia.org/wiki/MediaWiki »MediaWiki«],  just like »Wikipedia«, the best-known free encyclopedia.
#The  [https://en.lntwww.de/Book_Overview »Book Collection«] link takes you to the nine courses $($which are referred to as »books«$)$ and to the collection »Biographies and Bibliographies«.
#The  [https://en.lntwww.de/Exercises:Exercise_Overview »Exercises«]  link takes you to a list with a total of around  $640$  exercises and  $3100$  subtasks $($each with detailed sample solution$)$.
#About thirty learning videos $($in German language$)$ can get accessed via the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Videos »Videos«]  link. These are grouped according to the individual courses.
#Via the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets »Applets«]  link you have access to around thirty applets based on HTML5/JavaScript and some older shockwave flash $($SWF$)$ applets.

Other important project features are summarized in the file »About LNTwww«  $($red marked link$)$,  among others:
* [https://en.lntwww.de/LNTwww:About_LNTwww#.28A.29_The_didactic_concept_of_LNTwww »The didactic concept of LNTwww«]:   These rules from 2001 still apply, although »LNTwww« has had to be continuously adapted to developments on the Internet.

* [https://en.lntwww.de/LNTwww:About_LNTwww#.28B.29_Content_and_scope_of_LNTwww »Content and scope of LNTwww«]:   Our online offer corresponds to conventional courses with a total of 36 semester hours per week of lectures and exercises.

===LNTwww Design and Structure===
<br>
»LNTwww« has a book structure. Each »course« corresponds to an own »book« that can be selected via »Book Collection«.
*Each book is divided into several  »main chapters«, 
*each main chapter is divided into several  »chapters«,  and
*each chapter comprises several  »sections«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example A:}$  To illustrate these statements, here is an example of how to use »LNTwww«:

# After pressing the  [https://en.lntwww.de/Book_Overview »Book Collection«]  button, a selection screen will appear with the nine course-books as well as the book »Biographies and Bibliographies«.
# By selecting the book  [https://en.lntwww.de/Information_Theory »Information Theory«],  its "start page" will appear with links to the four main chapters and to the corresponding sub-chapters. Furthermore, beside a brief book summary and bibliographical references, links to exercises and to multimedia elements are part of this information page.
# We now select the first main chapter  »Entropy of Discrete Sources«  and of this in turn the first sub-chapter  [https://en.lntwww.de/Information_Theory/Discrete_Memoryless_Sources »Discrete Memoryless Sources«].  This exemplary sub-chapter explains in eight sections the procedure for calculating the entropy of binary and non-binary sources.
# As in conventional mathematical and technical literature, the facts are illustrated by texts, models, graphs, diagrams, equations and derivations. The last two sections of each sub-chapter contain exercises and references to the topic covered.}}

===LNTwww Exercises===
<br>
The core elements of our didactic concept are »exercises«. We believe that the sensible use of »LNTwww« by a user with previous knowledge should be to work first on the exercises related to his actual learning area and only jump to the corresponding theory section when required.

All exercises have a similar structure:
*Each exercise consists of the »exercise description« and several  »subtasks«. An exercise will only get valued as solved if all subtasks are completed correctly.

* For each exercise, a detailed »sample solution« exists, sometimes with an indication to different solution paths.

* The »exercise types« used are:
# »Single Choice»   ⇒   only one of the  $n$  given answers is correct;<br>      ⇒   Check Box for alternative answers:  ${\huge\circ}$
# »Multiple Choice«   ⇒   of the  $n$  given answers, between zero and  $n$  answers can be correct;<br>      ⇒   Check Box for alternative answers:  $\square$
# »Arithmetic Task«   ⇒   numerical value query,  possibly with sign; <br>    small deviations  $($usually  $\pm 3\%)$  are allowed when checking real-valued results.

* We distinguish between  »exercises«  $($e.g.  »Exercise 1.1»$)$  and  »additional exercises«  $($e.g.  »Exercise 1.1Z«$)$.
# If you were able to solve all exercises of a chapter without any problems,  we believe that you are familiar with the content of the entire chapter. 
#If you have solved one exercise incorrectly,  you should also work on the following,  usually somewhat easier additional exercise.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example B:}$ 
The  $58$  exercises/additional exercises of the first book can be accessed via the link  [https://en.lntwww.de/Category:Signal_Representation:_Exercises »Signal Representation: Exercises«]. 

*From there,  we move on to the individual exercises,  e.g. to  [https://en.lntwww.de/Aufgaben:Exercise_1.1:_Music_Signals »Exercise 1.1: Music Signals«].  This relatively simple exercise consists of
#  one »Single Choice«   ⇒   subtask  '''(1)''',
#  two »Multiple Choice«   ⇒   subtasks  '''(2)''',  '''(3)''',  and
#  one »Arithmetic Task« with two real-valued computational queries   ⇒   subtask  '''(4)'''.

*However,  most of our exercises are not that easy.  Although MediaWiki also calls an arithmetic task  »quiz«,  answering them is usually much more difficult than in the numerous quiz shows on TV.   Because: 
#  There are no predetermined answers in an arithmetic task,  and moreover:
#  Integrals often have to be solved beforehand,  such as in  [[Aufgaben:Exercise_4.4:_Two-dimensional_Gaussian_PDF|»Exercise 4.4: Two-dimensional Gaussian probabilty density function«.]]

*We recommend:  First print the exercise   ⇒   »printable version«  and solve the exercise  offline  before checking  online.
}}

===LNTwww Applets===
<br>
Working with applets in a virtual environment has a similar function to laboratories in mathematical and engineering sciences face-to-face courses:   Supplementing lectures and exercises through independent work by the students on the topic covered.

Starting from the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets »Applet«]  button on the homepage, another click takes you to the »Alphabetic list of all HTML5/JS applets $($English language$)$«. All these twenty-four applets have the same structure:
*The »applet description page« on MediaWiki level provides all information about the theoretical background as well as the purpose and handling of the application.

*The HTML5/JavaScript program with graphical user interface takes over the parameter input and the display of the calculated diagrams and numerical results.

*The most important part of an applet is the »questionnaire«, which guides the user through the program. The user has to solve various tasks along the way: <br>     Predict and evaluate results, optimize parameters, etc.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example C:}$ 
The didactic significance of applets will be demonstrated by applet no. 10:  [[Applets:Eye_Pattern_and_Worst-Case_Error_Probability|»Eye Pattern and Worst-Case Error Probability«]].  We will not go into the detailed explanation of the theoretical background in the »applet description page« here. Just this much:  The »eye diagram« is a proven digital signal transmission tool for quantifying the influence of line dispersion on the quality characteristic »error probability«.

*By pressing »Open applet in new Tab«, the graphical program interface appears, which allows to choose from four coding options and three basic transmission pulse options. Depending on the setting, further parameter values $($as cutoff frequency, rolloff factor, ...$)$ can get determined.   This means that the program offers a large number of setting options. However, not every setting brings the user a relevant learning success and even fewer lead to a so-called "aha effect".

*It was task of the program developers to formulate the »questionnaire» in the lower section $($in this example 14 exercises$)$ and the associated solutions in such a way that the learning success is as great as possible for as many users as possible. A top 10% student naturally has the opportunity to use the applet to set himself tasks that go beyond our questionnaire and thus to delve very deeply into the material presented.

* This applet serves the clarification of difficult facts. Exercise (1), for example, illustrates the step-by-step construction of the eye diagram from the binary symbol sequence for a Gaussian pulse, and Exercise (10) shows the »Overall View« of the eye diagram of a quaternary Nyquist system with rolloff factor $r_f=0.5$.
}}

===LNTwww Learning Videos===
<br>
The realization of a learning video required very many individual steps:  Writing the script and texts   ⇒   Creating a set of slides with only slight differences between successive slides   ⇒   Voicing texts and audio editing   ⇒   Combining texts and images into a coherent video stream.

All of our learning videos $($from 2003–2015$)$ are in German language.  In the English »LNTwww« version, we have dispensed with the very time-consuming translation of the learning videos. Assuming that some visitors to the English version also have sufficient knowledge of German, we also offer these original learning videos here.

Please note the following when handling the learning videos:

*The link  »Videos«  on the homepage provides a list of all thirty-one learning videos, grouped according to the nine courses. Some videos appear for multiple courses.
*After selecting the desired learning video,  a wiki description page appears with a short content description and the user interface.
*From here you can start the video in  »mp4«  and  »ogv«  format.  The browser will search for the appropriate format.
*Each video part can be started by single click and paused by another click.
*The videos can be played by many browsers  $($Firefox, Chrome, Safari, ...$)$  as well as smartphones and tablets.
*The playback speed can be changed:  Firefox offers a submenu after right-clicking on the video.  For Google Chrome you can install the plugin  »Video Speed Controller«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example D:}$ 
We'll take a look at the three-part learning video  [https://en.lntwww.de/Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo) »Der AWGN-Kanal«].  Here you can see the corresponding »video description page« on MediaWiki level. 

At the end of this file you will find the English title »The AWGN Channel « and the English summary:

    $\text{Part 1}$   $($duration 5:59$)$:   $\text{Preliminary remarks}$     $($Common channel models regarding media,  operational equipment,  interference/noise$)$

    $\text{Part 2}$   $($duration 5:14$)$:   $\text{Properties}$  $($additive, white, Gaussian distributed$)$   $\text{and characteristics}$  $($PSD, PDF, variance, standard deviation/rms$)$

    $\text{Part 3}$   $($duration 6:13$)$:   $\text{Calculation/simulation of BER}$  $($bit error rate$)$   $\text{and SNR}$  $($signal-to-noise ratio$)$  $\text{for the optimal binary system}$
}}

===LNTwww Glossary===
<br>
Due to the fact,  that our e–learning project was first conceived in German and the wish for an English version came much later,  the assignment between  »formula sign«   and  »designation«  is not quite easy, e.g.   carrier frequency  $f_{\rm T}$,  equivalent low-pass transmitted signal  $s_{\rm TP}(t)$,  threshold value  $E$.

The link  [[LNTwww:Glossary|»Glossary«]]  on the homepage below can help with the following alphabetically ordered entries:
::  »Formula sign«   ⇒   »German designation«   ⇒   »English designation«<br>

The file »Glossary« is self-explanatory. A few explanations are given under the last menu item  »Some remarks to the Glossary«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example E:}$  In this file you will find the following entries:
:  $f_{\rm T}$   ⇒   Trägerfrequenz   ⇒   carrier frequency<br>
:  $s_{\rm TP}(t)$   ⇒   äquivalentes Tiefpass–Sendesignal   ⇒   equivalent low-pass transmitted signal<br>
:  $ E$   ⇒   $(1)$ Schwellenwert,  $(2)$ Energie   ⇒   $(1)$ threshold value,  $(2)$ energy<br>

From the context,  the decision for  »threshold value«  or  »energy«  should be easy. }}

===Conclusions===
<br>
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__NOTOC__

An e-learning project for Communications Engineering - LNTwww

2024-01-14T21:52:28Z

Tasnad:

=== Dummy===
'''Das hier ist nur ein Test, wie man einen Link in einem neuen Fenster öffnen könnte. Dieser wurde bei den Applets verwendet'''

{{LntAppletLinkEnDe|besselFuns_en|besselFuns}}
  eingefügt aus: https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind

*Wenn man in diesem MediaWiki-Dokumnent das deutsche und das englische Applet öffnet, dann sind insgesamt drei Fenster offen.
*Und wenn man das zweite und dritte Fenster wieder schließt, landet man wieder bei der Beschreibung.
*Das macht doch genau das, was ich möchte. Oder ist da ein Gedankenfehler?
*Ich weiß nur nicht, was mit dem Aufruf „Open Applet in new Tab“ genau passiert. Diese Routine hat Tasnad erstellt.

* Hier ist ein Beispiel: {{#tag:html|<a href="https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/home/" target="_blank">{{{2|Link Text}}}</a>}}. Man muss auf HTML ausweichen und einen low level HTML Link erstellen. "taret=_blank" heißt ein Klick soll in einem neuen Fenster geöffnet werden.

'''ENDE Dummy'''

$\text{Gerhard Kramer}$  and  $\text{Günter Söder}$
<br>

The e-learning project »LNTwww« offered by the  [https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/home/ »TUM Institute for Communications Engineering«]  provides nine online courses on the subjects of »Communications Engineering«  $\rm (CE)$  and  »Information and Communication Technology«  $\text{(I&C)}$.  The target group of our online offer are students of these or similar disciplines as well as practicing engineers and scientists.

The German version  »www.LNTwww.de«  was created between 2001–2021.  At the beginning of corona  $($2020$)$ we started the English version, which has been finalized in 2023.  In the following we refer to this version  [https://en.lntwww.de »en.lntwww.de«],  whose homepage can be seen in the graphic below.

[[File:LNTwww2023_StartPage_6thJan2024.png|right|frame|Screenshot of the English version  »www.LNTwww.de«.  <u>Note:</u> <br>(1)  '''LNTwww''' is acronym of the German term »'''L'''erntutorial für '''N'''achrichten'''T'''echnik im '''w'''orld '''w'''ide '''w'''eb«.<br>(2)  '''LNT''' also stands for the German name »'''L'''ehrstuhl für '''N'''achrichten'''T'''echnik« of our chair.]]

Here are some features of our e-learning platform:
# »LNTwww« is freely accessible $($no need for registration$)$. No specific system requirements.
# »LNTwww« uses the free server-based software  [https://en.wikipedia.org/wiki/MediaWiki »MediaWiki«],  just like »Wikipedia«, the best-known free encyclopedia.
#The  [https://en.lntwww.de/Book_Overview »Book Collection«] link takes you to the nine courses $($which are referred to as »books«$)$ and to the collection »Biographies and Bibliographies«.
#The  [https://en.lntwww.de/Exercises:Exercise_Overview »Exercises«]  link takes you to a list with a total of around  $640$  exercises and  $3100$  subtasks $($each with detailed sample solution$)$.
#About thirty learning videos $($in German language$)$ can get accessed via the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Videos »Videos«]  link. These are grouped according to the individual courses.
#Via the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets »Applets«]  link you have access to around thirty applets based on HTML5/JavaScript and some older shockwave flash $($SWF$)$ applets.

Other important project features are summarized in the file »About LNTwww«  $($red marked link$)$,  among others:
* [https://en.lntwww.de/LNTwww:About_LNTwww#.28A.29_The_didactic_concept_of_LNTwww »The didactic concept of LNTwww«]:   These rules from 2001 still apply, although »LNTwww« has had to be continuously adapted to developments on the Internet.

* [https://en.lntwww.de/LNTwww:About_LNTwww#.28B.29_Content_and_scope_of_LNTwww »Content and scope of LNTwww«]:   Our online offer corresponds to conventional courses with a total of 36 semester hours per week of lectures and exercises.

===LNTwww Design and Structure===
<br>
»LNTwww« has a book structure. Each »course« corresponds to an own »book« that can be selected via »Book Collection«.
*Each book is divided into several  »main chapters«, 
*each main chapter is divided into several  »chapters«,  and
*each chapter comprises several  »sections«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example A:}$  To illustrate these statements, here is an example of how to use »LNTwww«:

# After pressing the  [https://en.lntwww.de/Book_Overview »Book Collection«]  button, a selection screen will appear with the nine course-books as well as the book »Biographies and Bibliographies«.
# By selecting the book  [https://en.lntwww.de/Information_Theory »Information Theory«],  its "start page" will appear with links to the four main chapters and to the corresponding sub-chapters. Furthermore, beside a brief book summary and bibliographical references, links to exercises and to multimedia elements are part of this information page.
# We now select the first main chapter  »Entropy of Discrete Sources«  and of this in turn the first sub-chapter  [https://en.lntwww.de/Information_Theory/Discrete_Memoryless_Sources »Discrete Memoryless Sources«].  This exemplary sub-chapter explains in eight sections the procedure for calculating the entropy of binary and non-binary sources.
# As in conventional mathematical and technical literature, the facts are illustrated by texts, models, graphs, diagrams, equations and derivations. The last two sections of each sub-chapter contain exercises and references to the topic covered.}}

===LNTwww Exercises===
<br>
The core elements of our didactic concept are »exercises«. We believe that the sensible use of »LNTwww« by a user with previous knowledge should be to work first on the exercises related to his actual learning area and only jump to the corresponding theory section when required.

All exercises have a similar structure:
*Each exercise consists of the »exercise description« and several  »subtasks«. An exercise will only get valued as solved if all subtasks are completed correctly.

* For each exercise, a detailed »sample solution« exists, sometimes with an indication to different solution paths.

* The »exercise types« used are:
# »Single Choice»   ⇒   only one of the  $n$  given answers is correct;<br>      ⇒   Check Box for alternative answers:  ${\huge\circ}$
# »Multiple Choice«   ⇒   of the  $n$  given answers, between zero and  $n$  answers can be correct;<br>      ⇒   Check Box for alternative answers:  $\square$
# »Arithmetic Task«   ⇒   numerical value query,  possibly with sign; <br>    small deviations  $($usually  $\pm 3\%)$  are allowed when checking real-valued results.

* We distinguish between  »exercises«  $($e.g.  »Exercise 1.1»$)$  and  »additional exercises«  $($e.g.  »Exercise 1.1Z«$)$.
# If you were able to solve all exercises of a chapter without any problems,  we believe that you are familiar with the content of the entire chapter. 
#If you have solved one exercise incorrectly,  you should also work on the following,  usually somewhat easier additional exercise.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example B:}$ 
The  $58$  exercises/additional exercises of the first book can be accessed via the link  [https://en.lntwww.de/Category:Signal_Representation:_Exercises »Signal Representation: Exercises«]. 

*From there,  we move on to the individual exercises,  e.g. to  [https://en.lntwww.de/Aufgaben:Exercise_1.1:_Music_Signals »Exercise 1.1: Music Signals«].  This relatively simple exercise consists of
#  one »Single Choice«   ⇒   subtask  '''(1)''',
#  two »Multiple Choice«   ⇒   subtasks  '''(2)''',  '''(3)''',  and
#  one »Arithmetic Task« with two real-valued computational queries   ⇒   subtask  '''(4)'''.

*However,  most of our exercises are not that easy.  Although MediaWiki also calls an arithmetic task  »quiz«,  answering them is usually much more difficult than in the numerous quiz shows on TV.   Because: 
#  There are no predetermined answers in an arithmetic task,  and moreover:
#  Integrals often have to be solved beforehand,  such as in  [[Aufgaben:Exercise_4.4:_Two-dimensional_Gaussian_PDF|»Exercise 4.4: Two-dimensional Gaussian probabilty density function«.]]

*We recommend:  First print the exercise   ⇒   »printable version«  and solve the exercise  offline  before checking  online.
}}

===LNTwww Applets===
<br>
Working with applets in a virtual environment has a similar function to laboratories in mathematical and engineering sciences face-to-face courses:   Supplementing lectures and exercises through independent work by the students on the topic covered.

Starting from the  [https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets »Applet«]  button on the homepage, another click takes you to the »Alphabetic list of all HTML5/JS applets $($English language$)$«. All these twenty-four applets have the same structure:
*The »applet description page« on MediaWiki level provides all information about the theoretical background as well as the purpose and handling of the application.

*The HTML5/JavaScript program with graphical user interface takes over the parameter input and the display of the calculated diagrams and numerical results.

*The most important part of an applet is the »questionnaire«, which guides the user through the program. The user has to solve various tasks along the way: <br>     Predict and evaluate results, optimize parameters, etc.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example C:}$ 
The didactic significance of applets will be demonstrated by applet no. 10:  [[Applets:Eye_Pattern_and_Worst-Case_Error_Probability|»Eye Pattern and Worst-Case Error Probability«]].  We will not go into the detailed explanation of the theoretical background in the »applet description page« here. Just this much:  The »eye diagram« is a proven digital signal transmission tool for quantifying the influence of line dispersion on the quality characteristic »error probability«.

*By pressing »Open applet in new Tab«, the graphical program interface appears, which allows to choose from four coding options and three basic transmission pulse options. Depending on the setting, further parameter values $($as cutoff frequency, rolloff factor, ...$)$ can get determined.   This means that the program offers a large number of setting options. However, not every setting brings the user a relevant learning success and even fewer lead to a so-called "aha effect".

*It was task of the program developers to formulate the »questionnaire» in the lower section $($in this example 14 exercises$)$ and the associated solutions in such a way that the learning success is as great as possible for as many users as possible. A top 10% student naturally has the opportunity to use the applet to set himself tasks that go beyond our questionnaire and thus to delve very deeply into the material presented.

* This applet serves the clarification of difficult facts. Exercise (1), for example, illustrates the step-by-step construction of the eye diagram from the binary symbol sequence for a Gaussian pulse, and Exercise (10) shows the »Overall View« of the eye diagram of a quaternary Nyquist system with rolloff factor $r_f=0.5$.
}}

===LNTwww Learning Videos===
<br>
The realization of a learning video required very many individual steps:  Writing the script and texts   ⇒   Creating a set of slides with only slight differences between successive slides   ⇒   Voicing texts and audio editing   ⇒   Combining texts and images into a coherent video stream.

All of our learning videos $($from 2003–2015$)$ are in German language.  In the English »LNTwww« version, we have dispensed with the very time-consuming translation of the learning videos. Assuming that some visitors to the English version also have sufficient knowledge of German, we also offer these original learning videos here.

Please note the following when handling the learning videos:

*The link  »Videos«  on the homepage provides a list of all thirty-one learning videos, grouped according to the nine courses. Some videos appear for multiple courses.
*After selecting the desired learning video,  a wiki description page appears with a short content description and the user interface.
*From here you can start the video in  »mp4«  and  »ogv«  format.  The browser will search for the appropriate format.
*Each video part can be started by single click and paused by another click.
*The videos can be played by many browsers  $($Firefox, Chrome, Safari, ...$)$  as well as smartphones and tablets.
*The playback speed can be changed:  Firefox offers a submenu after right-clicking on the video.  For Google Chrome you can install the plugin  »Video Speed Controller«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example D:}$ 
We'll take a look at the three-part learning video  [https://en.lntwww.de/Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo) »Der AWGN-Kanal«].  Here you can see the corresponding »video description page« on MediaWiki level. 

At the end of this file you will find the English title »The AWGN Channel « and the English summary:

    $\text{Part 1}$   $($duration 5:59$)$:   $\text{Preliminary remarks}$     $($Common channel models regarding media,  operational equipment,  interference/noise$)$

    $\text{Part 2}$   $($duration 5:14$)$:   $\text{Properties}$  $($additive, white, Gaussian distributed$)$   $\text{and characteristics}$  $($PSD, PDF, variance, standard deviation/rms$)$

    $\text{Part 3}$   $($duration 6:13$)$:   $\text{Calculation/simulation of BER}$  $($bit error rate$)$   $\text{and SNR}$  $($signal-to-noise ratio$)$  $\text{for the optimal binary system}$
}}

===LNTwww Glossary===
<br>
Due to the fact,  that our e–learning project was first conceived in German and the wish for an English version came much later,  the assignment between  »formula sign«   and  »designation«  is not quite easy, e.g.   carrier frequency  $f_{\rm T}$,  equivalent low-pass transmitted signal  $s_{\rm TP}(t)$,  threshold value  $E$.

The link  [[LNTwww:Glossary|»Glossary«]]  on the homepage below can help with the following alphabetically ordered entries:
::  »Formula sign«   ⇒   »German designation«   ⇒   »English designation«<br>

The file »Glossary« is self-explanatory. A few explanations are given under the last menu item  »Some remarks to the Glossary«.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example E:}$  In this file you will find the following entries:
:  $f_{\rm T}$   ⇒   Trägerfrequenz   ⇒   carrier frequency<br>
:  $s_{\rm TP}(t)$   ⇒   äquivalentes Tiefpass–Sendesignal   ⇒   equivalent low-pass transmitted signal<br>
:  $ E$   ⇒   $(1)$ Schwellenwert,  $(2)$ Energie   ⇒   $(1)$ threshold value,  $(2)$ energy<br>

From the context,  the decision for  »threshold value«  or  »energy«  should be easy. }}

===Conclusions===
<br>
<br><br>

__NOTOC__

Biographies and Bibliographies/LNTwww members from LÜT

2023-10-29T09:19:17Z

Tasnad:

{{Header|
Untermenü=Beteiligte der Professur Leitungsgebundene Übertragungstechnik
|Vorherige Seite= An LNTwww beteiligte Mitarbeiter und Dozenten|
Nächste Seite= An LNTwww beteiligte Studierende
}}

== The Professorship »Line Transmission Technology«==

The subject area  »'''Line Transmission Technology'''«  $\rm (LÜT)$  was established in 2004,  when the former LNT doctoral student  [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LÜT#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28at_LNT_from_1989-1995.2C_at_L.C3.9CT_since_2004.29|»Norbert Hanik«]]  returned to the TU Munich and was appointed as its head. 

In 2014,  this field became the  »Associate Professorship of Line Transmission Technology«.  More information can be found on the  [https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/research/associate-professorship-of-line-transmission-technology/ »'''LÜT homepage'''«].

But already since the 1960s,  the Chair of Communications Engineering,  headed by Professor  [[Biographies_and_Bibliographies/Chair_holders_of_the_LNT_since_1962#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Hans_Marko_.281962-1993.29|»Hans Marko«]],  had worked very intensively and also successfully in this field.

==Prof. Dr.-Ing. Norbert Hanik (at LNT from 1989-1995, at LÜT since 2004)==

[[File:n_hanik.jpg|165px|right|Norbert Hanik]]

Norbert Hanik was born in 1962 in the Bavarian town of Wemding in the Donau-Ries region and studied at the Faculty of Electrical Engineering and Information Technology at the Technical University of Munich from 1983 onwards, specializing in communications engineering.  In 1995, he received his doctorate from Prof. [[Biographies_and_Bibliographies/Chair_holders_of_the_LNT_since_1962#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Hans_Marko_.281962-1993.29|Hans Marko]] at the LNT on "Nonlinear effects in optical signal transmission".  He then worked at the Technology Center of Deutsche Telekom AG in the field of optical transmission technology,  since 1999 as head of the research group "System Concepts of Photonic Networks ".  In 2002, he was a visiting professor at the COM Research Center of the Technical University of Denmark (TUD) in Copenhagen.

With effect from April 1, 2004, Norbert Hanik was appointed to the (current) professorship for "Line Transmission Technology" at the Faculty of Electrical Engineering and Information Technology at TUM.  He thus returned to his home chair after nine years in Berlin.  After the death of our chair holder Prof.  [[Biographies_and_Bibliographies/Chair_holders_of_the_LNT_since_1962|Ralf Kötter]],  Norbert Hanik was appointed acting head of the LNT in Spring 2009.

His research focuses on modeling, simulation and optimization of components, subsystems and transmission links of optical transmission systems and optical networks.

[https://www.ce.cit.tum.de/en/lnt/people/professors/hanik/ $\text{Biography of Norbert Hanik on the LÜT homepage}$]

{{BlueBox|TEXT=
'''His contributions to the LNTwww project''':  
*Professor Hanik has been very supportive of the development of our learning tutorial and he has always been an extremely competent technical advisor.
*He was co-author on "Linear and Time-Invariant Systems" and on single chapters of "Digital Signal Transmission" and "Examples of Communication Systems".
*In particular, the initiators of $\rm LNTwww$ would like to thank Norbert  for his early and versatile use of our learning tutorial in his lectures.
}}

==Dr.-Ing. Bernhard Göbel (at LÜT from 2004-2010)==

[[File:bernhard.jpg|165px|right|Bernhard Göbel]]

Bernhard Göbel, born in Munich in 1978, finished his studies of electrical engineering and information technology at the Technical University of Munich in 2004 after semesters abroad in Southampton and Princeton with a diploma thesis on the investigation of genetic diseases using information theory.

From autumn 2004 until the end of 2010, Bernhard Göbel was an assistant to Prof.  [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LÜT#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28at_LNT_from_1989-1995.2C_at_L.C3.9CT_since_2004.29|Norbert Hanik]]  in the department of "Line Transmission Technology".  After a research stay at Bell Labs in New Jersey, he received his PhD in 2010 on the topic of "Information-theoretical properties of fiber-optic communication channels".  In addition to supervising courses, his other responsibilities included managing the CITPER project,  which was initiated by the European Union.

After completing his doctorate, Dr. Göbel moved to Volkswagen AG in Wolfsburg,  where he began training as a patent attorney.  In 2014, he returned to Munich and is now working for BMW AG.

{{BlueBox|TEXT=
'''His contributions to the LNTwww project''':  
*Bernhard was always consulted by us when the authors realized that some things could be done better with "MATLAB" than without.
*Furthermore, he was an expert advisor for several tutorial videos and interaction modules, for example "Attenuation of Copper Cables", "Time Response of Copper Cables" and "Viterbi Receivers".
*We would also like to thank Bernhard for making our learning tutorial known to many students of the TU Munich as an exercise assistant for "Line Transmission Technology".}}

==Dr.-Ing. Tasnád Kernetzky (at LÜT from 2014-2022)==

[[File:Tasnad.png|165px|right|Tasnád Kernetzky]]

Tasnád Kernetzky was born in 1987 in Marosvásárhely  (today: Târgu Mureș, Romania).  He studied Electrical Engineering and Information Technology at the Technical University of Munich from 2009 and graduated in 2014 with a master thesis on the transmission characteristics of  "Powerline Communication" (PLC) systems.

Since December 2014, he has been working as a Ph.D. student with Prof. [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LÜT#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28at_LNT_from_1989-1995.2C_at_L.C3.9CT_since_2004.29|Norbert Hanik]] in the professorship "Line Transmission Technology systems" – initially in cooperation with SIEMENS AG continued on the topic  "PLC".  The focus of his later work was on the simulation and optimization of the nonlinear optical process "four wave mixing" in multi-mode optical waveguides.  He completed his Ph.D. thesis with the topic  »Numerical Optimization of Ultra-Broadband Wavelength Conversion in Nonlinear Optical Waveguides«  in October 2023.

In teaching, Tasnád was responsible for the exercises for the lecture  "Fundamentals of Information Technology (LB)"  by Prof. Hanik.  Besides, he organized the  "Advanced Seminar Digital Communication Systems".

From 2016-2022, Tasnád had been involved in the system administrator of the chair computers.

{{BlueBox|TEXT=
'''His contributions to the LNTwww project''':  

For many years Tasnád was intensively involved in the LNTwww team as a system/web administrator,  and is still one of the project leaders without whom nothing works:

*In 2016, he took over as successor to  [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Dr.-Ing._Markus_Stinner_.28at_LNT_from_2011-2016.29|Markus Stinner]]  assisted the student team in porting the  "old LNTwww"  to the present wiki form (version 3).
*He completed the pending move of the wiki to a new server in 2018, and also the associated update–work on the wiki.
*He converted the learning videos to modern formats (mp4, ogv).  These can now be played by many browsers, but also by smartphones.
*He was supervisor and contact person for all student work on porting the interactive applets to HTML5.
*He has done essential preliminary work to be able to generate the English  »$\rm en.LNTwww.de$«  version from  »$\rm www.LNTwww.de$«  with reasonable effort.}}

==Benedikt Leible, M.Sc. (at LÜT since 2017)==

[[File:Leible.png|165px|right|Tasnád Kernetzky]]

Benedikt Leible, born in Kempten in 1988, studied electrical engineering and information technology at the Technical University of Ulm (Bachelor) and at the Technical University of Stuttgart (Master) from 2010. He graduated in 2016 with a master's thesis on "Parallelization of Channel Decoders for 5G Communication Systems". 

Since February 2017, he is working as a PhD student with Prof. Norbert Hanik in the professorship "Line Transmission Technology".  His current work focuses on the topic "Fiber optic communication using nonlinear Fourier transform".  Furthermore, he is responsible for the supervision of the lecture "Physical Layer Methods" and also conducts the corresponding tutorial.
<br clear=all>
{{BlueBox|TEXT=
'''His contributions to the LNTwww project''':  
*He was supervisor of students who programmed interactive HTML5/JS applets for the LNTwww in their Bachelor Thesis/Engineering Practice.
*From 2021, Benedikt led the conversion to the English version  "[https://en.lntwww.de/Home $\text{https://en.lntwww.de}$]"  by the student translation team. }}

{{Display}}

Home

2022-10-03T18:39:27Z

Tasnad:

<html>
<div class="container">
<div class="row featurette">
<div class="col-sm-7">
<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:42px; padding: 0;">LNTwww <span style="font-size:28px">  –   First steps to the English version </span></h3>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:25px; padding: 0;"> <span class="text-muted" style="font-weight:100"> An e-learning tutorial for Communications Engineering with nine didactic multimedia textbooks including exercises with solutions, videos, and interactive applets</span></h2>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px; padding: 0;"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> English translation completed (currently 61% of the total curriculum):</span></h2>
<ul class="featurette-heading text-muted" style="font-weight:80; font-size:20px">
<li>Signal Representation (Book & Exercises)</li>
<li>Linear and Time-Invariant Systems (Book & Exercises)</li>
<li>Theory of Stochastic Signals (Book & Exercises)</li>
<li>Information Theory (Book & Exercises)</li>
<li>Modulation Methods (Book & Exercises)</li>
<li>Mobile Communications (Book & Exercises)</li>
</ul>
<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> Currently in progress:</span></h3>
<ul class="featurette-heading text-muted" style="font-weight:80; font-size:20px">
<li>Digital Signal Transmission (Book & Exercises)</li>
<li>Channel Coding (Book & Exercises)</li>
<li>Examples of Communication Systems (Book & Exercises)</li>
</ul>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> All German texts refer to the  <a href="https://www.lntwww.de/Startseite">German version of LNTwww</a>  and do not necessarily apply to the English version</span></h2>
</div>
<div class="col-sm-5">
<div class="pullright">
<img class="featurette-image img-responsive center-block" src="images/8/8d/Regal.png" width="270px">
<div class="button-large">
<a href="Book Overview" class="btn btn-default btn-lg">The Book Collection</a>
</div>
</div>
</div>
</div>

<hr style="border: none; margin-bottom: 2em; height: 1px; color: #eeeeee ; background: #eeeeee;" />

<div class="row">
<div class="col-sm-2 text-center">
<div style="cursor: pointer;" onclick="window.location='https://en.lntwww.de/LNTwww:Information';" class="glyphicon glyphicon-info-sign" aria-hidden="true"></div>
</html><h3>[[LNTwww:Information | Information]]</h3><html>
</div>



<div class="col-sm-2 text-center">
<div style="cursor: pointer;" onclick="window.location='https://en.lntwww.de/Exercises:Exercise_Overview';" class="glyphicon glyphicon-education" aria-hidden="true"></div>
</html><h3>[[Exercises:Exercise_Overview|Exercises]]</h3><html>
</div>

<div class="col-sm-2 text-center">
<div style="cursor: pointer;" onclick="window.location='https://en.lntwww.de/lntWWW:Videos';" class="glyphicon glyphicon-film" aria-hidden="true"></div>
</html><h3>[[lntWWW:Videos|Videos]]</h3><html>
</div>

<div class="col-sm-2 text-center">
<div style="cursor: pointer;" onclick="window.location='https://en.lntwww.de/LNTwww:Applets';" class="glyphicon glyphicon-th-large" aria-hidden="true"></div>
</html><h3>[[LNTwww:Applets | Applets]]</h3><html>
</div>

<div class="col-sm-2 text-center">
<div style="cursor: pointer;" onclick="window.location='https://en.lntwww.de/LNTwww:Authors';" class="glyphicon glyphicon-user user-alt" aria-hidden="true"></div>
</html><h3>[[LNTwww:Authors|Authors]]</h3><html>
</div>
</div>
</div>
</html>

__NOTOC__ __NOEDITSECTION__

Home

2022-03-25T19:01:44Z

Tasnad:

<html>
<div class="container">
<div class="row featurette">
<div class="col-sm-7">
<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:42px; padding: 0;">LNTwww <span style="font-size:28px">  –   First steps to the English version </span></h3>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:25px; padding: 0;"> <span class="text-muted" style="font-weight:100"> An e-learning tutorial for Communications Engineering with nine didactic multimedia textbooks including exercises with solutions, videos, and interactive applets</span></h2>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px; padding: 0;"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> English translation completed (currently 61% of the total curriculum):</span></h2>
<ul class="featurette-heading text-muted" style="font-weight:80; font-size:20px">
<li>Signal Representation (Book & Exercises)</li>
<li>Linear and Time-Invariant Systems (Book & Exercises)</li>
<li>Theory of Stochastic Signals (Book & Exercises)</li>
<li>Information Theory (Book & Exercises)</li>
<li>Modulation Methods (Book & Exercises)</li>
<li>Mobile Communications (Book & Exercises)</li>
</ul>
<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> Currently in progress:</span></h3>
<ul class="featurette-heading text-muted" style="font-weight:80; font-size:20px">
<li>Digital Signal Transmission (Book & Exercises)</li>
<li>Channel Coding (Book & Exercises)</li>
</ul>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> All German texts refer to the  <a href="https://www.lntwww.de/Startseite">German version of LNTwww</a>  and do not necessarily apply to the English version</span></h2>
</div>
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<a href="Book Overview" class="btn btn-default btn-lg">The Book Collection</a>
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</html><h3>[[LNTwww:Information | Information]]</h3><html>
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Home

2022-03-25T19:00:12Z

Tasnad:

<html>
<div class="container">
<div class="row featurette">
<div class="col-sm-7">
<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:42px; padding-bottom: 0; padding-top: 0;">LNTwww <span style="font-size:28px">  –   First steps to the English version </span></h3>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:25px; padding-bottom: 0; padding-top: 0;"> <span class="text-muted" style="font-weight:100"> An e-learning tutorial for Communications Engineering with nine didactic multimedia textbooks including exercises with solutions, videos, and interactive applets</span></h2>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px; padding-bottom: 0; padding-top: 0;"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> English translation completed (currently 61% of the total curriculum):</span></h2>
<ul class="featurette-heading text-muted" style="font-weight:80; font-size:20px">
<li>Signal Representation (Book & Exercises)</li>
<li>Linear and Time-Invariant Systems (Book & Exercises)</li>
<li>Theory of Stochastic Signals (Book & Exercises)</li>
<li>Information Theory (Book & Exercises)</li>
<li>Modulation Methods (Book & Exercises)</li>
<li>Mobile Communications (Book & Exercises)</li>
</ul>
<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> Currently in progress:</span></h3>
<ul class="featurette-heading text-muted" style="font-weight:80; font-size:20px">
<li>Digital Signal Transmission (Book & Exercises)</li>
<li>Channel Coding (Book & Exercises)</li>
</ul>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> All German texts refer to the  <a href="https://www.lntwww.de/Startseite">German version of LNTwww</a>  and do not necessarily apply to the English version</span></h2>
</div>
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<img class="featurette-image img-responsive center-block" src="images/8/8d/Regal.png" width="270px">
<div class="button-large">
<a href="Book Overview" class="btn btn-default btn-lg">The Book Collection</a>
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</html><h3>[[LNTwww:Downloads | Downloads]]</h3><html>
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</html><h3>[[lntWWW:Videos|Videos]]</h3><html>
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</html><h3>[[LNTwww:Authors|Authors]]</h3><html>
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LNTwww:About LNTwww

2021-11-02T07:35:08Z

Tasnad:

==Welcome to the English version of LNTwww==
<br>
$\text{https://en.lntwww.de}$  is an e-learning tutorial for Communications Engineering with nine didactic multimedia textbooks including exercises with solutions, learning videos, and interactive applets.  It is offered by the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  $\rm (LNT)$  of the  [https://www.tum.de/en/ Technical University of Munich]  $\rm (TUM)$. 

:⇒   '''It is freely accessible,  registration is not necessary and no system requirements are needed'''.

The German-language version   $\text{https://www.lntwww.de}$   ⇒   "$\rm L$erntutorial für $\rm N$achrichten$\rm T$echnik im $\rm w$orld $\rm w$ide $\rm w$eb"  was created between 2001 – 2021 by members of our Institute.  The toolbar entry  "Deutsch"  takes you to the German original.

In spring 2020, we started the English translation.  The interim status in October 2021 is:

* The books  [[Signal_Representation|"Signal Representation"]],   [[Information_Theory|"Information Theory"]]  and  [[Mobile_Communications|"Mobile Communications"]]  are completed  (Book & Exercises).
* The books  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems|"Linear and Time-Invariant Systems"]],   [[Theory_of_Stochastic_Signals|"Theory of Stochastic Signals"]]  and  [[Modulation_Methods|"Modulation Methods"]]  are in progress.
* The other three textbooks have not yet been started.

$\rm LNTwww$  is based on the management software  [https://en.wikipedia.org/wiki/MediaWiki MediaWiki],  known by the encyclopedia "WIKIPEDIA".  In the following you can find a kind of  "User Manual"  about our e-learning tutorial.  Corresponding links to the file "About LNTwww" are provided at the bottom of each page between  [[LNTwww:Privacy_policy|Privacy policy]]  and  [[LNTwww:General_disclaimer| Disclaimers]].

Since we have only translated part of the German version so far, there are still some limitations regarding the already finished books.  You can find this via the link  [[LNTwww:Information|$\text{Information}$]].  If you notice any deficiencies regarding content, presentation or handling, please send us a detailed report by e-mail to  "LNTwww (at) LNT.ei.tum.de".

$\text{Have fun and good luck!}$   We would be pleased if we could arouse your interest in our  $\rm LNTwww$.  We wish you a good learning success.

Munich, October 2021           [[Biographies_and_Bibliographies/Chair_holders_of_the_LNT_since_1962#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|$\text{Gerhard Kramer}$''']],   [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Francisco_Javier_Garc.C3.ADa_G.C3.B3mez_.28bei_LNT_seit_2016.29| $\text{Javier Garcia Gomez}$]],   [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29 |$\text{Günter Söder}$]],   [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LÜT#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29| $\text{Tasnád Kernetzky}$]]
<br><br>

==Content==

===(A)   The didactic concept of LNTwww===

At the beginning of the work on  $\rm LNTwww$  in 2001,  we gave ourselves the following ten rules.  These still apply today:

'''(1)'''   The teaching area  "Information and Communication Technology"  $\text{(I&K)}$  including associated basic subjects  (Signal Representation,  Fourier and Laplace Transform,  Stochastic Signal Theory, etc.)  is presented in a didactically and multimedia prepared form.

'''(2)'''   Nine subject areas were selected,  each of which is covered by a self-contained book in the scope of a one-semester course with three semester hours per week to five semester hours per week.

'''(3)'''   The target group of our online offer are students of $\text{I&K}$ technology,  especially of communications engineering,  as well as practicing engineers  (Keywords:  "professional training",  "lifelong learning").

'''(4)'''   In particular,  the interrelationships between different subfields of our extensive e-leatning offer should also be shown,  which is promoted by a nomenclature that is largely consistent in all books.

'''(5)'''   $\rm LNTwww$  offers two modes of learning:   beginners should proceed sequentially  –   for advanced learners, use as a tutorial (work through tasks first, jump to theory if deficits are identified).

'''(6)'''   Theory is explained as in a traditional engineering textbook through texts, graphics, and mathematical derivations.  In addition, each chapter includes at least one multimedia module.

'''(7)'''   $\rm LNTwww$  shall provide the user with multiple interaction options regarding the selection and presentation of theory chapters,  exercises,  learning videos as well as multimedia and calculation modules.

'''(8)'''   The methodology of hyperlinks typical of the "world wide web" is extensively used within
the  $\rm LNTwww$  and externally.  This is also intended to show connections between different teaching areas.

'''(9)'''   In order to prevent a user from getting lost in his learning environment and using  $\rm LNTwww$  only for  "surfing",  a purposeful path must be recognizable for him at all times despite certain freedoms.

'''(10)'''  For reasons of sustainability of learning success,  there are expressive possibilities,  ignoring the fact that today's students generation often devalues this as a  "relapse into the analog age".
<br><br>

===(B)   Content and scope of LNTwww===

$\rm LNTwww$  is a virtual course totaling  $\text{36 sh/w}$  (semester hours per week) 
*with  $\text{23 sh/w}$  (quasi-)lectures
*and  $\text{13 sh/w}$  exercises. 

It is organized in book form.  Each book contains a one-semester course.  For example,  in the case of the third book,  it is indicated that this book corresponds to a face-to-face–course with three semester hours per week of LECTURE and two semester hours per week of EXERCISES.

# [[Signal_Representation|'''Signal Representation''']]   ⇒   [[LNTwww:General_notes_about_"Signal_Representation"|More Information]],
# [[Linear_and_Time_Invariant_Systems|'''Linear and Time Invariant Systems''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Linear_and_Time_Invariant_Systems"|More Information]],
# [[Theory_of_Stochastic_Signals|'''Theory of Stochastic Signals''']]   ⇒  [[LNTwww:General_Notes_about_the_Book_"Stochastic_Signal_Theory"|More Information]],
# [[Information_Theory|'''Information Theory''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Information_Theory"|More Information]],
# [[Modulation_Methods|'''Modulation Methods''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Modulation_Methods"|More Information]],
# [[Digital_Signal_Transmission|'''Digital Signal Transmission''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Digital_Signal_Transmission"|More Information]],
# [[Mobile_Communications|'''Mobile Communications''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Mobile_Communications"|More Information]],
# [[Channel_Coding|'''Channel Coding''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Channel_Coding"|More Information]],
#[[Examples_of_Communication_Systems|'''Examples of Communication Systems''']]   ⇒  [[LNTwww:General_notes_about_"Examples_of_Communication_Systems"|More Information]].

*The theory pages of all books result in the print version in approx.  $1500$  pages (DIN A4) and contain on average one and a half graphics per page. 
*In addition, LNTwww provides via the link  "Biographies & Bibliography"  a subject-specific bibliography with approx.  $400$  entries, plus links to the WIKIPEDIA biographies of important scientists.
<br><br>

===(C)   Design and structure of LNTwww===

One can reach the nine reference books and &bdquo;Biographies & Bibliography”  through the link  [[Book Overview|'''The Book Collection''']].  From this interface one can reach the individual books.  
*Each book is divided into several  $\text{main chapters}$, 
*each main chapter into several  $\rm chapters$,  and
*each chapter includes several  $\rm pages$.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
We consider the book  [[Signal Representation|'''Signal Representation''']].  This contains five  "main chapters", including  "Basic Terms of Communications Engineering".
*By clicking on the first main chapter, one can get to three  "chapters"  including the first chapter  [[Signal_Representation/Principles_of_Communication|"Principles of Communication"]].  <br>Such a chapter corresponds to a saved MediaWiki–file.
*The exemplary chapter  "Principles of Communication"  contains ten  "pages".  The last two pages are almost the same in all chapters, namely  "Exercises for the chapter"  and  "List of sources".}}
<br><br>

===(D)   Content overviews for LNTwww===

Eine Kurzübersicht über alle Bücher gibt es auf der Auswahloberfläche  [[Büchersammlung|&bdquo;Büchersammlung”]]. 
*Mehr Informationen liefern die &bdquo;Titelseiten” der einzelnen Bücher.
*Den jeweiligen Hauptkapitelinhalt findet man im jeweils ersten Kapitel auf der jeweils ersten Seite.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Die Titelseite des Buches  [[Mobile_Kommunikation|&bdquo;Mobile Kommunikation”]]  liefert folgende Informationen:
* Eine kurze Zusammenfassung,
* Umfang des Lernangebots:  $3{\rm V} + 2{\rm Ü}$,  vier Hauptkapitel; sechzehn Kapitel,
* Links zu den vier Hauptkapiteln,
* Links zu den Aufgaben, Lernvideos und interaktiven Applets des Buches &bdquo;Mobile Kommunikation”,
* Literaturempfehlungen zum Buch,
* Weitere Hinweise zum Buch  (Autoren, Weitere Beteiligte, Materialien als Ausgangspunkt des Buches, Quellenverzeichnis).

Den Inhalt des ersten Hauptkapitels &bdquo;Zeitvariante Übertragungskanäle” findet man auf der Seite 
[[Mobile_Kommunikation/Distanzabhängige_Dämpfung_und_Abschattung#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_ERSTEN_HAUPTKAPITEL_.23|
# ÜBERBLICK ZUM ERSTEN HAUPTKAPITEL #]].}}
<br><br>

===(E)   LNTwww exercises===

Sie finden die Aufgabenübersicht für alle Bücher  ( ca.  $640$  Aufgaben, ca.  $3100$  Teilaufgaben)  auf der Startseite über den Link  [[Aufgaben:Aufgabensammlung|&bdquo;Aufgaben”]].  Bitte beachten Sie:
*Jede Aufgabe besteht aus mehreren &bdquo;Teilaufgaben”.  Eine Aufgabe ist nur dann richtig gelöst, wenn alle Teilaufgaben richtig sind.
* Zu jeder Aufgabe gibt es eine ausführliche  "Musterlösung", manchmal auch mit der Angabe mehrerer Wege zum Ziel.
* Als Aufgabentypen werden verwendet:
# "Single Choice"   ⇒   nur eine der  $n$  vorgegebenen Antworten ist richtig;
# "Multiple Choice"   ⇒   von den  $n$  vorgegebenen Antworten können zwischen Null und  $n$  Antworten richtig sein;
# "Rechenaufgabe"   ⇒   Zahlenwertabfrage, eventuell mit Vorzeichen; <br>    bei der Überprüfung reellwertiger Ergebnisse werden geringe Abweichungen  $($meist  $\pm 3\%)$  zugelassen.
* Wir unterscheiden zwischen  "Aufgaben"  (zum Beispiel &bdquo;Aufgabe 1.1”) und  "Zusatzaufgaben"  (zum Beispiel &bdquo;Aufgabe 1.1Z”).
* Konnten Sie alle Aufgaben eines Kapitels problemlos lösen, so sind Sie nach unserer Einschätzung mit dem Kapitelinhalt vertraut.  Haben Sie eine Aufgabe falsch gelöst, so sollten Sie auch die folgende, meist etwas einfachere Zusatzaufgabe bearbeiten.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Zu den  $93$  Aufgaben/Zusatzaufgaben des Buches &bdquo;Signaldarstellung” gelangt man über den Link  [https://www.lntwww.de/Kategorie:Aufgaben_zu_Stochastische_Signaltheorie &bdquo;Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie”]. 

*Von dort aus geht es dann weiter zu den einzelnen Aufgaben,  zum Beispiel zu  [https://www.lntwww.de/Aufgaben:Aufgabe_1.1:_W%C3%BCrfelspiel_M%C3%A4xchen Aufgabe 1.1: &bdquo;Würfelspiel”].  Diese relativ einfache Aufgabe besteht aus einer "Multiple Choice" und einer Rechenaufgabe.  Sie erkennen, dass die Musterlösung sehr ausführlich ist und sogar ein Kurzvideo beinhaltet.

*Aber es gibt auch deutlich schwierigere Aufgaben in  $\rm LNTwww$.  Obwohl MediaWiki auch Rechenaufgaben als &bdquo;Quiz” bezeichnet, ist deren Beantwortung meist deutlich schwieriger als bei &bdquo;Jauch”.   Weil:  Bei einer Rechenaufgabe gibt es keine vorgegebenen Antworten, und zudem müssen oft vorher Integrale gelöst werden wie beispielsweise in der  [https://www.lntwww.de/Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gau%C3%9Fsche_2D-WDF Aufgabe 4.4: Gaußsche 2D-WDF].
*Wir empfehlen Ihnen:  Drucken Sie die Aufgabe zunächst aus   ⇒   $\rm Druckversion$  und lösen Sie die Aufgabe &bdquo;offline”, bevor Sie die Kontrolle &bdquo;online” vornehmen.}}
<br><br>

===(F)   LNTwww learning videos===

Zu den circa  $30$  Lernvideos gelangen Sie über den gleichnamigen Link auf der Startseite.  Die Realisierung eines Lernvideos erforderte folgenden Einzelschritte:  Drehbuch und Texte schreiben   –   Foliensatz erstellen mit nur geringen Unterschieden zwischen aufeinanderfolgenden Folien   –   Texte sprechen, schneiden und Audiobearbeitung   –   Zusammenfügen von Texten und Bildern zu einem zusammenhängenden Video-Stream.
*Klickt man diesen an, so erscheint eine  "Liste"  aller Lernvideos, gruppiert nach Fachbüchern. Manche Videos erscheinen bei mehreren Büchern.
*Nach Auswahl des gewünschten Lernvideos erscheint eine Wiki-Beschreibungsseite mit kurzer Inhaltsangabe und Bedienoberfläche.
*Von hier aus kann man das Video im mp4– und ogv–Format starten.  Der Browser sucht sich das passende Format.
*Die Videos können von vielen Browsern  (Firefox, Chrome, Safari, ...)  sowie Smartphones und Tablets wiedergegeben werden.
*Der unterste Link liefert alle verfügbaren Lernvideos in alphabetischer Reihenfolge.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Wir betrachten beispielhaft unser Angebot  [[Analoge_und_digitale_Signale_(Lernvideo)|&bdquo;Analoge und digitale Signale”]].  Dieses stellt ein zweiteiliges Video im mp4– und ogv–Format bereit.
*Jeder Videoteil kann durch Einfach-Klick gestartet werden und durch einen weiteren Klick angehalten werden.

*Die Wiedergabegeschwindigkeit der Videos kann verändert werden:
** Firefox bietet nach einem Rechtsklick aufs Video ein Untermenü an.
** Für Google Chrome kann man z.B. das Plugin &bdquo;Video Speed Controller&bdquo; installieren.
}}
<br><br>

===(G)   LNTwww applets===

Zu den bereitgestellten &bdquo;interaktiven Applets” gelangen Sie über den gleichnamigen Link auf der Startseite.
* Klickt man diesen an, so erscheint eine "Liste" aller Applets, gruppiert nach Fachbüchern.  Wir unterscheiden zwischen den neueren  $\text{HTML 5/JavaScript}$–Applets  (in den jeweiligen Listen oben)  und den älteren  $\text{SWF}$–Applets  (darunter).  '''Letztere funktionieren leider nicht auf Smartphones und Tablets'''.
*Nach Auswahl eines $\text{HTML 5/JS}$–Applets  erscheint eine Wiki-Beschreibungsseite mit Inhaltsangabe, einem oft längeren Theorieteil und anschießend der Versuchsdurchführung mit Musterlösungen.  Am Anfang und Ende dieser Seite gibt es jeweils Links zum eigentlichen HTML5–Applet in deutscher und englischer Sprache.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5:}$ 
Die didaktische Bedeutung der Applets soll anhand von  [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|&bdquo;Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit”]]  belegt werden.  Das Augendiagramm ist ein bewährtes Tool der Übertragungstechnik, um den Einfluss von Leitungsdispersionen auf das Qualitätsmerkmal „Fehlerwahrscheinlichkeit“ zu erfassen.  Dieses dient der Verdeutlichung schwierigerer Sachverhalte, im Beispiel der schrittweisen Kon-struktion des Augendiagramms aus der Symbolfolge.

Das Programm bietet sehr viele Einstellungsmöglichkeiten.  Nicht jede Einstellung bringt aber dem Nutzer einen relevanten Lernerfolg und noch weniger führen zu einem so genannten „Aha-Effekt“.  Deshalb führen wir den Nutzer anhand der Versuchsdurchführung gezielt durch das Programm.  Er muss verschiedene Aufgabe lösen:  Ergebnisse vorhersagen und bewerten, Parameter optimieren, usw.

Applets haben eine ähnliche Funktion wie Praktika in mathematisch-naturwissenschaftlichen Studiengängen:  Ergänzung von Vorlesung/Übung durch selbständiges Arbeiten des Studenten zur behandelten Thematik.  Ein „Top 10%“-Student hat natürlich die Möglichkeit, sich mit Hilfe des Applets über die Versuchsdurchführung hinausgehende Aufgaben zu stellen und so sehr tief in den dargelegten Lehrstoff einzudringen. }}

Neben diesen rund  $30$  HTML 5/JS–Applets  bieten wir weiterhin noch einige unserer  $50$  SWF-Applets  ('''S'''hock '''W'''ave '''F'''lash)  an.  Diese wurden für "Adobe Flash" programmiert.  Da das Flashplayer Browser Plugin aus Sichheitsgründen nicht mehr unterstützt wird, müssen diese Applets mit der &bdquo;Projektor–Version” geöffnet werden.

Die Projektor–Version müssen Sie nicht installieren und es wird nicht in Ihren Browser integriert.  Es gibt also dahingehend keine Sicherheitsbedenken, sofern Sie unserem  $\rm LNTwww$  vertrauen.  Auf den entsprechenden Wiki–Seiten finden Sie die Projektorversion des Flashplayers und natürlich das Applet selber.
<br><br>

===(H)     The download area of LNTwww===

Alle Texte zu LNTwww finden Sie als PDF unter dem Link   [http://www.lntwww.de/downloads/ '''Zum Download-Verzeichnis''']

'''! Noch überarbeiten !'''
<br><br>

===(I)   History of LNTwww===
<br>
Am  [https://www.ei.tum.de/lnt/home/ Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  $\rm (LNT)$  der  [https://www.tum.de Technischen Universität München]  $\rm (TUM)$  wurden von 1984 bis 1996 zwei  [[LNTwww:Über_LNTwww#.28H.29_Unsere_fr.C3.BCheren_Offline.E2.80.93Programme|Lehrsoftwarepakete]]  $\text{(LNTsim, LNTwin)}$  realisiert, die in unseren Praktika eingesetzt wurden.  Auch verschiedene andere Universitäten haben diese Programme in der Lehre benutzt.

Zu Beginn der ersten Internet-Euphorie gab es Anfragen von Studierenden, ob wir solche Simulations- und Demonstrationsprogramme auch online bereitstellen könnten.  Nach reiflicher Überlegung  („Lohnt sich der zu erwartende große Aufwand?“)  begann [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]  mit der Planung von von „LNTwww.v1“  (2001).  Co-Verantwortlicher war  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]], der schon in den 1970er Jahren beim „Computerunterstützten Unterricht“ sehr aktiv war – so hieß „E-Learning“ damals.  2011 sollte das Projekt spätestens beendet sein.

Inhaltlich wurde von den Unterrichtsmaterialien von Klaus Eichin und Günter Söder sowie von  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|Norbert Hanik]]  (Professur &bdquo;Leitungsgebundene Übertragungstechnik”) ausgegangen. Berücksichtigt wurden auch andere Vorlesungsunterlagen, die am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik unter den letzten vier Lehrstuhlinhabern entstanden sind:
::*Professor [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Hans_Marko_.281962-1993.29|Hans Marko]]  (1962– 1993),
::*Professor [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Joachim_Hagenauer_.281993-2006.29|Joachim Hagenauer]]  (1993– 2006),
::*Professor [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._Ralf_K.C3.B6tter_.282007-2009.29|Ralf Kötter]]  (2007–2009) und
::*Professor [http://www.lnt.ei.tum.de/mitarbeiter/professoren/kramer/ Gerhard Kramer]  (seit 2010).

Bevor mit der Umsetzung unserer Ideen begonnen werden konnte, musste von mehreren engagierten und IT-affinen Studenten im Rahmen von Abschlussarbeiten noch die Plattform „LNTwww“ entwickelt werden.  Das Autorensystem basierte auf dem http-Server „Apache“, der Datenbank „MySQL“ und der Scriptsprache „Perl“.  In die für die damalige Zeit riesengroße Datenbank wurden alle eingegebenen Entitäten  (Texte und Textfragmente, Gleichungen, Grafiken, Hyperlinks, multimediale Elemente, etc.)  abgelegt, dazu verschiedene Darstellungsmerkmale zur farblichen Hinterlegung von Definitionen, Beispielen, etc.

*Als technische Basis für die Multimedia-Anwendungen entschieden wir uns für Shock Wave Flash (SWF).  Die Entscheidung war einfach, denn dieses Tool war damals anerkanntermaßen am besten geeignet.

*Die anstehenden Arbeiten der folgenden Jahre waren die Anpassung der Manuskripte an Online-Betrieb, die Eingabe in die Datenbank mit der recht komplizierten LNTwww-Syntax, die Erstellung der Grafiken sowie die Konzipierung und Realisierung multimedialer Elemente.

Aber erst 2016 – nach fünfzehn Jahren und fünf Jahre nach der geplanten Fertigstellung - war der gewünschte Endzustand von „LNTwww.v2“ erreicht.  Gleichzeitig wurde bekannt, dass die Basis „SWF“ unserer Multimedia-Anwendungen zukünftig von relevanten Herstellern nicht mehr unterstützt werden wird.

Diese Tatsache und die von einigen Nutzern hörbare Kritik am inzwischen zu biederen Design  (unser Autorensystem war auf dem Stand von 2003)  waren ausschlaggebend für einen Neustart mit „LNTwww.v3“, basierend auf MediaWiki (bekannt durch WIKIPEDIA).
*Die Umsetzung auf „LNTwww.v3“ dauerte mehr als vier arbeitsintensive Jahre.  Bei mathematisch-naturwissenschaftlichen Inhalten ist die Portierung in eine andere E-Learning-Basis  (wie hier von „LNTwww“ nach „MediaWiki“)  aufgrund vieler Sonderzeichen, Kursiv-, Hoch- und Tiefstellungen nur manuell möglich.
*Die Umsetzung der Lernvideos  (von „swf“ nach „mp4“ bzw. „ogv“ )  konnte weitgehend automatisiert erfolgen.  Dagegen erforderte die Umsetzung der interaktiven Applets  (von „swf“ nach „HTML5/JS“)  eine Neuprogrammierung, an der wie schon in den Jahren zuvor viele unserer Studentinnen und Studenten beteiligt waren.

Nach einigen Kontroll– und Korrektur–Iterationen wird nun im März 2021 unser e-Learning-Angebot  $\text{https://www.LNTwww.de}$  endgültig freigegeben, ziemlich genau zwanzig Jahre nach der ersten Planung und zehn Jahre nach der geplanten Fertigstellung. 

Inhaltlich unterscheidet sich diese dritte Version nicht nur unwesentlich von der zweiten, doch insbesondere die multimedialen Elemente wurden hierdurch wesentlich verbessert.  Wir gehen davon aus, dass „MediaWiki“ für einige Jahre der Quasi-Standard für Internet-Anwendungen bleibt.  Dann hätte sich dieser Aufwand gelohnt.
<br>

===(J)   Acknowledgement===

Der noch immer  $\rm LNTwww$–Verantwortliche Günter Söder bedankt sich auch im Namen des Lehrstuhls für Nachrichtentechnik der TU München und dessen Leiter Gerhard Kramer bei den vielen an der Entstehung von  $\rm LNTwww$ Beteiligten,

*an erster Stelle bei den zwei Co-Verantwortlichen  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]  (bis 2011, neben der Planung auch Co–Autor) und  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] (seit 2016, verantwortlich für die Systemkonfiguration und –administration sowie die Umsetzung auf MediaWiki, HTML5/JS, MP4);

*bei  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]],  die mit ihren Diplomarbeiten Anfang der 2000er Jahre die technischen Grundlagen geschaffen haben; letzterer war noch bis 2016 ehrenamtlicher Systemadministrator;

* bei Prof.  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|Norbert Hanik]] (Professur &bdquo;Leitungsgebundene Übertragungstechnik” – Co–Autor einiger Bücher und eifriger Weiterverbreiter unserer Lernangebote in seinen Vorlesungen)  sowie  bei seinen Doktoranden  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|Bernhard Göbel]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Benedikt_Leible.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2017.29|Benedikt Leible]];

* bei den ehemaligen  LNT-Kollegen Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Ronald_B.C3.B6hnke_.28am_LNT_von_2012-2014.29|Ronald Böhnke]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Joschi_Brauchle_.28am_LNT_von_2007-2015.29|Joschi Brauchle]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]],  Prof. [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr._Gianluigi_Liva|Gianluigi Liva]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Tobias_Lutz_.28am_LNT_von_2008-2014.29|Tobias Lutz]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Michael_Mecking_.28am_LNT_von_1997-2012.29|Michael Mecking]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Markus_Stinner_.28am_LNT_von_2011-2016.29|Markus Stinner]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Stockhammer_.28am_LNT_von_1995-2004.29|Thomas Stockhammer]],  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|Johannes Zangl]]  und  Dr. [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Georg_Zeitler_.28am_LNT_von_2007-2012.29|Georg Zeitler]], die als Co–Autoren oder Experten mitwirkten oder studentische Arbeiten betreuten;

* bei allen Kolleginnen und Kollegen des LNT, die uns bei vielen oft langwierigen und nervtötenden Arbeiten tatkräftig unterstützt haben:  Doris Dorn (hat unzählige Texte und Gleichungen in der kompliziertenLNTwww–Syntax eingegeben), Manfred Jürgens, Martin Kontny, Winfried Kretzinger, Robert Schetterer und Christin Wizemann;

*bei vielen  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende|an LNTwww beteiligten Studierenden]] – hinter diesem Link verbergen sich fast fünfzig Studentinnen und Studenten, die zwischen 2001 und 2021 im Rahmern von Ingenieurspraxis, Zulassungs–, Diplom–, Bachelor– und Masterarbeiten oder im Rahmen einer Werkstudententätigkeit Teilgebiete selbständig bearbeitet, Lernvideos und interaktive Applets Elemente gestaltet oder die Portierung zur MediaWiki–Version umgesetzt haben;

*bei der  [https://www.ei.tum.de/startseite/ Fakultät für Elektrotechnik und Infomationstechnik]  und der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  für die Finanzierung von Werkstudenten im Rahmen der Förderprogramme  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ &bdquo;MoliTUM”]  bzw.  [https://www.lehren.tum.de/themen/ideenwettbewerb/ &bdquo;EXIni”]  in den Jahren seit 2016.

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2021-11-02T07:34:09Z

Tasnad:

<html>
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<h3 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:42px">LNTwww <span style="font-size:28px">  –   First steps to the English version </span></h3>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:400; font-size:25px"> <span class="text-muted" style="font-weight:100"> An e-learning tutorial for Communications Engineering with nine didactic multimedia textbooks including exercises with solutions, videos, and interactive applets</span></h2>
<h2 class="featurette-heading" style="font-weight:100; font-size:20px"> <span class="text-muted" style="font-weight:80"> Completed (currently 25% of the total curriculum):</span></h2>
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__NOTOC__ __NOEDITSECTION__

Mobile Communications

2021-09-01T11:49:47Z

Tasnad:

This book discusses the main differences between fixed–line network systems and systems where transmitters and/or receivers are moving.  Many of the basics covered in previous books are still valid when you look at "Mobile Communications".

Please note:
*The description is mainly in the equivalent low-pass representation.
*Differences from previous books are due to the channel here, which is always a radio channel and mostly time-variant.
*Intersymbol interference is not caused by the frequency dependence of the medium  "electrical line"  or  "optical waveguide", but by multipath propagation due to reflections, resulting in constructive or destructive superpositions of the electromagnetic wave with its echoes.

The scope of this book corresponds to a course with two semester hours per week (SWS) lecture and one SWS exercises.

Here is a table of contents based on the  '''four Main Chapters'''  with a total of '''16 Chapters'''.

===Content===
{{Collapsible-Kopf}}
{{Collapse1| header=Time-Variant Transmission Channels
| submenu=
*[[/Distance Dependent Attenuation and Shading/]]
*[[/Probability Density of Rayleigh Fading/]]
*[[/Statistical Bindings within the Rayleigh Process/]]
*[[/Non-Frequency Selective Fading With Direct Component/]]
}}
{{Collapse2 | header=Frequency-Selective Transmission Channels
|submenu=
*[[/General Description of Time Variant Systems/]]
*[[/Multi-Path Reception in Mobile Communications/]]
*[[/The GWSSUS Channel Model/]]
}}
{{Collapse3 | header=Mobile Radio Systems of the 2nd and 3rd Generation - an Overview
|submenu=
*[[/History and Development of Mobile Communication Systems/]]
*[[/Similarities between GSM and UMTS/]]
*[[/Characteristics of GSM/]]
*[[/Characteristics of UMTS/]]
}}
{{Collapse4 | header=LTE – Long Term Evolution
|submenu=
*[[/General Information on the LTE Mobile Communications Standard/]]
*[[/Technical Innovations of LTE/]]
*[[/The Application of OFDMA and SC-FDMA in LTE/]]
*[[/Physical Layer for LTE/]]
*[[/LTE-Advanced - a Further Development of LTE/]]
}}
{{Collapsible-Fuß}}

In addition to these theory pages, we also offer tasks and multimedia modules that could help to clarify the teaching material:
*[https://en.lntwww.de/Category:Mobile_Communications:_Exercises $\text{Exercises}$]
*[[LNTwww:Learning_Videos_Related_to_Mobile_Communications|$\text{Learning videos}$]]
*[[LNTwww:Applets_Related_to_Mobile_Communications|$\text{Applets}$]]

<br><br>
$\text{Other Links:}$
<br><br>
$(1)$    [[LNTwww:Bibliography_to_Mobile_Communikations_to_Mobile_Communikations|$\text{Bibliography to the book}$]]

$(2)$    [[LNTwww:Notes_on_the_authors_and_materials_used_in the_preparation_of_Mobile Communications|$\text{Notes on the authors and materials used in the preparation of the book}$]]
<br><br>

{{Display}}

Signal Representation/Signal classification

2021-06-07T13:58:35Z

Tasnad:

{{Header
|Untermenü=Basic Terms of Communications Engineering
|Vorherige Seite=Principles of Communication
|Nächste Seite=Calculating With Complex Numbers
}}

==Deterministic and Stochastic Signals==
<br>
In every communications system both  "deterministic signals"  and  "stochastic signals"  occur.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
A  $\text{deterministic signal}$  exists,  if its time functions  $x(t)$  can be described completely in analytical form.
}}

Since the time function  $x(t)$  for all times  $t$  is known and can be specified unambiguously,  there always exists a spectral function  $X(f)$  which can be calculated using the  [[Signal_Representation/Fourier_Series#Fourierreihe|Fourier series]]  or the  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_erste_Fourierintegral|Fourier transform]] .

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
One refers to a  $\text{stochastic signal}$   or to a  $\text{random signal}$,  if the signal course  $x(t)$  is not - or at least not completely – describable in mathematical form.  Such a signal cannot be predicted exactly for the future.}}

[[File:P_ID350_Sig_T_1_2_S1_neu.png|right|frame|Example of a deterministic signal (top) and <br>a stochastic signal (bottom)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
The graph shows time histories of a deterministic and a stochastic signal:
*At the top a periodic square wave signal  $x_1(t)$  with period duration  $T_0$   ⇒   deterministic signal,
*below a Gaussian noise signal  $x_2(t)$  with the mean value  $2\ \rm V $   ⇒   stochastic signal.

For such a non–deterministic signal  $x_2(t)$  no spectral function  $X_2(f)$  can be specified, since Fourier series and Fourier transform requires the exact knowledge of the time function for all times  $t$. }}

Information-carrying signals are always of stochastic nature.  Their description and the definition of suitable parameters is given in the book  [[Theory of Stochastic Signals]].

However, the deterministic signals are also of great importance for Communications Engineering.  Examples of this are:
*Test signals for the design of communication systems,
*carrier signals for frequency multiplex systems,  and
*a  "Dirac delta train"  for sampling an analog signal or for time regeneration of a digital signal.

==Causal and Non-Causal Signals==
<br>
In  Communications Engineering  one often reckons with temporally unlimited signals;  the definition range of the signal then extends from  $t = -\infty$   to  $t=+\infty$.

In reality, however, there are no such signals, because every signal had to be switched on at some point.  If one chooses - arbitrarily, but nevertheless meaningfully - the switch-on time  $t = 0$,  then one comes to the following classification:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
*A signal  $x(t)$  is called  $\text{causal}$,  if it does not exist for all times  $t < 0$  or is identical zero.
*If this condition is not fulfilled, then one speaks of a  $\text{non-causal}$  signal (or system).}}

In this book  "Signal representation"  mostly causal signals and systems are considered.  This has the following reasons:
*Non-causal signals  (and systems)  are mathematically easier to handle than causal ones.  For example, the spectral function can be determined here by means of Fourier transform and one does not need extensive knowledge of function theory as in the Laplace transform.
*Non-causal signals and systems describe the situation completely and correctly, if one ignores the problem of the switch-on process and is therefore only interested in the  "steady state".
*The description of causal signals and systems using the  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace Transform]]  is shown in the book   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Linear Time-Invariant Systems]].

[[File:EN_Sig_T_1_2_S2_v2.png|right|frame|Causal system (top) and non-causal system (bottom)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
You can see a causal system in the upper graphic:
*If a unit step function  $x(t)$  is applied to its input, then the output signal  $y(t)$  can only increase from zero to its maximum value after time  $t = 0$.
*Otherwise the causal connection that the effect cannot begin before the cause would not be fulfilled.

In the lower graph the causality is no longer given.  As you can easily see in this example, an additional runtime of one millisecond is enough to change from the non-causal to the causal representation.}}

==Energy–Limited and Power–Limited Signals==
<br>
At this place first two important signal description quantities must be introduced, namely the  '''energy'''  and the  '''power'''.
*In terms of physics, energy corresponds to work and has, for example, the unit "Ws".
*The power is defined as "work per time" and therefore has the unit "W".

According to the elementary laws of electrical engineering, both values are dependent on the resistance  $R$ . In order to eliminate this dependency, the resistance  $R=1 \,\Omega$  is often used as a basis in communications engineering. Then the following definitions apply:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  The  $\text{energy}$  of the signal  $x(t)$  is to calculate as follows:

:$$E_x=\lim_{T_{\rm M}\to\infty} \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} x^2(t)\,{\rm d}t.$$}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ To calculate the (mean)  $\text{power}$,  $T_{\rm M}$  must be divided by the time before the limit crossing:

:$$P_x = \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} x^2(t)\,{\rm d}t.$$

$T_{\rm M}$  is the assumed measurement duration during which the signal is observed, symmetrically with respect to the time origin  $(t = 0)$.  In general, this time interval must be chosen very large;  ideally  $T_{\rm M}$  should be towards infinity.}}

If  $x(t)$  denotes an electrical voltage curve  $($unit:  $\text{V)}$, then according to the above equations:
*The signal energy has the unit  $\text{V}^2\text{s}$.
*The signal power has the unit  $\text{V}^2$.

This statement also means:   In the above definitions the reference resistance  $R=1\,\Omega$  is already implicit.

[[File:P_ID590__Sig_T_1_2_S3.png|right|frame|Energy limited and power limited signals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$ 
Now the energy and power of two exemplary signals are calculated.

The upper graphic shows a rectangular pulse  $x_1(t)$  with amplitude  $A$  and duration  $T$.

*The signal energy of this pulse is  $E_1 = A^2 \cdot T$.
*For the signal power,  division by  $T_{\rm M}$  and limit formation  $(T_{\rm M} \to \infty)$  the value is  $P_1 = 0$.

For the cosine signal  $x_2(t)$  with amplitude  $A$  applies according to the sketch below:

*The signal power is  $P_2 = A^2/2$,  regardless of the frequency.
*The signal energy  $E_2$  (integral over power for all times)  is infinite.

With  $A = 4 \ {\rm V}$  results for the power  $P_2 = 8 \ {\rm V}^2$.   With the resistance of  $R = 50 \,\,\Omega$  this corresponds to the physical power  ${8}/{50} \,\,{\rm V}\hspace{-0.1cm}/{\Omega}= 160\,\, {\rm mW}$.}}

According to this example there are the following classification characteristics:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
A signal  $x(t)$  with finite energy  $E_x$  and infinitely small power  $(P_x = 0)$  is called  $\text{energy–limited}$. }}
*With pulse-shaped signals like the signal  $x_1(t)$  in the above example,  the energy is always limited.  Mostly, the signal values here are different from zero only for a finite period of time.  In other words:  Such signals are often time-limited, too.
*But even signals that are unlimited in time can have a finite energy.  In later [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse|chapters]] you will find more information about energy–limited and therefore aperiodic signals, for example the   [[Signal_Representation/Special_Cases_of_Impulse_Signals#Gau.C3.9Fimpuls|Gaussian pulse]]  and the  [[Aufgaben:3.1_Spektrum_des_Exponentialimpulses|Exponential pulse]].

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
A signal  $x(t)$  with finite power  $P_x$  and accordingly infinite energy  $(E_x \to \infty)$  is called  $\text{power–limited}$.}}

*All power limited signals are also infinitely extended in time.  Examples are the  [[Signal_Representation/Direct_Current_Signal_-_Limit_Case_of_a_Periodic_Signal|DC signal]]  and  [[ Signal_Representation/Harmonic_Oscillation|harmonic oscillations]]  such as the cosine signal  $x_2(t)$  in  $\text{Example 3}$, which are described in detail in the chapter  [[Signal_Representation/General_Description|Periodic Signals]].
*Even most of the stochastic signals are power–limited - see the book  [[Theory of Stochastic Signals]].

==Value-Continuous and Value-Discrete Signals==
<br>
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*A signal is called  $\text{value-continuous}$, if the decisive signal parameter - for example the instantaneous value - can take all values of a continuum  (for example of an interval) .
*In contrast, if only countable many different values are possible for the signal parameter, then the signal is  $\text{value-discrete}$. The number  $M$  of possible values is called the  "level number"  or the "symbol set size".}}

*Analog transmission systems always work with value-continuous signals.
*For digital systems, on the other hand, most but not all signals are value-discrete.

[[File:P_ID358_Sig_T_1_2_S4_a_neu.png|right|frame|Value-continuous and value-discrete signal]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 4:}$ 
The upper diagram shows in blue a section of a value–continuous signal  $x(t)$, which can take values between  $\pm 8\ \rm V$ .
*In red you can see the signal  $x_{\rm Q}(t)$  discretised on   $M = 8$  quantization levels with the possible signal values  $\pm 1\ \rm V$,  $\pm 3\ \rm V$,  $\pm 5\ \rm V$  and  $\pm 7\ \rm V$.
*For this signal  $x_{\rm Q}(t)$  the instantaneous value was considered the decisive signal parameter.

[[File:P_ID831_Sig_T_1_2_S4_b_neu.png|left|frame|FSK-Signal - value-continuous and still binary]]

In an FSK system  ("Frequency Shift Keying")  on the other hand, the instantaneous frequency is the essential signal parameter.

Therefore the signal  $s_{\rm FSK}(t)$  shown below is also called discrete with level number  $M = 2$  and possible frequencies  $1 \ \ \rm kHz$  and  $5 \ \ \rm kHz$, although the instantaneous value is value-continuous.}}

==Time-Continuous and Time-Discrete Signals==
<br>
For the signals considered so far, the signal parameter was defined at any given time.  Such a signal is called  "time-continuous".

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*With a  $\text{time-discrete signal}$  on the contrary, the signal parameter is defined only at the discrete points  $t_\nu$. 
*These points in time are usually chosen equidistant:  
:$$t_\nu = \nu \cdot T_{\rm A}.$$
*We refer  $T_{\rm A}$  as  "sampling time interval"  and its reciprocal  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  as  "sampling frequency",  because such a signal may be created by sampling a time-continuous signal. }}

[[File:P_ID355_Sig_T_1_2_S5_neu.png|right|frame|Time–continuous and time–discrete signal]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 5:}$ 
The time–discrete signal  $x_{\rm A}(t)$  is obtained after sampling the time–continuous and value–continuous signal  $x(t)$  equidistant in time  $(T_{\rm A})$.

*The time plot  $x_{\rm R}(t)$  outlined below differs from the real time-discrete representation  $x_{\rm A}(t)$  in that the infinitely narrow samples  (mathematically describable with Dirac pulses)  are replaced by rectangular pulses of duration  $T_{\rm A}$ .
*Such a signal can also be called  "time-discrete"  according to the above definition.
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>
Furthermore applies:
*A time-discrete signal $x(t)$  is completely determined by its series  $\left \langle x_\nu \right \rangle$  of sampled values. .
*These sampled values can either be value-continuous or value-discrete.
*The mathematical description of time-discrete signals is given in chapter <br> [[Signal_Representation/Time_Discrete_Signal_Representation|Time Discrete Signal Representation
]].}}
<br clear=all>
==Analog and Digital Signals==
<br>
[[File:EN_Sig_T_1_2_S6.png|right|frame|Analog and digital signals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 6:}$ 
The signal properties
* "value-continuous",
* "value-discrete",
* "time-continuous",
* "time-discrete"

are illustrated in the diagram on the right using an example.
<br clear=all>}}

<br>In addition, the following specifications apply:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
*If a signal is both value–continuous  <u>and</u>  time–continuous, it is called a  $\text{analog signal}$.  Such signals represent a continuous process continuously.
*Examples are speech signals, music signals and image signals.}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
*A  $\text{digital signal}$,  on the other hand,  is always value–discrete  <u>and</u>  time-discrete and the message contained therein consists of the symbols of a symbol set.
*For example, it can be a sampled and quantized (as well as coded in any form) voice, music or image signal,
*but also a data signal when a file is downloaded from a server on the Internet.}}

Depending on the number of levels, digital signals are also known by other names, for example
* with $M = 2$:   binary digital signal or  $\text{binary signal}$,
* with $M = 3$:   ternary digital signal or   $\text{ternary signal}$,
* with $M = 4$:   quaternary digital signal or  $\text{quaternary signal}$.

The following (German language) learning video summarizes the classification features discussed in this chapter in a compact way:<br>          [[Analoge_und_digitale_Signale_(Lernvideo)|Analoge und digitale Signale]]   ⇒   Analog and Digital Signals.

==Exercises for the Chapter==
<br>
[[Aufgaben:Exercise_1.2:_Signal_Classification|Exercise 1.2: Signal Classification]]

[[Aufgaben:Exercise_1.2Z:_Puls-Code-Modulation|Exercise 1.2Z: Puls Code Modulation]]

{{Display}}

Applets:The Doppler Effect

2021-04-01T14:21:36Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|dopplereffect_en|dopplereffect}}

==Applet Description==
<br>
The applet is intended to illustrate the "Doppler effect", named after the Austrian mathematician, physicist and astronomer Christian Andreas Doppler.  This predicts the change in the perceived frequency of waves of any kind, which occurs when the source (transmitter) and observer (receiver) move relative to each other.  Because of this, the reception frequency $f_{\rm E}$  differs from the transmission frequency $f_{\rm S}$.  The Doppler frequency $f_{\rm D}=f_{\rm E}-f_{\rm S}$  is positive if the observer and the source approach each other, otherwise the observer perceives a lower frequency than which was actually transmitted.

The exact equation for the reception frequency $f_{\rm E}$  considering the theory of relativity is:
:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\text{ Exact equation}}.$$
*Here is  $v$  the relative speed between transmitter and receiver, while  $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  indicates the speed of light.
*$\alpha$  is the angle between the direction of movement and the connecting line between transmitter and receiver.
*$\varphi$  denotes the angle between the direction of movement and the horizontal in the applet. In general,  $\alpha \ne \varphi$.

At realistic speeds  $(v/c \ll 1)$  the following approximation is sufficient, ignoring the effects of relativity:
:$$f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Approximation}}\hspace{0.05cm}.$$
For example, in the case of mobile communications, the deviations between  $f_{\rm E}$  and  $f_{\rm S}$  – the Doppler frequency $f_{\rm D}$  – is only a fraction of the transmission frequency. 

==Theoretical Background==
<br>
=== Phenomenological description of the Doppler effect===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  The  $\rm Doppler effect$  is the change in the perceived frequency of waves of any kind that occurs when the source (transmitter) and observer (receiver) move relative to each other. This was theoretically predicted by the Austrian mathematician, physicist and astronomer  [https://en.wikipedia.org/wiki/Christian_Doppler Christian Andreas Doppler]  in the middle of the 19th century and named after him.}}

Qualitatively, the Doppler effect can be described as follows:
*If the observer and the source approach each other, the frequency increases from the observer's point of view, regardless of whether the observer is moving or the source or both.<br>

*If the source moves away from the observer or the observer moves away from the source, the observer perceives a lower frequency than was actually transmitted.<br><br>

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$  We look at the change in pitch of the "Martinhorn" of an ambulance. As long as the vehicle is approaching, the observer hears a higher tone than when the vehicle is stationary.  If the ambulance moves away, a lower tone is perceived.<br>

The same effect can be seen in a car race.  The frequency changes and the "sound" are all the clearer the faster the cars go. }}<br>

[[File:P ID2113 Mob T 1 3 S2a v1.png|right|frame|Starting position: $\rm (S)$ and $\rm (E)$ do not move|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
Some properties of this effect, which may be still known from physics lessons, are now to be shown on the basis of screen shots from an earlier version of the present applet, with the dynamic program properties of course being lost.<br>

The first graphic shows the initial situation:
*The stationary transmitter  $\rm (S)$  emits the constant frequency $f_{\rm S}$.
*The wave propagation is illustrated in the graphic by concentric circles around  $\rm (S)$.
*The receiver   $\rm (E)$ , which is also at rest, receives naturally the frequency $f_{\rm E} = f_{\rm S}$.}}
<br>

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$  In this snapshot, the transmitter  $\rm (S)$  has moved from its starting point  $\rm (S_0)$  to the receiver  $\rm (E)$  at a constant speed.

[[File:P ID2114 Mob T 1 3 S2b v2.png|right|frame|Doppler effect: $\rm (S)$ moves towards the resting $\rm (E)$]]

*The diagram on the right shows that the frequency $f_{\rm E}$ perceived by the receiver (blue oscillation) is about $20\%$ greater than the frequency $f_{\rm S}$ at the transmitter (red oscillation).
*Due to the movement of the transmitter, the circles are no longer concentric.

[[File:P ID2115 Mob T 1 3 S2c v2.png|left|frame|Doppler effect: $\rm (S)$ moves away from resting $\rm (E)$ ]]
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>
* The left scenario is the result when the transmitter moves away from the receiver:
* Then the reception frequency $f_{\rm E}$  (blue oscillation)  is about  $20\%$  lower than the transmission frequency $f_{\rm S}$.<br>}}
<br><br>

===Doppler frequency as a function of speed and angle of the connecting line===

We agree:  The frequency $f_{\rm S}$  is sent and the frequency $f_{\rm E}$  is received.  The Doppler frequency is the difference $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$  due to the relative movement between the transmitter (source) and receiver (observer).

*A positive Doppler frequency  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  arises when transmitter and receiver move (relatively) towards each other.
*A negative Doppler frequency  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  means that transmitter and receiver are moving apart  (directly or at an angle).<br>

The exact equation for the reception frequency $f_{\rm E}$  including an angle  $\alpha$  between the direction of movement and the connecting line between transmitter and receiver is:
::<math>f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\text{ Exact equation}}.</math>
Here  $v$  denotes the relative speed between transmitter and receiver, while  $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  indicates the velocity of light.

*The graphics in  $\text{Example 3}$  apply to the unrealistically high speed  $v = c/5 = 60000\, {\rm km/s}$, which lead to the Doppler frequencies $f_{\rm D} = \pm 0.2\cdot f_{\rm S}$.

*In the case of mobile communications, the deviations between $f_{\rm S}$  and $f_{\rm E}$  are usually only a fraction of the transmission frequency.  At such realistic velocities  $(v \ll c)$  one can start from the following approximation, which does not take into account the effects described by the [https://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_relativity Theory of Relativity]:
::<math>f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Approach}}\hspace{0.05cm}.</math>

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 4:}$  We are assuming a fixed station here.  The receiver approaches the transmitter at an angle $\alpha = 0$. 

Different speeds are to be examined:
* an unrealistically high speed  $v_1 = 0.6 \cdot c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$ $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6$,
* the maximum speed  $v_2 = 3 \ {\rm km/s} \ \ (10800 \ {\rm km/h})$  for an unmanned space flight  $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}$,
* approximately the top speed  $v_3 = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$  on federal roads  $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}$.

'''(1)'''  According to the exact, relativistic first equation:
:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c }
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 - 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{0.4 } - 1 = 1
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 2
\hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 - (10^{-5}) } - 1 \approx 1 + 10^{-5} - 1 = 10^{-5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.00001
\hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{\rm -7}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-7})^2} }{1 - (10^{-7}) } - 1 \approx 1 + 10^{-7} - 1 = 10^{-7} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.0000001
\hspace{0.05cm}.$$

'''(2)'''  On the other hand, according to the approximation, i.e. without taking into account the theory of relativity:
:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \big [ 1 + {v}/{c} \big ]
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \ = \ 0.6 \hspace{0.5cm} ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.6,$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.00001,$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.0000001.$$}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Conclusion:}$ 
#  For "low speeds", the approximation to the accuracy of a calculator gives the same result as the relativistic equation.
#  The numerical values show that we can also rate the speed  $v_2 = \ 10800 \ {\rm km/h}$  as "low" in this respect.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 5:}$  The same requirements apply as in the last example with the difference: Now the receiver moves away from the transmitter $(\alpha = 180^\circ)$.

'''(1)'''  According to the exact, relativistic first equation with  ${\rm cos}(\alpha) = -1$:

:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c }
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \right ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 + 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{1.6 } - 1 =-0.5
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 0.5
\hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 + (10^{-5}) } - 1 \approx - 10^{-5}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 0.99999
\hspace{0.05cm}.$$
'''(2)'''  On the other hand, according to the approximation, i.e. without taking into account the theory of relativity:
:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \big [ 1 - {v}/{c} \big ] \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = - {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$

:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 0.6} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.4,$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ - 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.99999.$$}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Conclusion:}$ 
#  The reception frequency  $f_{\rm E}$  is now lower than the transmission frequency  $f_{\rm S}$  and the Doppler frequency   $f_{\rm D}$  is negative.
#  Using the approximation, the Doppler frequencies for the two directions of movement differ only in the sign   ⇒   $f_{\rm E} = f_{\rm S} \pm f_{\rm D}$.
#  This symmetry does not exist with the exact, relativistic equation. }}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 6:}$  Now let's look at the speed that is also realistic for mobile communications  $v = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$   ⇒   $v/c=10^{-7}$. 

[[File:P_ID2118__Mob_Z_1_4.png|right|frame|Directions  $\rm (A)$,  $\rm (B)$, $\rm (C)$, $\rm (D)$]]

*This allows us to limit ourselves to the non-relativistic approximation:   $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$
*As in the previous examples, the transmitter is fixed. The transmission frequency is  $f_{\rm S} = 2 \ {\rm GHz}$.

The graphic shows possible directions of movement of the receiver. 
* The direction  $\rm (A)$  was used in $\text{Example 4}$ .  With the current parameter values

:$$f_{\rm D} = 2 \cdot 10^{9}\,\,{\rm Hz} \cdot \frac{30\,\,{\rm m/s} }{3 \cdot 10^{8}\,\,{\rm m/s} } = 200\,{\rm Hz}.$$

* For the direction  $\rm (B)$  you get the same numerical value with negative sign according to  $\text{Example 5}$:  
:$$f_{\rm D} = -200\,{\rm Hz}.$$

* The direction of travel  $\rm (C)$  is perpendicular  $(\alpha = 90^\circ)$  to the connecting line between transmitter and receiver.  In this case there is no Doppler shift:
:$$f_{\rm D} = 0.$$
* The direction of movement  $\rm (D)$  is characterized by  $\alpha = \ -135^\circ$.  This results:
:$$f_{\rm D} = 200 \,{\rm Hz} \cdot \cos(-135^{\circ}) \approx -141\,\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm}.$$
}}
<br><br>

=== Doppler frequency and its distribution===

We briefly summarize the statements on the last page, while we proceed with the second, the non – relativistic equation:
*A relative movement between transmitter (source) and receiver (observer) results in a shift by the Doppler frequency  $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$.

*A positive Doppler frequency  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  results when the transmitter and receiver move (relatively) towards each other.
*A negative Doppler frequency  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  means, that the sender and receiver are moving apart (directly or at an angle).<br>

*The maximum frequency shift occurs when the transmitter and receiver move directly towards each other   ⇒   angle  $\alpha = 0^\circ$.  This maximum value depends in the first approximation on the transmission frequency  $ f_{\rm S}$  and the speed  $v$  $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  indicates the velocity of light$)$:  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$

*If the relative movement occurs at any angle  $\alpha$  to the transmitter-receiver connection line, the Doppler shift is

::<math>f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha)
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \le f_{\rm D} \le + \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}
\hspace{0.05cm}.</math>

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Conclusion:}$  Assuming equally probable directions of movement   $($uniform distribution for the angle  $\alpha$  in the area  $- \pi \le \alpha \le +\pi)$  results for the probability density function  $($referred to here as "pdf"$)$  the Doppler frequency in the range  $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:

::<math>{\rm pdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
\hspace{0.05cm}.</math>

Outside the range between  $-f_{\rm D}$  and  $+f_{\rm D}$ , the probability density function is always zero.

[[Mobile_Communications/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|$\text{Derivation}$]]  about the “nonlinear transformation of random quantities”.}}<br>

=== Power density spectrum in Rayleigh fading ===

We now presuppose an antenna radiating equally in all directions.  Then the Doppler– $ \rm PDS $  $($Power Density Spectrum$)$  has the same shape as the  $ \rm PDF $  $($Probability Density Function$)$  of the Doppler frequencies.

*For the in-phase component  ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$  of the PDS, the PDF must still be multiplied by the variance  $\sigma^2$  of the Gaussian process.
*For the resulting PDS  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  of the complex factor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $  applies after doubling:

::<math>{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) =
\left\{ \begin{array}{c} (2\sigma^2)/( \pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}) \cdot \left [ 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 \right ]^{-0.5} \\
0 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} |f_{\rm D}| \le f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}
\\ {\rm other} \\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math>

This course is called  '''Jakes spectrum'''  named after  [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.].  The doubling is necessary, because so far only the contribution of the real part  $x(t)$  has been considered.<br>

[[File:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler PDS and time function (magnitude in dB) for Rayleigh fading with Doppler effect]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 7:}$  The Jakes spectrum is shown on the left
*for $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \rm Hz$  (blue curve) bzw.
*for $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$  (red curve).

In the  [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#Zellularstruktur_von_GSM|GSM–D network]]  $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$  these values correspond to the speeds  $v = 60 \ \rm km/h$  and  $v = 120 \ \rm km/h$  respectively.

For the GSM–E network $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz)$  these values apply to speeds that are half as high:   $v = 30 \ \rm km/h$  and  $v = 60 \ \rm km/h$  respectively.

The right picture shows the logarithmic amount of  $z(t)$:
*You can see that the red curve is fading twice as fast as the blue one.
*The Rayleigh – PDF (amplitude distribution) is independent of  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  and is therefore the same for both cases.}}<br>

==Exercises==

* First select the number  $(1, 2, \text{...})$  of the exercise.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show solution". <br>
*In the following descriptions, $f_{\rm S}$, $f_{\rm E}$  and$f_{\rm D}$  are each normalized to the reference frequency $f_{\rm 0}$.
<br clear=all>
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First we consider the relativistic setting "Exact".  The transmitter moves with  $v/c = 0.8$,  the transmission frequency is $f_{\rm S}= 1$.<br>         Which reception frequencies  $f_{\rm E}$  result in both directions of movement?  What is the Doppler frequency $f_{\rm D}$?}}

:*  If the transmitter approaches the receiver under the angle  $\varphi=0^\circ$ , the reception frequency is $f_{\rm E}= 3$   ⇒   $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 2$.
:*  If the transmitter moves away from the receiver  $($for  $\varphi=0^\circ$, if it overtakes it, or  $\varphi=180^\circ)$, then:  $f_{\rm E}= 0.333$   ⇒   $f_{\rm D}= -0.667$.
:* The same result with the transmitter at rest and the receiver moving:  If both come closer, then  $f_{\rm D}= 2$  applies, otherwise  $f_{\rm D}= -0.667$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  The settings are largely retained.  How do the results change compared to  $(1)$  with the transmission frequency $f_{\rm S}= 1.5$?<br>        Tip for a time-saving experiment:  Switch alternately between "right" and "left".}}

:* Direction of movement $\varphi=0^\circ$: $f_{\rm E}= 4.5$ ⇒   $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 3$.  Thus: $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 3$, $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 2$   ⇒   Both as in  $(1)$.
:* Direction of movement $\varphi=180^\circ$:  $f_{\rm E}= 0.5$   ⇒   $f_{\rm D}= -1$.  Thus: $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.333$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.667$  ⇒   Both as in  $(1)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Still relativistic setting "Exact".  The transmitter is now moving at a speed of  $v/c = 0.4$  and the transmission frequency is $f_{\rm S}= 2$.<br>        Which frequencies $f_{\rm D}$  and  $f_{\rm E}$  result in both directions of movement?  Alternately select "Right" or "Left" again.}}

:* Direction of movement $\varphi=0^\circ$:  Reception frequency  $f_{\rm E}= 3.055$   ⇒   Doppler frequency  $f_{\rm D}= 1.055$.   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.528$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.528$.
:* Direction of movement $\varphi=180^\circ$:  Reception frequency $f_{\rm E}= 1.309$   ⇒   Doppler frequency  $f_{\rm D}= -0.691$.   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.655$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.346$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  The previous conditions still apply, but now the "Approximation" setting.  What are the differences compared to $(3)$?}}

:* Direction of movement $\varphi=0^\circ$:  Reception frequency  $f_{\rm E}= 2.8$   ⇒   Doppler frequency  $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 0.8$   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.4$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.4$.
:* Direction of movement $\varphi=180^\circ$:  Reception frequency  $f_{\rm E}= 1.2$   ⇒   Doppler frequency  $f_{\rm D}= -0.8$.   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.6$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.4$.
:* With “Approximation”:  For both,  $f_{\rm D}$  has the same numerical values with different signs.  This symmetry does not exist with "Exact".

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  $f_{\rm S}= 2$ still apply.  Up to what speed  $(v/c)$  is the relative error between "Approximation" and "Exact" less than $\pm5\%$?}}

:* With  $v/c =0.08$  and "Exact" one obtains for the Doppler frequencies  $f_{\rm D}= 0.167$  respectively  $f_{\rm D}= -0.154$  and with "Approximation" $f_{\rm D}= \pm0.16$.
:* Thus the relative deviation “(Approximation - Exact)/Exact” is equal to  $0.16/0.167-1=-4.2\%$  and   $(-0.16)/(-0.154)-1=+3.9\%$ respectively.
:* With  $v/c =0.1$ , the deviations are greater than  $\pm 5\%$.  For  $v < 0.08 \cdot c = 24\hspace{0.05cm}000$  km/s  the Doppler approximation is sufficient.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  The following should apply here and in the following tasks: $f_{\rm S}= 1$,  $v/c= 0.4$   ⇒   $f_{\rm D} = f_{\rm S} \cdot v/c \cdot \cos(\alpha)$.  With  $\cos(\alpha) = \pm 1$:     $f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.<br>        Which normalized Doppler frequencies result from the set start coordinates $(0,\ 150)$  and the direction of movement $\varphi=-45^\circ$?}}

:* Here the transmitter moves directly to the receiver to $(\alpha=0^\circ)$  or moves away from it $(\alpha=180^\circ)$.
:* Same constellation as with the starting point $(0,\ 0)$ and  $\varphi=0^\circ$.  Therefore, the following also applies to the Doppler frequency:  $f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.
:* After the transmitter has been “reflected” on a boundary, any angles  $\alpha$  and correspondingly more Doppler frequencies are possible.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  The transmitter is fixed at $(S_x = 0,\ S_y =10),$ the receiver moves horizontally left and right $(v/c = 0.4, \hspace{0.3cm}\varphi=0^\circ)$.<br>        Observe and interpret the temporal change in the Doppler frequency  $f_{\rm D}$. }}

:* As in  $(6)$, only values between $f_{\rm D}=0.4$  and  $f_{\rm D}=-0.4$  are possible, but now all intermediate values $(-0.4 \le f_{\rm D} \le +0.4)$.
:* With &bdquo;Step” you can see:  $f_{\rm D}\equiv0$  only occurs if the receiver is exactly below the transmitter $(\alpha=\pm 90^\circ$, depending on the direction of travel$)$.
:* Doppler frequencies at the edges are much more common:  $|f_{\rm D}| = 0.4 -\varepsilon$, where  $\varepsilon$  indicates a small positive size.
:* The basic course of Doppler – PDF and Doppler – PDS   ⇒   &bdquo;Jakes spectrum” can be explained from this experiment alone.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  What changes if the transmitter is fixed at the top of the graphic area in the middle with the same settings $(0,\ 200) $? }}

:* The Doppler values  $f_{\rm D} \approx0$  become more frequent, those at the edges less frequent.  No values  $|f_{\rm D}| > 0.325$  due to limited drawing space.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  The transmitter is $S_x = 300,\ S_y =200)$, the receiver moves with $v/c = 0.4$  under the angle $\varphi=60^\circ$.<br>        Think about the relationship between $\varphi$ and $\alpha$.}}

:* Model solutions are still missing

==Applet Manual==
[[File:Anleitung_Doppler.png|right|600px|frame|Screenshot]]
    '''(A)'''     Theme (changeable graphical user interface design)
:* Dark:   dark background  (recommended by the authors)
:* Bright:   white background  (recommended for beamers and printouts)
:* Deuteranopia:   for users with pronounced green visual impairment
:* Protanopia:   for users with pronounced red visual impairment

    '''(B)'''     Start position of the transmitter   ⇒   $(S_x,\ S_Y)$

    '''(C)'''     Input parameters
:* Direction  $\varphi$  of movement of transmitter/receiver
:* (Normalized) velocity  $(v/c)$  of transmitter/receiver
:* (Normalized) transmission frequency  $(f_{\rm S}/f_0)$ 

    '''(D)'''     Equation used for the reception frequency
:* Exact  (considering the Relativity Theory)
:* Approximation  (sufficient for mobile radio)

    '''(E)'''     Graphic field: Motion and wave propagation

    '''(F)'''     Graphic field:  Transmission & reception frequency (time domain)

    '''(G)'''     Graphic field:  Transmission & reception frequency (frequency domain)

    '''(H)'''     Control panel 1
:* Transmitter (or receiver) is moving
:* Movement to the right or left  (movement up or down)

    '''(I)'''     Control panel 2  (Start, Stop, Step, Continue, Reset)

    '''(J)'''     Output parameters
:* Angle  $\alpha$  between movement and transmitter/receiver connecting line
:* (Normalized) Doppler frequency  $(f_{\rm D}/f_0)$ 
:* (Normalized) reception frequency  $(f_{\rm E}/f_0)$ 

    '''(K)'''     Selection of the exercise according to the numbers

    '''(L)'''     Task description and questions

    '''(M)'''     Show and hide sample solution

==About the Authors==
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2009 by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Alexander_Happach_.28Diplomarbeit_EI_2009.29|Alexander Happach]] as part of his diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2020 the program was redesigned by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Andr.C3.A9_Schulz_.28Bachelorarbeit_LB_2020.29|André Schulz]] (Bachelor thesis LB, Supervisors: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Benedikt_Leible.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2017.29|Benedikt Leible]] and [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) via &bdquo;HTML5”.

==Once again: Open Applet in new Tab==
{{LntAppletLinkEnDe|dopplereffect_en|dopplereffect}}

Applets:Sampling of Analog Signals and Signal Reconstruction

2021-04-01T14:20:59Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|sampling_en|sampling}}

== Applet Description==
<br>
The applet deals with the system components  &bdquo;sampling”  and  &bdquo;signal reconstruction”, two components that are of great importance for understanding the  [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]  $({\rm PCM})$  for example.   The upper graphic shows the model on which this applet is based.  Below it are the samples  $x(\nu \cdot T_{\rm A})$  of the time continuous signal  $x(t)$. The (infinite) sum over all these samples is called the sampled signal  $x_{\rm A}(t)$.

[[File:EN_Abtastung_1.png|center|frame|Top:    Underlying model for sampling and signal reconstruction<br>Bottom:   Example for time discretization of the continuous–time signal  $x(t)$]]

*At the transmitter, the time discrete (sampled) signal  $x_{\rm A}(t)$  is obtained from the continuous–time signal  $x(t)$.  This process is called  '''sampling'''   or  '''A/D conversion'''.
*The corresponding program parameter for the transmitter is the sampling rate  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$.  The lower graphic shows the sampling distance  $T_{\rm A}$ .
*In the receiver, the discrete-time received signal  $y_{\rm A}(t)$  is used to generate the continuous-time sink signal  $y(t)$    ⇒   '''signal reconstruction'''  or  '''D/A conversion'''  corresponding to the receiver frequency response  $H_{\rm E}(f)$.

The applet does not consider the PCM blocks  &bdquo;Quantization”and  &bdquo;encoding/decoding”.   The digital transmission channel is assumed to be ideal. 

[[File:Abtastung_2_neu.png|right|frame|Receiver frequency response  $H_{\rm E}(f)$]]

The following consequences result from this:
*In the program simplifying  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  is set.
* With suitable system parameters, the error signal   $\varepsilon(t) = y(t)-x(t)\equiv 0$  is therefore also possible.

The sampling theorem and the signal reconstruction can be better explained in the frequency domain.  Therefore all spectral functions are displayed in the program;

             $X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t)$,  $X_{\rm A}(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x_{\rm A}(t)$,  $Y(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ y(t)$,  $E(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ \varepsilon(t).$ 

Parameters for the receiver frequency response  $H_{\rm E}(f)$  are the cut–off frequency and the rolloff factor  (see lower graph):
:$$f_{\rm G} = \frac{f_2 +f_1}{2},\hspace{1cm}r = \frac{f_2 -f_1}{f_2 +f_1}.$$

''Notes:''

'''(1)'''   All signal values are normalized to  $\pm 1$.

'''(2)'''   The power calculation is done by integration over the respective period duration  $T_0$:
:$$P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x^2(t)\ {\rm d}t,\hspace{0.8cm}P_\varepsilon = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} \varepsilon^2(t).$$

'''(3)'''   The <u>signal power</u>  $P_x$  and the <u>distortion power</u>  $P_\varepsilon$  are also output in normalized form, which implicitly assumes the reference resistance  $R = 1\, \rm \Omega$ ;

'''(4)'''   From these the <u>signal–distortion–distance</u>  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$  can be calculated.

'''(5)'''   Does the spectral function  $X(f)$  for positive frequencies consists of  $I$  Diraclines with the (possibly complex) weights  $X_1$, ... , $X_I$,<br>          so applies to the transmission power taking into account the mirror-image lines at the negative frequencies:

:$$P_x = 2 \cdot \sum_{i=1}^I |X_k|^2.$$

'''(6)'''   Correspondingly, the following applies to the distortion power if the spectral function  $E(f)$  in the range  $f>0$  has  $J$  Diraclines with weights  $E_1$, ... , $E_J$:

:$$P_\varepsilon = 2 \cdot \sum_{j=1}^J |E_j|^2.$$

==Theoretical Background==

===Description of sampling in the time domain===

[[File:P_ID1120__Sig_T_5_1_S1_neu.png|center|frame|Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$]]

Im Folgenden verwenden wir für die Beschreibung der Abtastung folgende Nomenklatur:
*Das zeitkontinuierliche Signal sei  $x(t)$.
*Das in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei  $x_{\rm A}(t)$.
*Außerhalb der Abtastzeitpunkte  $\nu \cdot T_{\rm A}$  gilt stets  $x_{\rm A}(t) \equiv 0$.
*Die Laufvariable  $\nu$  sei  [[Signal_Representation/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:     $\nu \in \mathbb{Z} = \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
*Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten  $K$:

:$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt  $K = 1$.
<br><br>
===Description of sampling with Dirac pulse (Ist das richtig?)===

Im Folgenden gehen wir von einer geringfügig anderen Beschreibungsform aus.  Die folgenden Seiten werden zeigen, dass diese gewöhnungsbedürftigen Gleichungen durchaus zu sinnvollen Ergebnissen führen, wenn man sie konsequent anwendet.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$ 

* Unter  '''Abtastung'''  verstehen wir hier die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$  mit einem  '''Diracpuls''':

:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der  '''Diracpuls (im Zeitbereich)'''  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$:

:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$}}

Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:
:$$x_{\rm A}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
\delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

*Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt  $(\nu \cdot T_{\rm A})$  ist gleich  $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
*Da  $\delta (t)$  zur Zeit  $t = 0$  unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte  $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$  ebenfalls unendlich groß und auch der oben eingeführte Faktor  $K$.
*Zwei Abtastwerte  $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$  und  $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$  unterscheiden sich jedoch im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte  $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$  und  $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
*Die Abtastwerte von  $x(t)$  erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
*Die zusätzliche Multiplikation mit  $T_{\rm A}$  ist erforderlich, damit  $x(t)$  und  $x_{\rm A}(t)$  gleiche Einheit besitzen.  Beachten Sie hierbei, dass  $\delta (t)$  selbst die Einheit „1/s” aufweist.

===Description of sampling in the frequency domain===

Zum Spektrum des abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  kommt man durch Anwendung des  [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:

:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$

Entwickelt man den  Diracpuls  $p_{\delta}(t)$   (im Zeitbereich)   in eine  [[Signal_Representation/Fourierreihe|Fourierreihe]]  und transformiert diese unter Anwendung des  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]  in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich folgende Korrespondenz   ⇒   [[Signal_Representation/Time_Discrete_Signal_Representation#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:

:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
(f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$

[[File:P_ID1121__Sig_T_5_1_S3_NEU.png|right|frame|Diracpuls im Zeit- und Frequenzbereich mit  $T_{\rm A} = 50\ {\rm µs}$  und  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 20\ \text{kHz}$]]
Das Ergebnis besagt:
*Der Diracpuls  $p_{\delta}(t)$  im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$.
*Die Fouriertransformierte von  $p_{\delta}(t)$  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich   ⇒   $P_{\delta}(f)$.
*Auch  $P_{\delta}(f)$  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun im jeweiligen Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  und alle mit dem Impulsgewicht  $1$.
*Die Abstände der Diraclinien in Zeit– und Frequenzbereich folgen demnach dem  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]:   $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$

Daraus folgt:   Aus dem Spektrum  $X(f)$  wird durch Faltung mit der um  $\mu \cdot f_{\rm A}$  verschobenen Diraclinie:

:$$X(f) \star \delta
(f- \mu \cdot f_{\rm A}
)= X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:

:$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
(f- \mu \cdot f_{\rm A}
) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Die Abtastung des analogen Zeitsignals  $x(t)$  in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  führt im Spektralbereich zu einer  '''periodischen Fortsetzung'''  von  $X(f)$  mit dem Frequenzabstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.}}

[[File:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Die obere Grafik zeigt  '''(schematisch!)'''  das Spektrum  $X(f)$  eines Analogsignals  $x(t)$, das Frequenzen bis  $5 \text{ kHz}$  beinhaltet.

Tastet man das Signal mit der Abtastrate  $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand  $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, µs}$  ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum  $X_{\rm A}(f)$.
*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$  auch beliebig hochfrequente Anteile.
*Dementsprechend ist die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}

===Signal reconstruction===

[[File:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung” und &bdquo;Signalrekonstruktion”]]
Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden.  Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
*Das Analogsignal  $x(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  wird wie oben beschrieben abgetastet.
*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  vor.
*Die Frage ist nun, wie der Block   '''Signalrekonstruktion'''   zu gestalten ist, damit auch  $y(t) = x(t)$  gilt.

[[File:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion”]]
<br>Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet:  

Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch ein Tiefpass Filter mit dem  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]  $H_{\rm E}(f)$, der 

*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
:$$H_{\rm E}(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B_{\rm
NF}\hspace{0.05cm},$$
*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
:$$H_{\rm E}(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
NF}\hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist aus der nebenstehenden Grafik zu erkennen:   Solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind, kann  $H_{\rm E}(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann,
*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf)
*oder auch rechteckförmig,

===The Sampling Theorem===

Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals  $y(t)$  aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  ist nur möglich, wenn die Abtastrate  $f_{\rm A}$  entsprechend der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.

Aus der obigen Grafik erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:   $f_{\rm A} - B_{\rm NF} > B_{\rm NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Abtasttheorem:}$  Besitzt ein Analogsignal  $x(t)$  nur Spektralanteile im Bereich  $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal  $x_{\rm A}(t)$  nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$

Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:

:$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}

Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert   ⇒   $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$  herangezogen,
*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten
*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$  verwendet werden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt oben das auf  $\pm\text{ 5 kHz}$  begrenzte Spektrum  $X(f)$  eines Analogsignals, unten das Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des im Abstand  $T_{\rm A} =\,\text{ 100 µs}$  abgetasteten Signals   ⇒   $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.
[[File:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  des tiefpassartigen Empfangsfilters zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz exakt  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$  betragen muss.

*Mit jedem anderen  $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich  $Y(f) \neq X(f)$.
*Bei  $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$  fehlen die oberen  $X(f)$–Anteile.
* Bei  $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$  kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in  $Y(f)$.

Wäre am Sender die Abtastung mit einer Abtastrate  $f_{\rm A} < 10\ \text{ kHz}$  erfolgt   ⇒   $T_{\rm A} >100 \ {\rm µ s}$, so wäre das Analogsignal  $y(t) = x(t)$  aus den Abtastwerten  $y_{\rm A}(t)$  auf keinen Fall rekonstruierbar.}}
<br clear=all>
==Exercises==

*First, select the number  $(1,\ 2, \text{...} \ )$  of the task to be processed.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show Solution".
*All signal values are to be understood as normalized to  $\pm 1$.  Powers are normalized values, too.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Source signal:  $x(t) = A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t -\varphi)$  with  $f_0 = \text{4 kHz}$.   Sampling with  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$.  Rectanglular low-pass;  cut-off frequency:  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$. <br>            Interpret the shown graphics and evaluate the present signal reconstruction for all permitted parameter values of $A$  and $\varphi$. }}

* The spectrum  $X(f)$  consists of two Dirac functions at  $\pm \text{4 kHz}$, each with impulse weight  $0.5$.
* By the periodic continuation  $X_{\rm A}(f)$  has lines of equal height at  $\pm \text{4 kHz}$,  $\pm \text{6 kHz}$,  $\pm \text{14 kHz}$,  $\pm \text{16 kHz}$,  $\pm \text{24 kHz}$,  $\pm \text{26 kHz}$,  etc.
* The rectangular low-pass with the cut-off frequency  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$  removes all lines except the two at  $\pm \text{4 kHz}$  ⇒  $Y(f) =X(f)$  ⇒  $y(t) =x(t)$  ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
* The signal reconstruction works here perfectly  $(P_\varepsilon = 0)$  for all amplitudes $A$  and any phases $\varphi$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Continue with  $A=1$,  $f_0 = \text{4 kHz}$,  $\varphi=0$,  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$.   What is the influence of the rolloff–factors  $r=0.2$,  $r=0.5$  and   $r=1$? <br>          Specify the power values  $P_x$  and  $P_\varepsilon$ .   For which  $r$–values is  $P_\varepsilon= 0$?  Do these results also apply to other  $A$  and  $\varphi$? }}

:* With  $|X(f = \pm \text{4 kHz})|=0.5$  the signal power is  $P_x = 2\cdot 0.5^2 = 0.5$.  The distortion power  $P_\varepsilon$  depends significantly on the rolloff–factor  $r$ .
:* $P_\varepsilon$  is zero for  $r \le 0.2$.  Then the  $X_{\rm A}(f)$ line at  $f_0 = \text{4 kHz}$  is not changed by the low-pass and the unwanted  line at  $\text{6 kHz}$  is fully suppressed.
:* $r = 0.5$ :  $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.35$,  $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.15$  ⇒   $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0. 15$  ⇒  $P_\varepsilon = 0.09$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=7.45\ \rm dB$.
:*$r = 1.0$ :  $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.3$,  $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.2$  ⇒   $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0. 2$  ⇒  $P_\varepsilon = 0.16$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=4.95\ \rm dB$.
:* For all  $r$  the distortion power $P_\varepsilon$  is independent of  $\varphi$.   The amplitude  $A$  affects  $P_x$  and  $P_\varepsilon$  in the same way   ⇒   the quotient is independent of  $A$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Now apply  $A=1$,  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=0$,  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$,  $r=0$  $($rectangular low–pass$)$.   Interpret the result of the signal reconstruction.}}

:*  $X(f)$  consists of two Dirac lines at  $\pm \text{5 kHz}$  $($weight  $0.5)$.  By periodic continuation  $X_{\rm A}(f)$  has lines at  $\pm \text{5 kHz}$,  $\pm \text{15 kHz}$,  $\pm \text{25 kHz}$,  etc.
:*  The  rectanglular low-pass  removes the lines at  $\pm \text{15 kHz}$,  $\pm \text{25 kHz}$.  The lines at  $\pm \text{5 kHz}$  are halved because of  $H_{\rm E}(\pm f_{\rm G}) = H_{\rm E}(\pm \text{5 kHz}) = 0.5$.
:*   ⇒   $\text{Weights of }X(f = \pm \text{5 kHz})$:  $0.5$   #   $\text{Weights of }X(f_{\rm A} = \pm \text{5 kHz})$:  $1. 0$;     #   $\text{Weights of }Y(f = \pm \text{5 kHz})$:  $0.5$   ⇒   $Y(f)=X(f)$.
:* So the signal reconstruction works perfectly here too  $(P_\varepsilon = 0)$.  The same is true for the phase  $\varphi=180^\circ$   ⇒   $x(t) = -A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  The settings of  $(3)$  continue to apply except for  $\varphi=30^\circ$.  Interpret the differences from the setting  $(3)$   ⇒   $\varphi=0^\circ$.}}

:* Phase relations are lost.  The sink signal  $y(t)$  is cosine-shaped  $(\varphi_y=0^\circ)$  with by the factor  $\cos(\varphi_x)$  smaller amplitude than the source signal  $x(t)$.
:* Justification in the frequency domain:  In the periodic continuation of  $X(f)$  ⇒  $X_{\rm A}(f)$  only the real parts are to be added.  The imaginary parts cancel out.
:* The Dirac line of  $X(f)$  at frequency  $f_0$   ⇒   $X(f_0)$  is complex,   $Y(f_0)$  is real, and  $E(f_0)$  is imaginary   ⇒   $\varepsilon(t)$  is minus–sinusoidal   ⇒   $P_\varepsilon = 0. 125$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(5)'''  Illustrate again the result of  $(4)$  compared to the settings  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=30^\circ$,  $f_{\rm A} = \text{11 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5.5 kHz}$.}}
:* With this setting, the spectrum  $X_{\rm A}(f)$  also has a positive imaginary part at  $\text{5 kHz}$  and a negative imaginary part of the same magnitude at  $\text{6 kHz}$.
:* The rectangular low-pass with cutoff frequency  $\text{5.5 kHz}$  removes this second component.  Thus, with the new setting  $Y(f) =X(f)$   ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
:* Any $f_0$ oscillation of arbitrary phase is error-free reconstructible from its samples if  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0} + \mu, \ f_{\rm G}= f_{\rm A}/2$  $($any small $\mu>0)$.
:* For <u>value–continuous</u> spectrum with   $X(|f|> f_0) \equiv 0$  ⇒   $\big[$no diraclines at $\pm f_0 \big ]$  the sampling rate  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0}$  is sufficient in principle.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Verdeutlichen Sie sich nochmals das Ergebnis von  '''(4)'''  im Vergleich zu den Einstellungen  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=30^\circ$,  $f_{\rm A} = \text{11 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5.5 kHz}$.}}
:* Bei dieser Einstellung hat das  $X_{\rm A}(f)$–Spektrum auch einen positiven Imaginärteil bei  $\text{5 kHz}$  und einen negativen Imaginärteil gleicher Höhe bei  $\text{6 kHz}$.
:* Der Rechteck–Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $\text{5.5 kHz}$  entfernt diesen zweiten Anteil.  Somit ist bei dieser Einstellung  $Y(f) =X(f)$   ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
:* Jede  $f_0$–Schwingung beliebiger Phase ist fehlerfrei aus seinen Abtastwerten rekonstruierbar, falls  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0} + \mu, \ f_{\rm G}= f_{\rm A}/2$  $($beliebig kleines $\mu>0)$.
:* Bei <u>wertkontinuierlichem</u> Spektrum mit   $X(|f|> f_0) \equiv 0$  ⇒   $\big[$keine Diraclinien bei $\pm f_0 \big ]$ genügt grundsätzlich die Abtastrate  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(6)'''  The settings of  $(3)$  and  $(4)$  continue to apply except for  $\varphi=90^\circ$.  Interpret the plots in the time and frequency domain.}}
:* The source signal is sampled exactly at its zero crossings   ⇒   $x_{\rm A}(t) \equiv 0$   ⇒     $y(t) \equiv 0$   ⇒   $\varepsilon(t)=-x(t)$   ⇒   $P_\varepsilon = P_x$   ⇒   $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=0\ \rm dB$.
:* Description in the frequency domain:   As in  $(4)$  the imaginary parts of  $X_{\rm A}(f)$  cancel out.  Also the real parts of  $X_{\rm A}(f)$  are zero because of the sinusoid.

{{BlueBox|TEXT=
'''(7)'''  Now consider the  $\text {Source Signal 2}$.  Let the other parameters be  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,  $r=0$.  Interpret the results.}}
:* The source signal has spectral components up to  $\pm \text{2 kHz}$.  The signal power is $P_x = 2 \cdot \big[0.1^2 + 0.25^2+0.15^2\big]= 0.19 $. 
:* With the sampling rate  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$  and the receiver parameters  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$  and  $r=0$, the signal reconstruction works perfectly:  $P_\varepsilon = 0$.
:* Likewise with the trapezoidal low–pass with  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$, if for the rolloff factor holds:  $r \le 0.2$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(8)'''  What happens if the cutoff frequency  $f_{\rm G} = \text{1.5 kHz}$  of the rectangular low–pass filter is too small?  In particular, interpret the error signal  $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}
:* The error signal  $\varepsilon(t)=-0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t -60^\circ)=0. 3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t +120^\circ)$  is equal to the (negated) signal component at  $\text{2 kHz}$. 
:* The distortion power is  $P_\varepsilon=2 \cdot 0.15^2= 0.045$  and the signal–to–distortion ratio  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=10 \cdot \lg \ (0.19/0.045)= 6.26\ \rm dB$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(9)'''  What happens if the cutoff frequency  $f_{\rm G} = \text{3.5 kHz}$  of the rectangular low–pass filter is too large?  In particular, interpret the error signal  $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}
:* The error signal  $\varepsilon(t)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{3 kHz} \cdot t +60^\circ)$  is now equal to the  $\text{3 kHz}$  portion of the sink signal  $y(t)$  not removed by the low-pass filter.
:* Compared to the subtask  $(8)$  the frequency changes from  $\text{2 kHz}$  to  $\text{3 kHz}$  and also the phase relationship.
:* The amplitude of this  $\text{3 kHz}$ error signal is equal to the amplitude of the  $\text{2 kHz}$ portion of  $x(t)$.  Again  $P_\varepsilon= 0.045$,  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)= 6.26\ \rm dB$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(10)'''  Finally, we consider the  $\text {source signal 4}$  $($portions until  $\pm \text{4 kHz})$, as well as  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{2. 5 kHz}$,  $0 \le r\le 1$.  Interpretation of results.}}
:* Up to  $r=0.2$  the signal reconstruction works perfectly  $(P_\varepsilon = 0)$.  If one increases  $r$, then  $P_\varepsilon$  increases continuously and  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$  decreases.
:* With  $r=1$  the signal frequencies  $\text{0.5 kHz}$,  ...,  $\text{4 kHz}$  are attenuated, the more the higher the frequency is,  for example  $H_{\rm E}(f=\text{4 kHz}) = 0.6$.
:* Similarly,  $Y(f)$  also includes components at frequencies  $\text{6 kHz}$,  $\text{7 kHz}$,  $\text{8 kHz}$,  $\text{9 kHz}$  and  $\text{9.5 kHz}$ due to periodic continuation.
:* At the sampling times  $t\hspace{0.05cm}' = n \cdot T_{\rm A}$, the signals  $x(t\hspace{0.05cm}')$  and  $y(t\hspace{0.05cm}')$  agree exactly  ⇒   $\varepsilon(t\hspace{0.05cm}') = 0$.  In between, not  ⇒   small distortion power   $P_\varepsilon = 0.008$.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Anleitung_Auge.png|right|600px]]
    '''(A)'''     Auswahl:   Codierung <br>                   (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    '''(B)'''     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls<br>                    (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    '''(C)'''     Prametereingabe zu  '''(B)'''<br>                   (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    '''(D)'''     Steuerung der Augendiagrammdarstellung<br>                   (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    '''(F)'''     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    '''(G)'''     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    '''(H)'''     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    '''( I )'''     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    '''(J)'''     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  '''(K)'''

    '''(K)'''     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    '''(L)'''     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    '''(M)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(N)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(O)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
<br clear=all>
==About the Authors==
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2008 by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]  as part of his diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).

*Last revision and English version 2020/2021 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  ("study grants")  of the TUM Faculty EI.  We thank.

==Once again:  Open Applet in new Tab==
{{LntAppletLinkEnDe|sampling_en|sampling}}

Applets:Eye Pattern and Worst-Case Error Probability

2021-04-01T14:20:19Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|eyeDiagram_en|eyeDiagram}}

==Applet Description==
<br>
The applet illustrates the eye pattern for different encodings 
* binary  (redundancy-free), 
*quaternary  (redundancy-free),
*pseudo–ternary:  (AMI and duobinary) 

and for various reception concepts 
*Matched Filter receiver, 
*CRO Nyquist system, 
*Gaussian low-pass filter.

The last reception concept leads to intersymbol interference, that is:  Neighboring symbols interfere with each other in symbol decision.

Such intersymbol interferences and their influence on the error probability can be captured and quantified very easily by the "eye pattern".  But also for the other two (without intersymbol interference) systems important insights can be gained from the graphs.

Furthermore, the most unfavorable ("worst case") error probability  
:$$p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$$

is output, which for binary Nyquist systems is identical to the mean error probability  $p_{\rm M}$  and represents a suitable upper bound for the other system variants:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In the  $p_{\rm U}$–equation mean:
*${\rm Q}(x)$  is the  [[Applets:Complementary_Gaussian_Error_Functions|Complementary Gaussian Error Function]].  The normalized eye opening can have values between  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  .
*The maximum value  $(ö_{\rm norm} = 1)$  applies to the binary Nyquist system and  $ö_{\rm norm}=0$  represents a "closed eye".
*The normalized detection noise rms value  $\sigma_{\rm norm}$  depends on the adjustable parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  but also on the coding and the receiver concept.

==Theoretical Background==
<br>
<br>
=== Systembeschreibung und Voraussetzungen===

Für dieses Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:
*Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate  $R_{\rm B} = 1/T$, wobei  $T$  die Symboldauer angibt.
*Das Sendesignal  $s(t)$  ist zu allen Zeiten  $t$  gleich  $ \pm s_0$   ⇒   Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude  $s_0$  und Impulsdauer  $T$.

*Das Empfangssignal sei  $r(t) = s(t) + n(t)$, wobei der AWGN–Term  $n(t)$  durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0$  gekennzeichnet ist.
*Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden:  $H_{\rm K}(f) =1$.
*Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formt aus  $r(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
* Dieses wird vom Entscheider mit der Entscheiderschwelle  $E = 0$  zu den äquidistanten Zeiten  $\nu \cdot T$  ausgewertet.
*Es wird zwischen dem Signalanteil  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend von  $s(t)$  – und dem Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  unterschieden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen  $n(t)$  ist.
*$d_{\rm S}(t)$  kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um  $T$  verschobenen Detektionsgrundimpulsen  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  dargestellt werden.

*Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz  $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$  des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen).

===Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger===

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall  $H_{\rm K}(f) =1$  mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit dem NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist. Die rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  hat dann die Dauer  $T_{\rm E} = T$  und die Höhe  $1/T$.

[[File:Auge_1neu.png|center|frame|Binäres Basisbandübertragungssystem;  die Skizze für  $h_{\rm E}(t)$  gilt nur für den Matched-Filter-Empfänger ]]

*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist dreieckförmig mit dem Maximum  $s_0$  bei  $t=0$ ; es gilt  $g_d(t)=0$  für  $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen   ⇒   $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$   ⇒   der Abstand aller Nutzabtastwerte von der Schwelle  $E = 0$  ist stets  $|d_{\rm S}(t = \nu \cdot T)| = s_0$.
*Die Detektionsrauschleistung ist bei dieser Konstellation:
:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t = N_0/(2T)=\sigma_{\rm MF}^2.$$
*Für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]  ${\rm Q}(x)$ :
:$$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{{s_0^2}/{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$

Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen  &bdquo;nach Spalt–Tiefpass”  sowie  $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen
*die normierte Augenöffnung  $ö_{\rm norm} =1$   ⇒   dies ist der maximal mögliche Wert,
*der normierte Detektionsrauscheffektivwert (gleich der Wurzel aus der Detektionsrauschleistung)  $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$  sowie
*die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen  $p_{\rm M}$  und   $p_{\rm U}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$
*Es gibt  $M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ Augen und eben so viele Schwellen   ⇒   $ö_{\rm norm} =1/(M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1)$  ⇒   $M=4$:  Quaternärsystem,  $M=3$:  AMI-Code, Duobinärcode.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.
*Beim AMI-Code und dem Duobinärcode hat dieser Verbesserungsfaktor, der auf das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  zurückgeht, den Wert  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

<br>
===Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang===

[[File:Auge_2_neu.png|right|frame|Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang ]]

Wir setzen voraus, dass der Gesamtfrequenzgang zwischen der diracförmigen Quelle bis zum Entscheider den Verlauf eines  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus-Rolloff-Tiefpasses]]  hat   ⇒   $H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ .
*Der Flankenabfall von  $H_{\rm CRO}(f)$  ist punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $1/(2T)$. Je größer der Rolloff-Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  ist, um so flacher verläuft die Nyquistflanke.
*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot {\mathcal F}^{-1}\big[H_{\rm CRO}(f)\big]$  hat unabhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  Nullstellen.  Weitere Nulldurchgänge gibt es abhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$.  Für den Impuls gilt:
:$$g_d(t) = s_0 \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm si}(\pi \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t/T )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T )}{1 - (2 \cdot
r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T)^2}.$$
*Daraus folgt:  Wie beim Matched-Filter-Empfänger ist das Auge maximal geöffnet   ⇒   $ö_{\rm norm} =1$.

[[File:Auge_3.png|right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors ]]
Betrachten wir nun die Rauschleistung vor dem Entscheider. Für diese gilt:

:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} {\rm d}f.$$

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion  $|H_{\rm E}(f)|^2$  für drei verschiedene Rolloff–Faktoren

* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0$   ⇒   grüne Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=1$   ⇒   rote Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0.8$   ⇒   blaue Kurve.

Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung  $\sigma_d^2$.  Das grau hinterlegte Rechteck markiert den kleinsten Wert  $\sigma_d^2 =\sigma_{\rm MF}^2$, der sich auch mit dem Matched-Filter-Empfänger ergeben hat.
<br clear=all>
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Rolloff–Faktor  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0$  (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalen Empfangsfilters zu  $\sigma_d^2 =K \cdot \sigma_{\rm MF}^2$  mit  $K \approx 1.5$, da  $|H_{\rm E}(f)|^2$  mit wachsendem  $f$  steil ansteigt. Der Grund für diese Rauschleistungsanhebung ist die Funktion  $\rm si^2(\pi f T)$  im Nenner, die zur Kompensation des  $|H_{\rm S}(f)|^2$–Abfalls erforderlich ist. <br>
* Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen Kurve, führt  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$  trotz dopplelt so breitem Spektrum zu einer kleineren Rauschleistung:  $K \approx 1.23$.  Für  $r_{\hspace{-0.05cm}f} \approx 0.8$ ergibt sich noch ein geringfügig besserer Wert. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert lautet somit für den Rolloff–Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$:   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{K(r_f)/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$. <br>
*Auch hier stimmt die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   exakt mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$

Alle Anmerkungen im Abschnitt $2.2$ gelten in gleicher Weise für das &bdquo;Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang”.

===Impulsinterferenzbehaftetes System mit Gauß-Empfangsfilter===

[[File:Auge_4.png|right|frame|System mit gaußförmigem Empfangsfilter ]]

Wir gehen vom rechts skizzierten Blockschaltbild aus. Weiter soll gelten:
*Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$:
:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T).$$
*Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:
:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} f^2/(2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_{\rm G})^2 } \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
\hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm e}^{- \pi \cdot (2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} t)^2}
\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der hier getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

[[File:Auge_5_neu.png|right|frame|Frequenzgang und Impulsantwort des Empfangsfilters ]]
:$$g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot \big [h_{\rm S}(t) \star h_{\rm G}(t)\big ] = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2}
{\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm} \tau )^2} \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Integration führt zum Ergebnis:

:$$g_d(t) = s_0 \cdot \big [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi}
\cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left (
2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2}
)\right ) \big ],$$

unter Verwendung der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
\hspace{0.05cm}.$$

Das Modul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte von  ${\rm Q} (x)$.<br>
*Dieser Detektionsgrundimpuls bewirkt  [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D|Impulsinterferenzen]].
*Darunter versteht man, dass die Symbolentscheidung durch die Ausläufer benachbarter Impulse beeinflusst wird. Während bei impulsinterferenzfreien Übertragungssystemen jedes Symbol mit gleicher Wahrscheinlichkeit – nämlich der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  – verfälscht wird, gibt es günstige Symbolkombinationen mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(v_{\nu} \ne q_{\nu}) < p_{\rm M}$.
*Andere Symbolkombinationen erhöhen dagegen die Verfälschungswahrscheinlichkeit erheblich.

[[File:Auge_6.png|right|frame|Binäres Auge $($Gaußtiefpass,  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.35)$.]]
Die Impulsinterferenzen lassen sich durch das sogenannte  '''Augendiagramm'''  sehr einfach erfassen und analysieren. Diese stehen im Mittelpunkt dieses Applets. Alle wichtigen Informationen finden Sie  [[Digital_Signal_Transmission/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|hier]].
*Das Augendiagramm entsteht, wenn man alle Abschnitte des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  der Länge  $2T$  übereinander zeichnet. Die Entstehung können Sie sich im Programm mit &bdquo;Einzelschritt” verdeutlichen.

* Ein Maß für die Stärke der Impulsinterferenzen ist die ''vertikale Augenöffnung''. Für den symmetrischen Binärfall gilt mit  $g_\nu = g_d(\pm \nu \cdot T)$  und geeigneter Normierung:
:$$ ö_{\rm norm} = g_0 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$$
* Mit größerer Grenzfrequenz stören sich die Impulse weniger und  $ ö_{\rm norm}$  nimmt kontinuierlich zu. Gleichzeitig wird bei größerem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  auch der (normierte) Detektionsrauscheffektivwert größer:
:$$ \sigma_{\rm norm} = \sqrt{\frac{f_{\rm G}/R_{\rm B}}{\sqrt{2} \cdot E_{\rm B}/N_{\rm 0}}}.$$
*Die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   &bdquo;Worst Case” liegt meist deutlich über der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$.

$\text{Unterschiede beim redundanzfreien Quaternärsystem}$
*Für  $M=4$  ergeben sich andere Grundimpulswerte. <br>''Beispiel'':     Mit  $M=4, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.4$  sind Grundimpulswerte  $g_0 = 0.955, \ g_1 = 0.022$  identisch mit  $M=2, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.8$.
* Es gibt nun drei Augenöffnungen und eben so viele Schwellen.  Die Gleichung für die normierte Augenöffnung lautet nun:   $ ö_{\rm norm} = g_0/3 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem wieder um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.

===Pseudoternärcodes===

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des Codes.  Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
*die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.<br><br>

[[File:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|center|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcoders|class=fit]]

Besondere Bedeutung besitzen ''Pseudoternärcodes''   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist. Genaueres hierzu finden Sie im  [[Digital_Signal_Transmission/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|$\rm LNTwww$–Theorieteil]].  Fazit:

*Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$:
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.5cm} c_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm}.$$

*Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich:
:$$ r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

Anhand des Codeparameters  $K_{\rm C}$  werden verschiedene Pseudoternärcodes erster Ordnung  $(N_{\rm C} = 1)$  charakterisiert.

[[File:Auge_16.png|right|frame|Signale bei der AMI-Codierung|class=fit]]
$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = 1\text{: AMI–Code}$  (von:   ''Alternate Mark Inversion'')

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Darunter sind dargestellt:
* das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
* das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.

Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:
*Jeder Binärwert  &bdquo;–1”  von $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert.<br>
*Der Binärwert  &bdquo;+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt.<br><br>

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen  &bdquo;+1”–  bzw.  &bdquo;–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal problematisch wäre. 
<br>
[[File:Auge_16a.png|left|frame|class=fit]]

Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt zwei Augenöffnungen und zwei Schwellen.
::* Die normierte Augenöffnung ist  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1)$, wobei  $g_0 = g_d(t=0)$  den Hauptwert des Detektionsgrundimpulses bezeichnet und  $g_1 = g_d(t=\pm T)$  die relevanten Vor- und Nachläufer, die das Auge vertikal begrenzen.

::* Die normierte Augenöffnung ist somit deutlich kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem   ⇒   $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist um den Faktor  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$  kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem.
<br clear=all>
[[File:Auge_17.png|right|frame|Signale bei der Duobinärcodierung|class=fit]]

$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = -1\text{: Duobinärcode}$ 

Aus der rechten Grafik mit den Signalverläufen erkennt man:
*Hier können beliebig viele Symbole gleicher Polarität  (&bdquo;+1” bzw. &bdquo;–1”)  direkt aufeinanderfolgen   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei. 
*Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge  &bdquo; ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ”  nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
* Auch die Duobinärcode–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Der Verbesserungsfaktor durch das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  ist wie beim AMI-Code gleich  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

[[File:Auge_17a.png|left|frame|class=fit]]
<br>
Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt wieder zwei &bdquo;Augen” und zwei Schwellen.
::* Die Augenöffnung ist   $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 - g_1)$.
*$ö_{\rm norm}$  ist also größer als beim AMI–Code und auch wie beim vergleichbaren Binäsystem.
*Nachteilig gegenüber dem AMI–Code ist allerdings, dass er nicht gleichsignalfrei ist.

==Exercises==

* First select the number  $(1,\ 2, \text{...})$  of the exercise.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show solution". <br>

{{BlueBox|TEXT=
'''(1)'''  Explain the occurrence of the eye pattern for  $M=2 \text{, Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. For this, select "step–by–step". }}

::* The eye pattern is obtained by dividing the "useful" signal  $d_{\rm S}(t)$  (without noise) into pieces of duration  $2T$  and drawing these pieces on top of each other.
::* In  $d_{\rm S}(t)$  all  "five bit combinations"  must be contained   ⇒   at least  $2^5 = 32$  pieces   ⇒   at most  $32$  distinguishable lines.
::* The eye pattern evaluates the transient response of the signal.  The larger the (normalized) eye opening, the smaller are the intersymbol interferences.

{{BlueBox|TEXT=
'''(2)'''  Same setting as in  $(1)$. In addition,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$.  Evaluate the output characteristics  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$,  and  $p_{\rm U}$.}}

::* $ö_{\rm norm}= 0.542$  indicates that symbol detection is affected by adjacent pulses. For binary systems without intersymbol interference:  $ö_{\rm norm}= 1$.
::* The eye opening indicates only the signal  $d_{\rm S}(t)$  without noise.  The noise influence is captured by  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$ . This value should be as small as possible.
::* The error probability  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  refers solely to the "worst-case sequences", for Gaussian low–pass e.g.  $\text{...}\ , -1, -1, +1, -1, -1, \text{...}$.
::* Other sequences are less distorted   ⇒   the mean error probability  $p_{\rm M}$  is (usually) significantly smaller than $p_{\rm U}$  (describing the worst case).

{{BlueBox|TEXT=
'''(3)'''  The last settings remain.  With which  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  value does the worst case error probability  $p_{\rm U}$  become minimal?  Consider also the eye pattern.}}

::* The minimum value  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  is obtained for  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, and this is almost independent of the setting of  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
::* The normalized noise rms value does increase compared to the experiment  $(2)$  from  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  to  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$.
::* However, this is more than compensated by the larger eye opening  $ö_{\rm norm}= 0.91$  compared to  $ö_{\rm norm}= 0.542$  $($magnification factor $\approx 1.68)$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(4)'''  Which cutoff frequencies  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  result in a completely inadequate error probability  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Look at the eye pattern again  ("Overall view").}}

::* For  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  we get a "closed eye"  $(ö_{\rm norm}= 0)$  and thus a worst case error probability on the order of  $50\%$.
::* The decision on unfavorably framed bits must then be random, even with low noise  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(5)'''  Now select the settings  $M=2 \text{, Matched Filter receiver, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  and  "Overall view". Interpret the results. }}

::* The basic detection impulse  $g_d(t)$  is triangular and the eye is "fully open".  Consequently, the normalized eye opening is  $ö_{\rm norm}= 1.$
::* From  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  it follows $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
::* This  $p_{\rm U}$ value is by a factor  $15$  better than in  $(3)$.   But:  For  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  this so–called "Matched Filter Receiver" is not applicable.

{{BlueBox|TEXT=
'''(6)'''  Same settings as in  $(5)$.  Now vary  $T_{\rm E}/T$  in the range between  $0.5$  and  $1.5$.  Interpret the results.}}

::* For  $T_{\rm E}/T < 1$ ,  $ö_{\rm norm}= 1$  still holds.  But  $\sigma_{\rm norm}$  becomes larger, for example  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  for  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   the filter is too broadband!
::* $T_{\rm E}/T > 1$  results in a smaller  $\sigma_{\rm norm}$  compared to  $(5)$.  But the "eye" is no longer open, e.g.  $T_{\rm E}/T =1.25$:   $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(7)'''  Now select the settings  $M=2 \text{, CRO Nyquist system, }r_f = 0.2$  and  "Overall view". Interpret the eye pattern, also for other  $r_f$ values. }}

::* Unlike  $(6)$  here the basic detection impulse is not zero for  $|t|>T$,  but  $g_d(t)$  has equidistant zero crossings:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   '''Nyquist system'''.
::* All  $32$  eye lines pass through only two points at  $t=0$.  The vertical eye opening is maximum for all  $r_f$    ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
::* In contrast, the horizontal eye opening increases with  $r_f$  and is for  $r_f = 1$  maximum equal to  $T$   ⇒   the phase jitter has no influence in this case.

{{BlueBox|TEXT=
'''(8)'''  Same setting as in  $(7)$.  Now vary  $r_f$  with respect to minimum error probability.  Interpret the results.}}
::*$ö_{\rm norm}= 1$  always holds.  In contrast,  $\sigma_{\rm norm}$  shows a slight dependence on  $r_f$.  The minimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  results for  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
::* Compared to the best possible case according to  $(5)$   ⇒   "Matched Filter Receiver"  $p_{\rm U}$  is three times larger, although  $\sigma_{\rm norm}$  is only larger by about  $5\%$.
::* The larger  $\sigma_{\rm norm}$ value is due to the exaggeration of the noise PDS to compensate for the drop through the transmitter frequency response  $H_{\rm S}(f)$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(9)'''  Select the settings  $M=4 \text{, Matched Filter receiver, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  and  $12 \ {\rm dB}$.  Interpret the results. }}

::* Now there are three eye openings.  Compared to  $(5)$   $ö_{\rm norm}$  is thus smaller by a factor of  $3$.  $\sigma_{\rm norm}$  on the other hand, only by a factor of  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
::* For  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  the  (worst–case)  error probability is  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  and for  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  approx.  $0.59\%$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(10)'''  For the remaining tasks, always  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Consider the eye pattern  ("overall view")  for  $M=4 \text{, CRO Nyquist system, }r_f = 0.5$. }}

::* In the analyzed  $d_{\rm S}(t)$  region all  "five symbol combinations"  must be contained   ⇒   minimum  $4^5 = 1024$  parts   ⇒   maximum  $1024$  distinguishable lines.
::* All  $1024$  eye lines pass through only four points at  $t=0$ :   $ö_{\rm norm}= 0.333$.  $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  is slightly larger than in  $(9)$  ⇒   $p_{\rm U} \approx 1\%$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(11)'''  Select the settings  $M=4 \text{, Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  and vary  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.  Interpret the results. }}

::* $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  leads to the minimum error probability  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  $\text{Compromise between}$  $ö_{\rm norm}= 0.312$  and  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
::* If the cutoff frequency is too small, intersymbol interference dominates.  Example:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
::* If the cutoff frequency is too high, noise dominates.  Example:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
::* From the comparison with  $(9)$  one can see:  $\text{With quaternary coding it is more convenient to allow intersymbol interference}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(12)'''  What differences does the eye pattern show for  $M=3 \text{ (AMI code), Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  compared to the binary system  $(1)$? Interpretation. }}
::* The basic detection impulse  $g_d(t)$  is the same in both cases.  The sample values are respectively  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
::* With the AMI code, there are two eye openings with each  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  With the binary code:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
::* The AMI sequence consists of  $50\%$  zeros.  The symbols  $+1$  and  $-1$  alternate   ⇒   there is no long  $+1$  sequence and no long  $-1$  sequence.
::* Therein lies the only advantage of the AMI code:  This can also be applied to a channel with  $H_{\rm K}(f= 0)=0$  ⇒   a DC signal is suppressed.

{{BlueBox|TEXT=
'''(13)'''  Same setting as in  $(12)$.  Select additionally  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$.  Analyze the worst-case error probability of the AMI code. }}
::* Despite smaller  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  the AMI code has higher error probability  $p_{\rm U} \approx 2\%$  than the binary code:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
::* $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  results in a closed eye  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$.  With binary coding:  For  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  the eye is open.

{{BlueBox|TEXT=
'''(14)'''  What differences does the eye pattern show for  $M=3 \text{ (Duobinary code), Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  compared to the binary system  '''(1)'''? }}
::* With redundancy-free binary code:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\% $.   With Duobinary code:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\% $.
::*In particular, with small  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  the Duobinary code gives good results, since the transitions from  $+1$  to  $-1$  (and vice versa) are absent in the eye pattern.
::*Even with  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  the eye is open.  But in contrast to AMI  the Duobinary code is not applicable with a DC-free channel   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Anleitung_Auge.png|right|600px]]
    '''(A)'''     Auswahl:   Codierung <br>                   (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    '''(B)'''     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls<br>                    (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    '''(C)'''     Prametereingabe zu  '''(B)'''<br>                   (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    '''(D)'''     Steuerung der Augendiagrammdarstellung<br>                   (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    '''(F)'''     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    '''(G)'''     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    '''(H)'''     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    '''( I )'''     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    '''(J)'''     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  '''(K)'''

    '''(K)'''     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    '''(L)'''     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    '''(M)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(N)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(O)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
<br clear=all>
==About the Authors==

This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2008 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]  as part of his diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).

*Last revision and English version 2020/2021 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  ("study grants")  of the TUM Faculty EI.  We thank.

==Once again: Open Applet in new Tab==
{{LntAppletLinkEnDe|eyeDiagram_en|eyeDiagram}}

Applets:Graphical Convolution

2021-04-01T14:19:40Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|convolution_en|convolution}}

== Applet Description==
<br>
Dieses Applet verdeutlicht die Faltungsoperation im Zeitbereich
*zwischen einem Eingangsimpuls  $x(t)$   ⇒   Rechteck, Dreieck, Gauß, Exponentialfunktion
*und der Impulsantwort  $h(t)$  eines LZI–Systems mit Tiefpass–Charakter  ⇒   Spalt–Tiefpass, Tiefpass erster bzw. zweiter Ordnung, Gauß–Tiefpass.

Für das Ausgangssignal  $y(t)$  entsprechend dem Blockschaltbild im  $\text{Beispiel 1}$  gilt dann, wie im Kapitel  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]  dargelegt:
:$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bei kausalen Systemen   ⇒    $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  (Beispiele: Spalt–Tiefpass sowie Tiefpass erster und zweiter Ordnung)   kann hierfür auch geschrieben werden:

:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bitte beachten Sie:
*Alle Größen – auch die Zeit $t$ – sind normiert (dimensionslos) zu verstehen.
*Die Zeitfunktionen  $x(t)$,  $h(t)$  und  $y(t)$  können im Programm keine negativen Signalwerte annehmen.
*Die ''absolute Dauer''  eines Impulses  $y(t)$  ist der (zusammenhängende) Zeitbereich, für den  $y(t) > 0$  gilt.
*Die ''äquivalente Dauer''  eines Impulses ist über das flächengleiche Rechteck berechenbar.

==Theoretical Background==

===Faltung im Zeitbereich===

Der  [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|Faltungssatz]]  ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation. Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bekannt sind:

:$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$

Dann gilt für die Zeitfunktion des Produktes  $X_1(f) \cdot X_2(f)$:

:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Hierbei ist  $\tau$  eine formale Integrationsvariable mit der Dimension einer Zeit.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bezeichnet man als  '''Faltung'''  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:

:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$

[[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation#Beweis_des_Faltungssatzes|$\text{Beweis}$]]}}

''Anmerkung'':   Die Faltung ist  '''kommutativ'''   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:   ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.

[[File:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png|right|frame|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI-) System kann sowohl durch den Frequenzgang  $H(f)$  als auch durch die Impulsantwort  $h(t)$  beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen diesen beiden Systemgrößen ebenfalls durch die Fouriertransformation gegeben ist.

Legt man an den Eingang ein Signal  $x(t)$  mit dem Spektrum  $X(f)$  an, so gilt für das Spektrum des Ausgangssignals:

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f)\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Faltungssatz ist es nun möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:

:$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$

Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation  ''kommutativ''  ist.}}

===Faltung im Frequenzbereich===

Die Dualität zwischen Zeit– und Frequenzbereich erlaubt auch Aussagen hinsichtlich des Spektrums eines Produktsignals:

:$$x_1 ( t ) \cdot x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 (f) * X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X_1 ( \nu )} \cdot X_2 ( {f - \nu })\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu.$$

Dieses Resultat lässt sich ähnlich wie der  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz im Zeitbereich]]  beweisen. Die Integrationsvariable  $\nu$  hat aber nun die Dimension einer Frequenz.

[[File:P_ID580__Sig_T_3_4_S2_neu.png|right|frame|Faltung im Frequenzbereich]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die  [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
*Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal  $s(t)$  als das Produkt aus dem Nachrichtensignal  $q(t)$  und dem (normierten) Trägersignal  $z(t)$.
*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)$  und  $Z(f)$  ist.}}

===Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion===

Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine  [[Signal_Representation/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]  ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.

Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion  $x_1(t)$  mit der Funktion

:$$x_2 ( t ) = \alpha \cdot \delta ( {t - T} ) \quad \circ\,\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad X_2 ( f )= \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T}.$$

Für die Spektralfunktion des Signals  $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$  gilt dann:

:$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T} .$$

Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um  $T$   ⇒   [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor  $\alpha$  zu einer Dämpfung  $(\alpha < 1)$  bzw. einer Verstärkung  $(\alpha > 1)$. Daraus folgt:

:$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha \cdot x_1 ( {t - T} ).$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{In Worten: }$  Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$  ergibt die um  $T$  nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor  $\alpha$  zu berücksichtigen ist.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$  Ein Rechtecksignal  $x(t)$  wird durch ein LZI-System um eine Laufzeit  $\tau = 3\,\text{ ms}$  verzögert und um den Faktor  $\alpha = 0.5$  gedämpft.

[[File:P_ID522__Sig_T_3_4_S3_neu.png|center|frame|Faltung eines Rechtecks mit einer Diracfunktion]]

Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal  $y(t)$  als auch an der Impulsantwort  $h(t)$.}}

===Grafische Faltung===

In diesem Applet wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
[[File:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png|right|frame|Bildschirmabzug des Programms „Grafische Faltung” (frühere Version)]]
:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass  $x(t)$  und  $h(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.

Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:
#  Die  '''Zeitvariablen'''  der beiden Funktionen  '''ändern''':   <br>    $x(t) \to x(\tau)$,   $h(t) \to h(\tau)$.
#  Zweite '''Funktion spiegeln''':   $h(\tau) \to h(-\tau)$.
#  Gespiegelte '''Funktion''' um  $t$  '''verschieben''':   $h(-\tau) \to h(t-\tau)$.
#  '''Multiplikation''' der beiden Funktionen  $x(\tau)$  und  $h(t-\tau)$.
#  '''Integration'''  über das Produkt bezüglich  $\tau$  in den Grenzen von  $-\infty$  bis  $+\infty$.

Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von  $h(\tau)$  auch  $x(\tau)$  gespiegelt werden.

<br><br>
Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug einer älteren Version des vorliegenden Applets.
<br><br>

[[File:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: <br>Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:
*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion  $x(t) = \gamma(t)$  an.
*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei  $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$

Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort  $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal  $y(\tau)$.
Die Zeitachse ist bereits in  $\tau$  umbenannt.

Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:

:$$y(t) = h(t) * x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:
*Der Ausgangswert bei  $t = 0$  ergibt sich, indem man das Eingangssignal  $x(\tau)$  spiegelt, dieses gespiegelte Signal  $x(-\tau)$  mit der Impulsantwort  $h(\tau)$  multipliziert und darüber integriert.
*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve  $h(\tau)$  und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung  $x(-\tau)$  ungleich Null ist, folgt daraus  $y(t=0)=0$.
*Für jeden anderen Zeitpunkt  $t$  muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für  $t=T$.
*Da in diesem Beispiel auch  $x(t-\tau)$  nur die Werte  $0$  oder  $1$  annehmen kann, wird die Integration  $($allgemein von  $\tau_1$  bis  $\tau_2)$  einfach und man erhält mit  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = t$ :
:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

Die Skizze gilt für  $t=T$  und führt zum Ausgangswert  $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}

==Exercises==

*First, select the number  $(1,\ 2, \text{...} \ )$  of the task to be processed.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show Solution".
*Both the input signal  $x(t)$  and the impulse response  $h(t)$  of the filter are are normalized, dimensionless and energy-limited ("time-limited pulses").

{{BlueBox|TEXT=
'''(1)'''   Select the following parameters:  $\text{Gaussian pulse: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 1;     \text{ Impulse response according to 2nd order low pass: } \Delta t_h= 1$.
<br>         Interpret the displayed graphs.  What is the maximum output value  $y_{\rm max}$?  At what time  $t_{\rm max}$  does  $y_{\rm max}$  occur? }}

* After renaming:  Input signal  $x(\tau)$   ⇒   red curve,   impulse response  $h(\tau)$   ⇒   blue curve,  after mirroring  $h(-\tau)$   ⇒   green curve.
* Shifting the green curve by  $t$  to the right, we get  $h(t-\tau)$.  The output signal  $y(t)$  is obtained by multiplication and integration with respect to  $\tau$:

:$$y (t) = \int_{ - \infty }^{ +\infty } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ t } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
* The output pulse  $y(t)$  is asymmetric in the present case;  the maximum output value  $y_{\rm max}\approx 0.67$  occurs at  $t_{\rm max}\approx 1.5$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(2)'''   What changes if we increase the equivalent pulse duration of  $h(t)$  to  $\Delta t_h= 1.5$? }}

* $y_{\rm max}\approx 0.53$  now occurs at  $t_{\rm max}\approx 1.75$.  Due to the less favorable (wider) impulse response, the input pulse is more deformed.
* In a digital communication system, this would result in stronger  "intersymbol interferences".

{{BlueBox|TEXT=
'''(3)'''   Now select the symmetric  $\text{rectangular pulse: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$  and the  $\text{rectangular impulse response}$  of the low-pass filter:  $\Delta t_h= 1$.
<br>         Interpret the convolution result.  What is the maximum output value  $y_{\rm max}$?  At what times is  $y(t)>0$?  Does  $h(t)$  describe a causal system? }}

* The convolution of two rectangles with respective durations  $1$  yields a triangle with absolute duration  $2$  ⇒   equivalent pulse duration  $\Delta t_y= 1$.
* $y(t)$  is different from zero in the range from  $-0.5$  to  $+1.5$ .  The pulse maximum  $y_{\rm max} = 1$  is at  $t_{\rm max} = +0.5$.
* $h(t)$  describes a causal system, since  $h(t) \equiv 0$  for  $t < 0$.  That means:  The "effect"  $y(t)$  does not come before the "cause"  $x(t)$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(4)'''   What changes if we increase the equivalent pulse duration of  $h(t)$  to  $\Delta t_h= 2$ ? }}

* The convolution of two rectangles of different widths results in a trapezoid, here between  $-0.5$  and  $+2.5$ ⇒   equivalent pulse duration  $\Delta t_y= 2$.
* The maximum  $y_{\rm max} = 0.5$  occurs in the range  $0.5 \le t \le 1.5$.  Nothing changes with respect to causality.

{{BlueBox|TEXT=
'''(5)'''   Now select the (unsymmetrical)  $\text{rectangular pulse: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0.5$  and the  $\text{impulse response of a 1st order low pass: }\Delta t_h= 1$.
<br>         Interpret the results.  What is the value of  $y_{\rm max}$?  At what times is  $y(t)>0$ ?  Does  $h(t)$  describe a causal system? }}

* $h(t)$  has an exponentially decreasing curve for  $t > 0$.  It always applies:   $y(t>0) > 0$,  but the signal values can become very small.
* $y_{\rm max} = 0.63$  occurs for  $t_{\rm max} = +1$.  For  $ t < t_{\rm max}$ the progression is exponentially increasing, for  $ t > t_{\rm max}$  exponentially decreasing.
* The 1st order low pass can be realized with a resistor and a capacitor.  Any realizable system is causal per se.

{{BlueBox|TEXT=
'''(6)'''   Select as in  $(3)$  the  $\text{rectangular impulse response}$  of the low-pass filter:  $\Delta t_h= 1$.  With which  $x(t)$  results the same  $y(t)$  as for  $(5)$?}}

* The signal  $y(t)$  in  $(5)$  resulted as a convolution between the rectangular input  $x(t)$  and the exponential function  $h(t)$.
* Since the convolution operation is commutative, the same result is obtained with the exponential function  $x(t)$  and the rectangular function  $h(t)$.
* Thus, the correct setting for the input signal  $x(t)$  is the  $\text{exponential pulse }$with  $ A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$ .

{{BlueBox|TEXT=
'''(7)'''   For the remainder of the exercises, we consider the Gaussian low-pass.  The equivalent duration of the impulse response  $h(t)$  should first be  $\Delta t_h= 0.8$.
<br>       Analyze and interpret this  "system"  in terms of causality and the resulting distortions for the rectangular pulse. }}

* The low-pass is not causal (and therefore non–realizable):  For  $t < 0$  does  $h(t) \equiv 0$  not hold. Suitable model if infinite delay is ignored.
* The larger  $\Delta t_h$  is, the wider the output pulse and the stronger the degradation of a digital system due to intersymbol interference.
* The frequency response  $H(f)$  is the Fourier transform of  $h(t)$. The larger  $\Delta t_h$  is, the smaller  $\Delta f_h = 1/\Delta t_h$   ⇒   The system is more narrowband.

{{BlueBox|TEXT=
'''(8)'''   Now select  $\text{Gaussian pulse: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  and  $\text{Gaussian low pass: }\Delta t_h= 2$.  What is the course of the output pulse  $y(t)$?
<br>         What are the equivalent duration  $\Delta t_y$  of the output pulse and the maximum output value  $y_{\rm max}$?  At what time  $t_{\rm max}$  does  $y_{\rm max}$  occur? }}

* $y(t)$  is (exactly) Gaussian, too.   Mnemonic:  $\text{"Gaussian convolved with Gaussian gives always Gaussian"}$.
* Equivalent duration:  $\Delta t_y =\sqrt{\Delta t_x^2+ \Delta t_h^2} = 2.5$.  Pulse maximum  $($at  $t=0)$:  $y_{\rm max} = A_x \cdot \Delta t_x/\Delta t_y = 1 \cdot 1.5/2.5 = 0.6$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(9)'''   Now select  $\text{Triangular pulse: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  and  $\text{Gaussian low–pass: }\Delta t_h= 2$.  What is the course of the output pulse  $y(t)$?
<br>       What is the equivalent duration  $\Delta t_y$  of the output pulse and the maximum output value  $y_{\rm max}$?  At what time  $t_{\rm max}$  does  $y_{\rm max}$  occur?}}

* $y(t)$  is nearly Gaussian, but not exactly.  Mnemonic:  $\text{"Gaussian convolved with non–Gaussian never gives exactly Gaussian"}$.
* The characteristics of the output pulse  $y(t)$  differ only slightly from  $(8)$:  $\Delta t_y \approx 2.551$,  $y_{\rm max} \approx 0.588$.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Anleitung_Faltung_2.png|right|frame|Screen shot  (German version)]]

    '''(A)'''     Selection:   Shape of the input pulse  $x(t)$

    '''(B)'''     Parameter input for the input pulse  $x(t)$

    '''(C)'''     Selection:   Shape of the impulse response  $h(t)$  of the low-pass system

    '''(D)'''     Parameter input for the impulse response  $h(t)$

    '''(E)'''     Control panel  (Start;   Pause/Continue   ;  Step >   ;  Step <  ;  Reset)

    '''(F)'''     Output the initial value  $y(t)$  at the continuous time  $t$

    '''(G)'''     Maximum value  $y_{\rm max} = y(t_{\rm max})$  and equivalent width $\Delta\hspace{0.03cm} t_y$

                 After renaming the abscissa:   $t \ \to \ \tau$:

    '''(H)'''     Representation of  $x(\tau)$  ⇒   red static curve.

    '''(I)'''       Representation of  $h(\tau)$  ⇒  blue curve  and   $h(t-\tau)$  ⇒   green curve<br>                $($this is shifted to the right with the motion parameter   $t$ $)$

    '''(J)'''       Plot of  $x(\tau) \cdot h(t - \tau)$  ⇒   purple curve, dynamic with  $t$

    '''(K)'''      Successive representation of the output signal  $y(t)$  ⇒   brown curve

    '''(L)'''      Area for exercise execution:   Task selection.

    '''(M)'''      Exercise execution:   Area for task description

    '''(N)'''      Exercise execution:   Area for the sample solution
<br clear=all>
==About the Authors==
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2006 by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]  as part of his bachelor thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).

*Last revision and English version 2020/2021 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  ("study grants")  of the TUM Faculty EI.  We thank.

==Once again:  Open Applet in new Tab==
{{LntAppletLinkEnDe|convolution_en|convolution}}

Applets:Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal

2021-04-01T14:11:37Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|physAnLPSignal_en}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen äquivalenten Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass–Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right)+ A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signal_Representation/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das &bdquo;Obere Seitenband” mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Entsprechend gilt für das &bdquo;Untere Seitenband” $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

Das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  und  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

[[File:Ortskurve_1.png|right|frame|Äquivalentes TP–Signal zur Zeit $t=0$ bei cosinusförmigem Träger   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$]]
Im Programm dargestellt wird $x_{\rm TP}(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$ und cosinusförmigem Träger):

*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_\text{TP, T}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ liegt in der komplexen Ebene fest. Es gilt also für alle Zeiten $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.

*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_\text{TP, O}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.

*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, wegen $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Richtung).

*Mit $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ drehen der blaue und der grüne Zeiger gleich schnell, aber in unterschiedlichen Richtungen. Gilt zudem $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, so bewegt sich $x_{\rm TP}(t)$ auf einer Geraden mit einer Neigung von $\varphi_{\rm T}$.

''Hinweis:''   Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel des blauen Zeigers (OSB) gegenüber dem Koordinatensystem:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphasennlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes (USB, grüner Zeiger) für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

Den zeitlichen Verlauf von $x_{\rm TP}(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Ortskurve'''. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ wird im Abschnitt [[???]] angegeben. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

[[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Low-pass_Signal|'''Englische Beschreibung''']]

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
[[File:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass–Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass–Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion   ⇒   $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.

Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]],
*das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben.
<br><br>
===Spektralfunktionen des analytischen und des äquivalenten TP–Signals===

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
[[File:Ortskurve_2.png|right|frame|Spektralfunktionen $X_+(f)$ und $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.

Zum Spektrum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals kommt man, indem man $X_+(f)$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links verschiebt:
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

Im Zeitbereich entspricht diese Operation der Multiplkation von $x_{\rm +}(t)$ mit der komplexen Exponentialfunktion mit negativem Exponenten:
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

Man erkennt, dass $x_{\rm TP}(t)$ im Allgemeinen komplexwertig ist. Ist aber $X_+(f)$ symmetrisch um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, so ist $X_{\rm TP}(f)$ symmetrisch um die Frequenz $f=0$ und es ergibt sich dementsprechend eine reelle Zeitfunktion $x_{\rm TP}(t)$.

===$x_{\rm TP}(t)$–Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===

In unserem Applet setzen wir stets einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] angelehnt. &bdquo;T” steht für &bdquo;Träger”, &bdquo;U” für &bdquo;Unteres Seitenband” und &bdquo;O” für &bdquo;Oberes Seitenband”. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.

Das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  und  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.

[[File:Ortskurve_5.png|center|frame|Spektum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]

Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
* Für die Frequenzen gelte stets $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ und $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.

}}

===Darstellung des äquivalenten TP–Signals nach Betrag und Phase===

Das im Allgemeinen komplexwertige äquivalenten TP–Signal
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
kann entsprechend der hier angegebenen Gleichung in eine Betragsfunktion $a(t)$ und eine Phasenfunktion $\phi(t)$ aufgespalten werden, wobei gilt:
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

Der Grund dafür, dass man ein Bandpass–Signal $x(t)$ meist durch das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ beschreibt ist, dass die Funktionen $a(t)$ und $\phi(t)$ in beiden Darstellungen interpretierbar sind:
*Der Betrag $a(t)$ des äquivalentes TP–Signals $x_{\rm TP}(t)$ gibt die (zeitabhängige) Hüllkurve von $x(t)$ an.
*Die Phase $\phi(t)$ von $x_{\rm TP}(t)$ kennzeichnet die Lage der Nulldurchgänge von $x(t)$, wobei gilt:
:–   Bei $\phi(t)>0$ ist der Nulldurchgang früher als seine Solllage   ⇒   das Signal ist hier vorlaufend.
:–  Bei $\phi(t)<0$ ist der Nulldurchgang später als seine Solllage   ⇒   das Signal ist hier nachlaufend.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Die Grafik soll diesen Zusammenhang verdeutlichen, wobei $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ vorausgesetzt ist   ⇒   der grüne Zeiger (für das untere Seitenband) ist länger als der blaue Zeiger (oberes Seitenband). Es handelt sich um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt $t_0$:

[[File:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|Bandpass–Spektrum $X(f)$ |class=fit]]

*Bei diesen Systemparametern liegt die Spitze des Zeigerverbundes $x_{\rm TP}(t)$ – also die geometrisch Summe aus rotem, blauem und grünem Zeiger – auf einer Ellipse.
* In der linken Grafik schwarz eingezeichnet ist der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ und in brauner Farbe angedeutet ist der Phasenwert $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0.$
*In der rechten Grafik gibt der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ des äquivalenten TP–Signals die Hüllkurve des physikalischen Signals $x(t)$ an.
* Bei $\phi(t) \equiv 0$ würden alle Nulldurchgänge von $x(t)$ in äquidistenten Abständen auftreten. Wegen $\phi(t_0) > 0$ ist zum Zeitpunkt $t_0$ das Signal vorlaufend, das heißt: Die Nulldurchgänge kommen früher, als es das Raster vorgibt. }}

==Versuchsdurchführung==
[[File:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition”.

Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.

Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Rot$ den Träger   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
$\rm Blau$ das Obere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Es gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Betrachten und interpretieren Sie das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ und das physikalische Signal $x(t)$. Welche Periodendauer $T_0$ erkennt man?}}

:: Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an   ⇒   Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> Der Betrag $|x_{\rm TP}(t)|$ gibt die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $x(t)$ an. Es gilt mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ und $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br> Sowohl $x_{\rm TP}(t)$ als auch $x(t)$ sind periodisch mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie ändern sich die Verhältnisse gegenüber '''(1)''' mit $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ und $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? Wie könnte $x(t)$ entstanden sein?}}

:: Für die Hüllkurve $a(t)$ des Signals $x(t)$ gilt weiterhin $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, aber nun mit $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Auch wenn es nicht zu erkennen ist:<br> $x_{\rm TP}(t)$ und $x(t)$ sind weiterhin periodisch:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Beispiel: Zweiseitenband–Amplitudenmodulation '''(ZSB–AM)''' eines Sinussignals mit Cosinus–Träger.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Welche Einstellungen müssen gegenüber '''(2)''' geändert werden, um zur ZSB–AM eines Cosinussignals mit Sinus–Träger zu gelangen. Was ändert sich gegenüber '''(2)'''?}}

::Die Trägerphase muss auf $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ geändert werden   ⇒   Sinus–Träger. Ebenso muss $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ eingestellt werden   ⇒   cosinusförmige Nachricht<br> Die Ortskurve liegt nun auf der imaginären Achse  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. Zu Beginn gilt $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:Welche Eigenschaften weist dieses System &bdquo;ZSB–AM, wobei Nachrichtensignal und Träger jeweils cosinusförmig” auf? Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?}}

:: Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an   ⇒   Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> Bis auf den Startzustand $x_{\rm TP}(t=0)$ gleiches Verhalten wie bei der Einstellung '''(1)'''. Der Modulationsgrad ist jeweils $m = 0.8$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. Wie groß ist nun der Modulationsgrad $m$? Welche Konsequenzen hat das?}}

:: Es liegt nun eine ZSB–AM mit Modulationsgrad $m = 1.333$ vor. Bei $m > 1$ ist die einfachere [[Modulation_Methods/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] nicht anwendbar, da nun die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ nicht mehr konstant ist und die Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr mit dem Nachrichtensignal übereinstimmt. Vielmehr muss die aufwändigere [[Modulation_Methods/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] verwendet werden. Bei Hüllkurvendemodulation käme es zu nichtlinearen Verzerrungen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' bzw. '''(5)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0$ an   ⇒   $m \to \infty$. Welches Modulationsverfahren wird so beschrieben?}}

::Es handelt sich um eine '''ZSB–AM ohne Träger''' und es ist eine eine Synchrondemodulation erforderlich. Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ liegt zwar auf der reellen Achse, aber nicht nur in der rechten Halbebene. Damit gilt auch hier für die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, wodurch Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar ist.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Eigenschaften dieses Verfahrens erkennt man aus der Grafik?}}

::Es handelt es sich um eine [[Modulation_Methods/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB–AM)''', genauer gesagt um eine '''OSB–AM''': Der rote Träger liegt fest, der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger (OSB) dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Modulationsgrad ist $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.<br>Die Ortskurve ist ein Kreis. $x_{\rm TP}(t)$ bewegt sich darauf in mathematisch positiver Richtung. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ ist auch hier die Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar:  Dies erkennt man daran, dass die Hüllkurve $a(t)$ nicht cosinusförmig ist. Vielmehr ist die untere Halbwelle spitzer als die obere   ⇒   starke lineare Verzerrungen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O}= 0$ und $A_{\rm U}= 0.8 \text{V}$. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}

::Nun handelt es sich um eine '''USB–AM''': Der rote Träger liegt fest, der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger (USB) dreht im Uhrzeigersinn. Alle anderen Aussagen von '''(7)''' treffen auch hier zu.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}

::Die Ortskurve $x_{\rm TP}(t)$ ist nun keine horizontale Gerade, sondern eine Ellipse mit dem Realteil zwischen $0.4 \text{ V}$ und $1.6 \text{ V}$ sowie dem Imaginärteil im Bereich $\pm 0.2 \text{ V}$. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ würde auch hier die Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen führen<br>Die hier simulierte Konstellation beschreibt die Situation von '''(4)''', nämlich eine ZSB–AM mit Modulationsgrad $m = 0.8$, wobei das obere Seitenband aufgrund der Kanaldämpfung auf $50\%$ reduziert wird.

==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Ortskurve_abzug3.png|right]]
* Die roten Parameter $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ und der rote Zeiger kennzeichnen den '''T'''räger.
* Die grünen Parameter $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ kennzeichnen das '''U'''ntere Seitenband.
* Die blauen Parameter $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ kennzeichnen das '''O'''bere Seitenband.
* Der rote Zeiger dreht nicht.
* Der grüne Zeiger dreht in mathematisch negativer Richtung (im Uhrzeigersinn).
* Der blaue Zeiger dreht entgegen dem Uhrzeigersinn.

<u>Bedeutung der Buchstaben in nebenstehender Grafik:</u>

    '''(A)'''     Grafikfeld für das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$

    '''(B)'''     Grafikfeld für das physikalische Signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parametereingabe per Slider:   Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    '''(D)'''     Bedienelemente:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Werte: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   Ein oder Aus, Spur des äquivalenten TP–Signals   $x_{\rm TP}(t)$

    '''(G)'''     Numerikausgabe:   Zeit $t$, Signalwerte  ${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$  und  ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$   Hüllkurve $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$  und  Phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

    '''(H)'''     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen &bdquo;$+$” (Vergrößern), &bdquo;$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Aufgabenauswahl und Aufgabenstellung

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Musterlösung
<br clear=all>

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|physAnLPSignal_en}}

Applets:Physikalisches Signal & Analytisches Signal

2021-04-01T14:11:24Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|physAnSignal_en}}
    ''Hinweis:''   Das Applet ist für den '''CHROME'''–Browser optimiert. Bei anderen Browsern kommt es teilweise zu Darstellungsproblemen.

==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass–Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signal_Representation/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das &bdquo;Obere Seitenband” mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Entsprechend gilt für das &bdquo;Untere Seitenband” $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

Das dazugehörige analytische Signal lautet:

:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

[[File:Zeigerdiagramm_2a_version2.png|right|frame|Analytische Signal zur Zeit $t=0$]]
Im Programm dargestellt wird $x_+(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger (alle mit positiver Drehrichtung   ⇒   entgegen dem Uhrzeigersinn) als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$):

*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_{\rm T+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ dreht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}$ (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm T})$.

*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_{\rm O+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}$, also etwas schneller als $x_{\rm T+}(t)$.

*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}$, also etwas langsamer als $x_{\rm T+}(t)$.

Den zeitlichen Verlauf von $x_+(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Zeigerdiagramm'''. Der Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ ist sehr einfach:

:$$x(t) = {\rm Re}\big [x_+(t)\big ].$$

''Hinweis:''   Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel gegenüber dem Koordinatensystem:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

[[Applets:Physical_Signal_%26_Analytical_Signal|'''Englische Beschreibung''']]

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
[[File:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass–Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass–Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion   ⇒   $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.

Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben,
*das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass–Signal]].
<br><br>
===Analytisches Signal – Spektralfunktion===

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
[[File:Zeigerdiagramm_3a.png|right|frame|Konstruktion der Spektralfunktion $X_+(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:   Das Bandpass–Spektrum $X(f)$ wird
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf den trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.
<br clear=all>
===Analytisches Signal – Zeitverlauf===
An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Für die '''Hilberttransformierte''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:

:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes] ausgewertet werden.

Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
:$$Y(f) = {\rm -j \cdot sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}

Das obige Ergebnis lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
*Man erhält aus dem physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil gemäß der Hilberttransformierten hinzufügt:

:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

*$\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal. Bei allen anderen Signalformen ist somit das analytische Signal $x_+(t)$ komplex.

*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das physikalische Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
:$$x(t) = {\rm Re}\big[x_+(t)\big] .$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die nachfolgende Grafik nochmals verdeutlicht:
*Nach der linken Darstellung $\rm(A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.
*Hierbei ist $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ eine reelle Zeitfunktion, die sich im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit ${\rm - j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.

[[File:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]

Die rechte Darstellung $\rm(B)$ ist äquivalent zu $\rm(A)$. Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.}}
<br><br>
===Darstellung der harmonischen Schwingung als analytisches Signal===

Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T} \cdot t - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
* $+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
* $-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals (also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T}$, aber Verdoppelung bei $f =+f_{\rm T}$):

:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:

:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Aus Darstellungsgründen wird das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

[[File:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
*Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
*Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.}}
<br><br>
===$x_+(t)$–Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===

In unserem Applet setzen wir stets einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Jede der drei harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] angelehnt. &bdquo;T” steht für &bdquo;Träger”, &bdquo;U” für &bdquo;Unteres Seitenband” und &bdquo;O” für &bdquo;Oberes Seitenband”. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.

Das dazugehörige analytische Signal lautet:
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] (mit Träger) des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.

[[File:Zeigerdiagramm_5.png|center|frame|Spektum $X_+(f)$ des analytischen Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]

Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
* Für die Frequenzen gelte stets $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$.

*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.}}

==Versuchsdurchführung==
[[File:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition”.

Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.
<br clear=all>

Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Rot$ den Träger   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
$\rm Blau$ das Obere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Betrachten und interpretieren Sie das analytische Signal $x_+(t)$ für $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$. Außerdem gelte $A_{\rm U} = A_{\rm O} = 0$.

:Welche Signalwerte $x_+(t)$ ergeben sich für $t = 0$, $t = 5 \ \rm µ s$ und $t = 20 \ \rm µ s$? Wie groß sind die entsprechenden Signalwerte von $x(t)$? }}

:: Für ein Cosinussignal gilt $x_+(t= 0) = A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}$. Danach dreht $x_+(t)$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung pro Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm T}$):

:: $x_+(t= 20 \ {\rm µ s}) = x_+(t= 0) = 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 20 \ {\rm µ s}) = 1.5\ \text{V,}$
:: $x_+(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm j} \cdot 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm Re}[x_+(t= 5 \ {\rm µ s})] = 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie ändern sich die Verhältnisse für $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.0\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 90^\circ$?}}

::Das Signal $x(t)$ ist nun ein Sinussignal mit kleinerer Amplitude. Das analytische Signal startet nun wegen $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ bei $x_+(t= 0) = -{\rm j} \cdot A_{\rm T}$. Danach dreht $x_+(t)$ wieder in mathematisch positiver Richtung, aber wegen $T_0 = 10 \ \rm µ s$ doppelt so schnell als bei $\rm (1)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:Betrachten und interpretieren Sie das physikalische Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$.}}

::Das Signal $x(t)$ ergibt sich bei der Zweiseitenband–Amplitudenmodulation '''(ZSB–AM)''' des Nachrichtensignals $A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$ mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$, $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$. Der Träger $x_{\rm T}(t)$ mit $f_{\rm T} = 100\ \text{kHz}$ ist ebenfalls cosinusförmig. Der Modulationsgrad ist $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 0.8$ und die Periodendauer $T_{\rm 0} = 50\ \text{µs}$.

::Im Zeigerdiagramm dreht sich der (rote) Träger schneller als das (grüne) Untere Seitenband und langsamer als das (blaue) Obere Seitenband. Das analytische Signal $x_+(t)$ ergibt sich als die geometrische Summe der drei rotierenden Zeiger. Es scheint so, als würde der blaue Zeiger dem Träger vorauseilen und der grüne Zeiger dem Träger nachlaufen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Es gelten weiter die Einstellungen der Aufgabe '''(3)'''. Welche Signalwerte ergeben sich bei $t=0$, $t=2.5 \ \rm µ s$, $t= 5 \ \rm µ s$ und $t=10 \ \rm µ s$? }}

::Zur Zeit $t=0$ liegen alle Zeiger in Richtung der reellen Achse, so dass $x(t=0) = {\rm Re}\big [x+(t= 0)\big] = A_{\rm U} + A_{\rm T} + A_{\rm O} = 1.8\ \text{V}$ gilt.

::Bis zur Zeit $t=2.5 \ \rm µ s$ hat sich der rote Träger um $90^\circ$ gedreht, der blaue Zeiger um $108^\circ$ und der grüne um $72^\circ$. Es gilt $x(t=2.5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 2.5 \ \rm µ s)\big] = 0$, da nun der Zeigerverbund in Richtung der imaginären Achse zeigt. Die weiteren gesuchten Signalwerte sind $x(t=5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 5 \ \rm µ s)\big] = -1.647\ \text{V}$ und $x(t=10 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 10 \ \rm µ s)\big] = 1.247\ \text{V}$.
::Für $x_+(t)$ ergibt sich ein spiralförmiger Verlauf, abwechselnd mit kleiner werdenem Radius und anschließend mit größerem Radius.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie müssen die Phasenparameter $\varphi_{\rm T}$, $\varphi_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm O}$ eingestellt werden, wenn sowohl der Träger $x_{\rm T}(t)$ als auch das Nachrichtensignal $x_{\rm N}(t)$ sinusförmig verlaufen?}}

::Die Parameterwahl $\varphi_{\rm T} = \varphi_{\rm U} = \varphi_{\rm O}=90^\circ$ beschreibt die Signale $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \sin\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t\right)$ und $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$. Soll zusätzlich die Nachricht $x_{\rm N}(t)$ sinusförmig verlaufen, so muss $\varphi_{\rm O}=\varphi_{\rm T} - 90^\circ = 0$ und $\varphi_{\rm U}=\varphi_{\rm T} + 90^\circ = 180^\circ$ eingestellt werden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Es gelten die Einstellungen der Aufgabe '''(3)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T} = 0.6\ \text{V}$. Welches Modulationsverfahren wird hiermit beschrieben?

: Welche Konsequenzen ergeben sich hieraus? Was ändert sich mit $A_{\rm T} = 0$? }}

::Es handelt sich um eine '''ZSB–AM mit Träger''' mit dem Modulationsgrad $m=0.8/0.6 = 1.333$. Für $m > 1$ ist allerdings eine [[Modulation_Methods/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] erforderlich. [[Modulation_Methods/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] funktioniert nicht mehr. Ein Grund hierfür ist, dass nun die Nulldurchgänge von $x(t)$ nicht mehr im äquidistanten Abstand von $5\ \rm µ s$ auftreten   ⇒   zusätzliche Phasenmodulation.

::Mit $A_{\rm T} = 0$   ⇒   $m \to \infty$ ergibt sich eine '''ZSB–AM ohne Träger'''. Auch hierfür benötigt man unbedingt die Synchrondemodulation.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Welche Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Figur ergibt sich für das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   &bdquo;Ortskurve”? <br>Was ändert sich mit $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$ und $A_{\rm O} = 0$?}}

::In beiden Fällen handelt es sich um eine [[Modulation_Methods/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB–AM)''' mit dem Modulationsgrad $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig. Das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$ hat in der komplexen Ebene einen kreisförmigen Verlauf.

::Mit $A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm U} = 0$ handelt es sich um eine OSB–Modulation. Der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger dreht im Vergleich zum roten Träger schneller.

::Mit $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm O} = 0$ handelt es sich um eine USB–Modulation. Der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger dreht im Vergleich zum roten Träger langsamer.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Es gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.05cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.05cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.05cm} A_{\rm O} = 0.2\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = +90^\circ$.

:Welche Konstellation könnte hiermit beschrieben werden? Welche Figur ergibt sich für das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   &bdquo;Ortskurve”?}}

::Es könnte eine ZSB–AM eines Sinussignals mit cosinusförmigem Träger und Modulationsgrad $m=0.8$ wie in '''(3)''' vorliegen, bei dem aber das Obere Seitenband um den Faktor $2$ gedämpft ist. Das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$ hat in der komplexen Ebene einen elliptischen Verlauf.

==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Zeigerdiagramm_abzug.png|right]]

* Die roten Parameter $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ und der rote Zeiger kennzeichnen den '''T'''räger.
* Die grünen Parameter $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ kennzeichnen das '''U'''ntere Seitenband.
* Die blauen Parameter $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ kennzeichnen das '''O'''bere Seitenband.
*Alle Zeiger drehen in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn).

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Bedeutung der Buchstaben in nebenstehender Grafik:

    '''(A)'''     Grafikfeld für das analytische Signal $x_{\rm +}(t)$

    '''(B)'''     Grafikfeld für das physikalische Signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parametereingabe per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    '''(D)'''     Bedienelemente:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Werte: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   Ein oder Aus, Spur der komplexen Signalwerte $x_{\rm +}(t)$

    '''(G)'''     Numerikausgabe der Zeit $t$ und der Signalwerte  ${\rm Re}[x_{\rm +}(t)] = x(t)$  und  ${\rm Im}[x_{\rm +}(t)]$

    '''(H)'''     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen &bdquo;$+$” (Vergrößern), &bdquo;$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” und &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Aufgabenauswahl und Aufgabenstellung

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Musterlösung
<br clear=all>
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

Die Fertigstellung dieses Applets wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München ermöglicht. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|physAnSignal_en}}
    ''Hinweis:''   Das Applet ist für den '''CHROME'''–Browser optimiert. Bei anderen Browsern kommt es teilweise zu Darstellungsproblemen.

Applets:Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal

2021-04-01T14:11:07Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}

==Applet Description==
<br>
This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t)+ x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$   ⇒   in German:   '''N'''achrichtensignal
*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$   ⇒   in German:   '''T'''rägersignal.

The nomenclature is also adapted to this case:
* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband”   (in German:   '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Similarly, for the &bdquo;lower sideband”   (in German:   '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

The associated equivalent lowpass–signal is $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

[[File:Ortskurve_1.png|right|frame|Equivalent low-pass signal currently $t=0$ for cosinusoidal carrier   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$]]
The program shows $x_{\rm TP}(t)$ as the vectorial sum of three rotation pointers as a violet dot (see figure for start time $t=0$ and cosinusoidal carrier):

*The (red) pointer of the carrier $x_\text{TP, T}(t)$ with the length $A_{\rm T}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm T}=0$ is fixed in the complex plane. So it applies to all times $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.

*The (blue) pointer of the upper sideband $x_\text{TP, O}(t)$ with the length $A_{\rm O}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematically positive direction (one revolution in time $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.

*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with the length $A_{\rm U}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, because of $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ counterclockwise.

*With $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ the blue and green pointers will spin at the same speed but in different directions. Also, if $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, then $x_{\rm TP}(t)$ moves on a straight line with a incline of $\varphi_{\rm T}$.

''Note:''   In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. From this follows for the start time $t=0$ the angle of the upper sideband (OSB, blue pointer) with respect to the coordinate system:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Likewise, the zero phase position $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ of the lower sideband (USB, green pointer) follows for the phase angle to be considered in the complex plane:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

The temporal process of $x_{\rm TP}(t)$ is also referred to below as &bdquo;locus”. The relationship between $x_{\rm TP}(t)$ and the physical bandpass signal $x(t)$ is given in the section and the associated analytic signal is $x_+(t)$ :

:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

==Theoretical Background==
<br>
===Description of Bandpass Signals===
[[File:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.

The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function   ⇒   $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.

Beside the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical Signal & Analytic Signal]],
*the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, see next page
<br><br>

===Spectral Functions of the Analytic and the Equivalent Lowpass Signal===

The '''analytic signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
[[File:Ortskurve_2.png|right|frame|spectral functions $X(f)$, $X_+(f)$ and $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The ''Signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
*The (double-sided) limit returns $\sign(0) = 0$.
*The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.

From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:   The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes
*doubled at the positive frequencies, and
*set to zero at the negative frequencies.

Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f = 0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ is always complex.

The spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent lowpass signal is obtained by shifting $X_+(f)$ to the left by the carrier frequency $f_{\rm T}$:
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

In the time domain this operation corresponds to the multiplication of $x_{\rm +}(t)$ with the complex exponential function with negative exponent:
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

It can be seen that $x_{\rm TP}(t)$ is generally complex. But if $X_+(f)$ is symmetric about the carrier frequency $f_{\rm T}$, $X_{\rm TP}(f)$ is symmetric about the frequency $f=0$ and there is accordingly a real time function $x_{\rm TP}(t)$.
<br><br>

===$x_{\rm TP}(t)$ Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations===

In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
*The indices are based on the modulation method [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|double sideband amplitude modulation]]. &bdquo;T” stands for &bdquo;carrier”, &bdquo;U” for &bdquo;lower sideband” and &bdquo;O” for &bdquo;upper Sideband”. Similarly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.

The associated equivalent low-pass signal is with $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
The constellation given here results, for example, in the [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|double sideband amplitude modulation]] of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the exercises.

[[File:Ortskurve_5.png|center|frame|Spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent low–pass signal for different phase constellations |class=fit]]

There are some limitations to the program parameters in this approach:
* The frequencies are always $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ and $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
*Without distortion, the amplitude of the sidebands is $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.

}}
<br><br>

===Representation of the Equivalent Lowpass Signal by Magnitude and Phase===

The generally complex equivalent lowpass signal
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
can be split into a magnitude function $a(t)$ and a phase function $\phi(t)$ according to the equation given here, where:
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

The reason for this is that a bandpass signal $x(t)$ is usually described by the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ that the functions $a(t)$ and $\phi(t)$ are interpretable in both representations:
*The amount $a(t)$ of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ indicates the (time-dependent) envelope of $x(t)$.
*The phase $\phi(t)$ of $x_{\rm TP}(t)$ denotes the location of the zero crossings of $x(t)$, where:
:–   For $\phi(t)>0$ the zero crossing is earlier than its nominal position   ⇒   the signal is leading here.
:–  When $\phi(t)<0$, the zero crossing is later than its target position   ⇒   the signal is trailing here.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph is intended to illustrate this relationship, assuming $A_{\rm U} > A_{\rm O}$   ⇒   the green pointer (for the lower sideband) is longer than the blue pointer (upper sideband). This is a snapshot at time $t_0$:

[[File:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]

*For these system parameters, the top of the pointer cluster $x_{\rm TP}(t)$ – that is, the geometric sum of red, blue and green pointers – on an ellipse.
* The amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ is drawn in black in the left-hand diagram and the phase value $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0$ is indicated in brown color.
*In the graph on the right, the amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ of the equivalent low-pass signal indicates the envelope of the physical signal $x(t)$.
* At $\phi(t) \equiv 0$, all zero crossings of $x(t)$ would occur at equidistant intervals. Because of $\phi(t_0) > 0$, the signal is leading at the time $t_0$, that is: the zero crossings come earlier than the grid dictates. }}

==Exercises==
[[File:Exercises_verzerrungen.png|right]]
*First select the task number.
*A task description is displayed.
*Parameter values are adjusted.
*Solution after pressing &bdquo;Hide solition”.

The number &bdquo;0” will reset the program and output a text with the further explanation of the applet.

In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Red$ the carrier   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
$\rm Blue$ the upper sideband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Consider and interpret the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ and the physical signal $x(t)$. Which period $T_0$ recognizable?}}

:: The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> The amount $|x_{\rm TP}(t)|$ indicates the envelope $a(t)$ of the physical signal $x(t)$. It holds $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ and $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br> Both $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are periodically with the period $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   How do the ratios change to '''(1)''' with $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ and $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? How could $x(t)$ have arisen?}}

:: For the envelope $a(t)$ of the signal $x(t)$ we still have $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, but now $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Even though it can not be recognized:<br> $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are still periodically:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Example: Double sideband Amplitude modulation '''(DSB–AM)''' of a sine signal with cosine carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Which settings have to be changed from '''(2)''' in order to arrive at the DSB–AM of a cosine signal with sine carrier. What changes over '''(2)'''?}}

::The carrier phase must be changed to $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   sine carrier. Similarly, $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ must be set   ⇒   cosinusoidal message<br> The locus now lies on the imaginary axis  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. At the beginning $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:What are the characteristics of this system &bdquo;DSB–AM, where the message signal and carrier are respectively cosinusoidal”? What is the degree of modulation $m$?}}

:: The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> Except for the start state $x_{\rm TP}(t=0)$ same behavior as at the setting '''(1)'''. The degree of modulation is $m = 0.8$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   The parameters are still valid according to '''(4)''' with the exception of $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. What is the degree of modulation $m$? What are the consequences?}}

:: There is now a DSB–AM with modulation degree $m = 1.333$. For $m > 1$, the simpler ''Envelope Demodulation'' is not applicable, since the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ is no more constant and the envelope $a(t)$ no more matches the message signal. Rather, the complex ''Synchronous Demodulation'' must be used. Envelope detection would produce nonlinear distortions.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   The parameters are still valid according to '''(4)''' or '''(5)''' with the exception from $A_{\rm T}= 0$ on   ⇒   $m \to \infty$. Which modulation method is described in this way?}}

::It is a '''DSB–AM without carrier''' and a synchronous demodulation is required. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ is on the real axis, but not only in the right half-plane. Thus, the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, also applies here, which means that ''Envelope Demodulation'' is not applicable.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Which constellation is described here? Which characteristics of this procedure can be recognized from the graphic?}}

::It is a [[Modulation_Methods/Einseitenbandmodulation|single-sideband modulation]] '''(SSB–AM)''', more specifically an '''OSB–AM''': the red carrier is fixed, the green pointer missing and the blue pointer (OSB) turns counterclockwise. The degree of modulation is $\mu = 0.8$ (in the case of SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal sinusoidal.<br>The locus is a circle. $x_{\rm TP}(t)$ moves in a mathematically positive direction. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ the envelope demodulation is not applicable here:  This can be seen by the fact that the envelope $a(t)$ is not cosinusoidal. Rather, the lower half-wave is sharper than the upper one   ⇒   strong linear distortions.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   The parameters are still valid according to '''(7)''' with the exception of $A_{\rm O}= 0$ and $A_{\rm U}= 0.8 \text{ V}$. What differences arise opposite '''(7)'''?}}

::Now it is a '''LSB–AM''': The red carrier is fixed, the blue pointer is missing and the green pointer (LSB) rotates clockwise. All other statements of '''(7)''' apply here as well.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   The parameters according to '''(7)''' are still valid with the exception of $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. What are the differences from '''(7)'''?}}

::The locus $x_{\rm TP}(t)$ is not a horizontal straight line, but an ellipse with the real part between $0.4 \text{ V}$ and $1.6 \text{ V}$ and the imaginary part in the range $\pm 0.2 \text{ V}$. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ , Envelope demodulation would lead to non-linear distortions here too.<br> The constellation simulated here describes the situation of '''(4)''', namely a DSB–AM with modulation degree $m = 0.8$, where the upper sideband is reduced to $50\%$ due to channel attenuation.

==Applet Manual==

[[File:Ortskurve_abzug3.png|right|frame|Screenshot]]

    '''(A)'''     Plot of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$

    '''(B)'''     Plot of the physical signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parameter input via slider:   amplitudes, frequencies, phase values

    '''(D)'''     Control elements:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Speed of animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Values: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   On or Off, trace of equivalent lowpass signal   $x_{\rm TP}(t)$

    '''(G)'''     Numerical output:   time $t$, the signal values  ${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$  and  ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$   envelope $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$  and  phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

    '''(H)'''     Variations for the graphical representation

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Functions &bdquo;$+$” (Enlarge), &bdquo;$-$” (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)

$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$” (Section to the left, ordinate to the right), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Experiment section:   Task selection and task

    '''(J)'''     Experiment section:  solution
<br><br><br>

In all applets top right:    Changeable graphical interface design   ⇒   '''Theme''':
* Dark:   black background  (recommended by the authors).
* Bright:   white background  (recommended for beamers and printouts)
* Deuteranopia:   for users with pronounced green–visual impairment
* Protanopia:   for users with pronounced red–visual impairment
<br clear=all>
Note:
*Red parameters  $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$  and the red pointer mark the "Carrier"  (German:  $\rm T$räger).  The red pointer does not turn.
* Green parameters  $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$  mark the "Lower sideband"  (German:  $\rm U$nteres Seitenband).  The green pointer rotates in a mathematically negative direction.
* Blue parameters  $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$  mark the "Upper sideband"  (German:  $\rm O$beres Seitenband).  The blue pointer turns counterclockwise.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home//startseite Institute for Communications Engineering]  of the  [https://www.tum.de/ Technical University of Munich] .
*The original version was created in 2005 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]  as part of her Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript”  (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]  as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

==Once again: Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}

Applets:Physical Signal & Analytic Signal

2021-04-01T14:10:57Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEn|physAnSignal_en}}

==Applet Description==
<br>
This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated analytic signal $x_+(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$   ⇒   in German:   '''N'''achrichtensignal
*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$   ⇒   in German:   '''T'''rägersignal.

The nomenclature is also adapted to this case:
* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband”   (in German:   '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Similarly, for the &bdquo;lower sideband”   (in German:   '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

The associated analytic signal is:

:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

[[File:Zeigerdiagramm_2a_version2.png|right|frame|Analytic signal at the time $t=0$]]
The program displays $x_+(t)$ as the vectorial sum of three rotating pointers (all with counterclockwise) as a violet dot (see figure for start time $t=0$):

*The (red) pointer of the carrier $x_{\rm T+}(t)$ with length $A_{\rm T}$ and zero phase position $\varphi_{\rm T} = 0$ rotates at constant angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}$ (one revolution in time $1/f_{\rm T})$.

*The (blue) pointer of the upper sideband $x_{\rm O+}(t)$ with length $A_{\rm O}$ and zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}$, which is slightly faster than $x_{\rm T+}(t)$.

*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with length $A_{\rm U}$ and zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}$, which is slightly slower than $x_{\rm T+}(t)$.

The time trace of $x_+(t)$ is also referred to below as ''Pointer Diagram''. The relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated analytic signal $x_+(t)$ is:

:$$x(t) = {\rm Re}\big [x_+(t)\big ].$$

''Note:''   In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. This leads to the angle with respect to the coordinate system at $t=0$:   $\phi_{\rm O}=-\varphi_{\rm O}=-30^\circ$. Similarly, the null phase angle $\varphi_{\rm U}=-30^\circ$ of the lower sideband leads to the phase angle to be considered in the complex plane:   $\phi_{\rm U}=+30^\circ$.

==Theoretical Background==
<br>
===Description of Bandpass Signals===
[[File:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.

The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function   ⇒   $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.

Besides the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see next page,
*the equivalent lowpass signal   (in German:   äquivalentes '''T'''ief '''P'''ass–Signal) $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, <br>see Applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Low-pass_Signal|Physical Signal & Equivalent Lowpass signal]].
<br><br>

===Analytic Signal – Frequency Domain===

The '''analytic signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
[[File:Zeigerdiagramm_3a.png|right|frame|Construction of the spectral function $X_+(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The ''signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
* The (double-sided) limit returns $\sign(0)=0$.
* The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.

From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:

The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes
* doubled at the positive frequencies, and
* set to zero at the negative frequencies.

Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f=0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)=0 \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_+(f)=0$ is always complex.
<br clear=all>

===Analytic Signal – Time Domain===
At this point, it is necessary to briefly discuss another spectral transformation.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
For the '''Hilbert transform''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ of a time function $x(t)$ we have:

:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

This particular integral is not solvable in a simple, conventional way, but must be evaluated using the [https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value Cauchy principal value theorem].

Accordingly, in the frequency domain:
:$$Y(f) = {\rm -j \cdot sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}

The above result can be summarized with this definition as follows:
* The analytic signal $x_+(t)$ is obtained from the physical bandpass signal $x(t)$ by adding an imaginary part to $x(t)$ according to the Hilbert transform:

:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

*$\text{H}\{x(t)\}$ disappears only for the case $x(t) = \rm const.$   ⇒   the same signal. For all other signal forms, the analytic signal $x_+(t)$ is complex.

* From the analytic signal $x_+(t)$, the physical bandpass signal can be easily determined by the following operation:
:$$x(t) = {\rm Re}\big[x_+(t)\big] .$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$  The principle of the Hilbert transformation should be further clarified by the following graphic:
*After the left representation $\rm(A)$ one gets from the physical signal $x(t)$ to the analytic signal $x_+(t)$, by adding an imaginary part ${\rm j} \cdot y(t)$.
*Here $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ is a real time function that can be indicated in the spectral domain by multiplying the spectrum $X(f)$ with ${\rm - j} \cdot \sign(f)$.

[[File:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|To clarify the Hilbert transform]]

The right representation $\rm(B)$ is equivalent to $\rm(A)$. Now $x_+(t) = x(t) + z(t)$ stand with the purely imaginary function $z(t)$. A comparison of the two figures shows that in fact $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$.}}
<br><br>

===Representation of the Harmonic Oscillation as an Analytic Signal===

The spectral function $X(f)$ of a harmonic oscillation $x(t) = A\cdot\text{cos}(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi)$ is known to consist of two Dirac functions at the frequencies
* $+f_{\rm T}$ with the complex weight $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
* $-f_{\rm T}$ with the complex weight $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Thus, the spectrum of the analytic signal (that is, without the Dirac function at the frequency $f =-f_{\rm T}$, but doubling at $f =+f_{\rm T}$):

:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
T}) .$$

The associated time function is obtained by applying the Displacement Law:

:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

This equation describes a pointer rotating at constant angular velocity $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$  Here the coordinate system is rotated by $90^\circ$ (real part up, imaginary part to the left) contrary to the usual representation.

[[File:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Pointer diagram of a harmonic oscillation]]

Based on this graphic, the following statements are possible:
* At time $t = 0$, the pointer of length $A$ (signal amplitude) lies with the angle $-\varphi$ in the complex plane. In the example shown, $\varphi=45^\circ$.
* For times $t>0$, the constant angular velocity vector $\omega_{\rm T}$ rotates in a mathematically positive direction, that is, counterclockwise.
* The tip of the pointer is thus always on a circle with radius $A$ and needs exactly the time $T_0$, i.e. the period of the harmonic oscillation $x(t)$ for one revolution.
* The projection of the analytic signal $x_+(t)$ on the real axis, marked by red dots, gives the instantaneous values of $x(t)$.}}
<br><br>

===Analytic Signal Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations===

In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
*The indices are based on the ''Double-sideband Amplitude Modulation'' method. &bdquo;T” stands for &bdquo;carrier”, &bdquo;U” for &bdquo;lower sideband” and &bdquo;O” for &bdquo;upper Sideband”.
*Accordingly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.

The associated analytic signal is:
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$ 
Shown the constellation arises i.e. in the [https://en.wikipedia.org/wiki/Sideband Double-sideband Amplitude Modulation] (with carrier) of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the Exercises.

There are some limitations to the program parameters in this approach:
* For the frequencies, it always applies $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$.

*Without distortions the amplitude of the sidebands are $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.

[[File:Zeigerdiagramm_5.png|center|frame|Spectrum $X_+(f)$ of the analytic signal for different phase constellations |class=fit]]}}

==Exercises==
[[File:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*First select the task number.
*A task description is displayed.
*Parameter values are adjusted.
*Solution after pressing &bdquo;Hide solition”.

The number &bdquo;0” will reset the program and output a text with further explanation of the applet.
<br clear=all>
In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Red$ the carrier   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
$\rm Blue$ the upper sideband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Consider and interpret the analytic signal $x_+(t)$ for $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, $A_{\rm U} = A_{\rm O} = 0$.

:Which signal values $x_+(t)$ result for $t = 0$, $t = 5 \ \rm µ s$ and $t = 20 \ \rm µ s$? What are the corresponding signal values for $x(t)$? }}

:: For a cosine signal, let $x_+(t= 0) = A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}$. Then $x_+(t)$ rotates in a mathematically positive direction (one revolution per period $T_0 = 1/f_{\rm T}$):

:: $x_+(t= 20 \ {\rm µ s}) = x_+(t= 0) = 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 20 \ {\rm µ s}) = 1.5\ \text{V,}$
:: $x_+(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm j} \cdot 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm Re}[x_+(t= 5 \ {\rm µ s})] = 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   How do the ratios change for $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.0\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 90^\circ$?}}

::The signal $x(t)$ is now a sine signal with a smaller amplitude. The analytic signal now starts because of $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ at $x_+(t= 0) = -{\rm j} \cdot A_{\rm T}$. <br>After that, $x_+(t)$ rotates again in a mathematically positive direction, but twice as fast because of $T_0 = 10 \ \rm µ s$ as in $\rm (1)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Now   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:Consider and interpret the physical signal $x(t)$ and the analytic signal $x_+(t)$.}}

::The Signal $x(t)$ results in the [https://en.wikipedia.org/wiki/Sideband Double-sideband Amplitude Modulation] (DSB–AM) of the message signal $A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$ with $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$, $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$. The carrier $x_{\rm T}(t)$ with $f_{\rm T} = 100\ \text{kHz}$ is also cosinusoidal. The degree of modulation is $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 0.8$ and the period $T_{\rm 0} = 50\ \text{µs}$.

::In the phase diagram, the (red) carrier rotates faster than the (green) lower sideband and slower than the (blue) upper sideband. The analytic signal $x_+(t)$ results as the geometric sum of the three rotating pointers. It seems that the blue pointer is leading the carrier and the green pointer is following the carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   The settings of task '''(3)''' still apply. Which signal values are obtained at $t=0$, $t=2.5 \ \rm µ s$, $t= 5 \ \rm µ s$ and $t=10 \ \rm µ s$? }}

::At time $t=0$, all pointers are in the direction of the real axis, so that $x(t=0) = {\rm Re}\big [x+(t= 0)\big] = A_{\rm U} + A_{\rm T} + A_{\rm O} = 1.8\ \text{V}$.

::Until the time $t=2.5 \ \rm µ s$, the red carrier has rotated by $90^\circ$, the blue one by $108^\circ$ and the green one by $72^\circ$. We have $x(t=2.5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 2.5 \ \rm µ s)\big] = 0$, because now the pointer group points in the direction of the imaginary axis. The other sought signal values are $x(t=5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 5 \ \rm µ s)\big] = -1.647\ \text{V}$ and $x(t=10 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 10 \ \rm µ s)\big] = 1.247\ \text{V}$.
::For $x_+(t)$ a spiral shape results, alternating with a smaller radius and then with a larger radius.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   How should the phase parameters $\varphi_{\rm T}$, $\varphi_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm O}$ be set if both the carrier $x_{\rm T}(t)$ and the message signal $x_{\rm N}(t)$ are sinusoidal?}}

::The parameter selection $\varphi_{\rm T} = \varphi_{\rm U} = \varphi_{\rm O}=90^\circ$ describes the signals $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \sin\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t\right)$ and $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$. If, in addition, the message $x_{\rm N}(t)$ is sinusoidal, then $\varphi_{\rm O}=\varphi_{\rm T} - 90^\circ = 0$ and $\varphi_{\rm U}=\varphi_{\rm T} + 90^\circ = 180^\circ$ must be set.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   The settings of task '''(3)''' apply except $A_{\rm T} = 0.6\ \text{V}$. Which modulation method is described here?

: What are the consequences of this? What changes with $A_{\rm T} = 0$? }}

::It is a [https://en.wikipedia.org/wiki/Sideband Double-sideband Amplitude Modulation] (DSB–AM with carrier) with the modulation degree $m=0.8/0.6 = 1.333$. For $m > 1$, however, [https://www.radio-electronics.com/info/rf-technology-design/am-reception/synchronous-demodulator-demodulation-detector.php Synchronous Demodulation] is required. [https://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_detector Envelope Detection] no longer works. One reason for this is that now the zero crossings of $x(t)$ are no longer equidistant from $5\ \rm µ s$   ⇒   additional phase modulation.

::With $A_{\rm T} = 0$   ⇒   $m \to \infty$ results in a [https://en.wikipedia.org/wiki/Double-sideband_suppressed-carrier_transmission ''DSB–AM without carrier'']. For this, one also needs coherent demodulation.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''     Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Which constellation is described here? Which figure is given for the equivalent low-pass signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   &bdquo;locus”? <br>What changes with $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$ and $A_{\rm O} = 0$?}}

::In both cases, it is a [https://en.wikipedia.org/wiki/Single-sideband_modulation Single-sideband Amplitude Modulation] (SSB–AM) with the modulation degree $\mu = 0.8$ (in SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal is sinusoidal. The equivalent low-pass signal $x_{\rm TP}(t)$ has a circular course in the complex plane.

:: $A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm U} = 0$ is an OSB modulation. The green pointer is missing and the blue pointer rotates faster compared to the red carrier.

:: $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm O} = 0$ is a USB modulation. The blue pointer is missing and the green pointer rotates slower compared to the red carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Now  $\text{Red:} \hspace{0.05cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.05cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.05cm} A_{\rm O} = 0.2\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = +90^\circ$.

:Which constellation could be described here? Which shape results for the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$?}}

::It could be a DSB–AM of a sinusoidal signal with cosinusoidal carrier and modulation degree $m=0.8$, in which the upper sideband is attenuated by a factor of 2. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ has an elliptical trace in the complex plane.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Zeigerdiagramm_abzug.png|right|Screenshot]]

* The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ and the red pointer mark the ''Carrier'' <br>(German:   '''T'''räger).
* The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ mark the ''Lower sideband'' <br>(German:  '''U'''nteres Seitenband).
* The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ mark the ''Upper sideband'' <br>(German:  '''O'''beres Seitenband).
*All pointers rotate in a mathematically positive direction (counterclockwise).

Meaning of the letters in the adjacent graphic:

    '''(A)'''     Plot of the analytic signal $x_{\rm +}(t)$

    '''(B)'''     Plot of the physical signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parameter input via slider: amplitudes, frequencies, phase values

    '''(D)'''     Control elements:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Speed of animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Values: 1, 2, 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   On or Off, trace of complex signal values $x_{\rm +}(t)$

    '''(G)'''     Numerical output of the time $t$ and the signal values  ${\rm Re}[x_{\rm +}(t)] = x(t)$  and  ${\rm Im}[x_{\rm +}(t)]$

    '''(H)'''     Variations for the graphical representation

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Functions &bdquo;$+$” (Enlarge), &bdquo;$-$” (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)

$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$” (Section to the left, ordinate to the right), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” and &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Experiment section:  Task selection and task

    '''(J)'''     Experiment section:  solution

In all applets top right:    Changeable graphical interface design   ⇒   '''Theme''':
* Dark:   black background  (recommended by the authors).
* Bright:   white background  (recommended for beamers and printouts)
* Deuteranopia:   for users with pronounced green–visual impairment
* Protanopia:   for users with pronounced red–visual impairment
<br clear=all>

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home//startseite Institute for Communications Engineering]  of the  [https://www.tum.de/ Technical University of Munich] .
*The original version was created in 2005 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]  as part of her Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript”  (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]  as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|physAnSignal_en}}

Applets:PDF, CDF and Moments of Special Distributions

2021-04-01T13:51:46Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|wdf-vtf_en|wdf-vtf}}

==Applet Description==
<br>
Das Applet stellt die Beschreibungsformen zweier wertkoninuierlicher Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$  vergleichend gegenüber, wobei für die rote Zufallsgröße  $X$  und die blaue Zufallsgröße  $Y$  jeweils folgende Grundformen zur Auswahl stehen:

* Gaußverteilung, Gleichverteilung, Dreieckverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, Riceverteilung, Weibullverteilung, Wigner–Halbkreisverteilung, Wigner–Parabelverteilung, Cauchyverteilung.

Die folgenden Angaben beziehen sich auf die Zufallsgrößen  $X$. Graphisch dargestellt werden
* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  (oben) und
* die Verteilungsfunktion  $F_{X}(x)$  (unten).

Zusätzlich werden noch einige integrale Kenngrößen ausgegeben, nämlich
*der lineare Mittelwert  $m_X = {\rm E}\big[X \big]$,
*der quadratische Mittelwert  $P_X ={\rm E}\big[X^2 \big] $,
*die Varianz  $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$,
*die Standardabweichung (oder Streuung)  $\sigma_X$,
*die Charliersche Schiefe  $S_X$,
*die Kurtosis  $K_X$.

==Definition and Properties of the Presented Descriptive Variables==
<br>
In diesem Applet betrachten wir ausschließlich ''(wert–)kontinuierliche Zufallsgrößen'', also solche, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind.
*Der Wertebereich dieser Zufallsgrößen ist somit im allgemeinen der der reellen Zahlen  $(-\infty \le X \le +\infty)$.
*Es ist aber möglich, dass der Wertebereich auf ein Intervall begrenzt ist:  $x_{\rm min} \le X \le +x_{\rm max}$.
<br><br>

===Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)===
Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  sind die Wahrscheinlichkeiten, dass  $X$  ganz bestimmte Werte  $x$  annimmt, identisch Null:  ${\rm Pr}(X= x) \equiv 0$.  Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die  ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''  – abgekürzt  $\rm WDF$  – übergegangen werden.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Der Wert der  '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  $f_{X}(x)$  an der Stelle  $x$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Momentanwert der Zufallsgröße  $X$  in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite  $Δx$  um  $x$  liegt, dividiert durch  $Δx$:

:$$f_X(x) = \lim_{ {\rm \Delta} x \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} \frac{ {\rm Pr} \big [x - {\rm \Delta} x/2 \le X \le x +{\rm \Delta} x/2 \big ] }{ {\rm \Delta} x}.$$

Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist  ''Probability Density Function''  (PDF). }}

Die WDF weist folgende Eigenschaften auf:

*Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:
:$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = \int_{x_{\rm u}}^{x_{\rm o}} f_{X}(x) \ {\rm d}x.$$
*Als wichtige Normierungseigenschaft ergibt sich daraus für die Fläche unter der WDF mit den Grenzübergängen  $x_{\rm u} → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞$  und  $x_{\rm o} → +∞$:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) \ {\rm d}x = 1.$$
<br>

===Verteilungsfunktion (VTF)===

Die  ''Verteilungsfunktion''  – abgekürzt  $\rm VTF$  – liefert die gleiche Information über die Zufallsgröße  $X$  wie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Verteilungsfunktion'''  $F_{X}(x)$  entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert  $x$  ist:
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}( X \le x).$$

Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist  ''Cumulative Distribution Function''  (CDF). }}

Die VTF weist folgende Eigenschaften auf:

*Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  durch Integration berechenbar. Es gilt:
:$$F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
*Da die WDF nie negativ ist, steigt  $F_{X}(x)$  zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten
:$$F_{X}(x → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(x → +∞) = 1.$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:
:$$f_{X}(x)=\frac{{\rm d} F_{X}(\xi)}{{\rm d}\xi}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}x=\xi}.$$
*Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:
:$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = F_{X}(x_{\rm o}) - F_{X}(x_{\rm u}).$$
<br>

===Erwartungswerte und Momente===
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere Informationen in Form einzelner Zahlenwerte liefern die so genannten  ''Erwartungswerte''  und  ''Momente.''

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Der  '''Erwartungswert'''  bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion  $g(x)$  kann mit der WDF  $f_{\rm X}(x)$  in folgender Weise berechnet werden:
:$${\rm E}\big[g (X ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x) \,{\rm d}x.$$
Setzt man in diese Gleichung für  $g(x) = x^k$  ein, so erhält man das  '''Moment $k$-ter Ordnung''':
:$$m_k = {\rm E}\big[X^k \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{X} (x ) \, {\rm d}x.$$}}

Aus dieser Gleichung erhält man
*mit  $k = 1$  für den  '''linearen Mittelwert''':
:$$m_1 = {\rm E}\big[X \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{X} (x ) \,{\rm d}x,$$
*mit  $k = 2$  für den  '''quadratischen Mittelwert''':
:$$m_2 = {\rm E}\big[X^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ X} (x) \,{\rm d}x.$$

In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:
* $m_1$  gibt den  ''Gleichanteil''  an;    bezüglich der Zufallsgröße  $X$  schreiben wir im Folgenden auch  $m_X$.
* $m_2$  entspricht der  (auf den Einheitswiderstand  $1 \ Ω$  bezogenen) ''Signalleistung''  $P_X$.

Bezeichnet  $X$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen  $m_X$  die Einheit  ${\rm V}$  und die Leistung  $P_X$  die Einheit  ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$ angeben, so muss  $P_X$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.
<br>

===Zentralmomente===

Besondere Bedeutung haben in der Statistik allgemein die so genannten  ''Zentralmomente'', von denen viele Kenngrößen abgeleitet werden,

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Zentralmomente'''  sind im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert  $m_1$  bezogen. Für diese gilt mit  $k = 1, \ 2,$ ...:

:$$\mu_k = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$}}

*Bei mittelwertfreien Zufallsgrößen stimmen die zentrierten Momente  $\mu_k$  mit den nichtzentrierten Momente  $m_k$  überein.

*Das Zentralmoment erster Ordnung ist definitionsgemäß gleich  $\mu_1 = 0$.

* Die nichtzentrierten Momente  $m_k$  und die Zentralmomente  $\mu_k$  können direkt ineinander umgerechnet werden.  Mit  $m_0 = 1$  und  $\mu_0 = 1$  gilt dabei:
:$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa},$$
:$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$
<br>
===Some Frequently Used Central Moments===

Aus der letzten Definition können folgende statistische Kenngrößen abgeleitet werden:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Varianz'''  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  ist das Zentralmoment zweiter Ordnung:
:$$\mu_2 = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^2\big] = \sigma_X^2.$$
*Die Varianz  $σ_X^2$  entspricht physikalisch der &bdquo;Wechselleistung” und die  '''Streung'''  $σ_X$  (oder auch  ''Standardabweichung'') gibt den &bdquo;Effektivwert” an.
*Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem  ''Satz von Steiner''  in folgender Weise berechenbar:  $\sigma_X^{2} = {\rm E}\big[X^2 \big] - {\rm E}^2\big[X \big].$}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Charliersche Schiefe'''  $S_X$  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet das auf $σ_X^3$ bezogene dritte Zentralmoment.
*Bei symmetrischer Dichtefunktion ist die Kenngröße  $S_X$  sets Null.
*Je größer  $S_X = \mu_3/σ_X^3$  ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert  $m_X$.
*Beispielsweise ergibt sich für die Exponentialverteilung die Schiefe  $S_X =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter  $λ$.}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Als  '''Kurtosis'''  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet man den Quotienten  $K_X = \mu_4/σ_X^4$    $(\mu_4:$  Zentralmoment vierter Ordnung$)$.
*Bei einer gaußverteilten Zufallsgröße ergibt sich hierfür immer der Wert  $K_X = 3$.
*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist oder zumindest durch eine Gaußverteilung approximiert werden kann. }}

==Compilation of some Continuous–Value Random Variables==
<br>
Das Applet berücksichtigt folgende Verteilungen: 

:Gaußverteilung, Gleichverteilung, Dreieckverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, <br>Riceverteilung, Weibullverteilung, Wigner–Halbkreisverteilung, Wigner–Parabelverteilung, Cauchyverteilung.

Einige von diesen sollen hier detailliert beschrieben werden.

===Gaußverteilte Zufallsgrößen===

[[File:Gauss_WDF_VTF.png |right|frame|Gaußsche Zufallsgröße:  WDF und VTF]]
'''(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''   $($achsensymmetrisch um  $m_X)$
:$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$
WDF–Parameter: 
*$m_X$  (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
*$σ_X$  (Streuung bzw. Effektivwert).

'''(2)    Verteilungsfunktion'''   $($punktsymmetrisch um  $m_X)$
:$$F_X(x)= \phi(\frac{\it x-m_X}{\sigma_X})\hspace{0.5cm}\rm mit\hspace{0.5cm}\rm \phi (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\it \pi}}\int_{-\rm\infty}^{\it x} \rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,\, d \it u.$$

$ϕ(x)$:   Gaußsches Fehlerintegral (nicht analytisch berechenbar, muss aus Tabellen entnommen werden).

'''(3)    Zentralmomente'''
:$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \ 3\cdot 1\cdot\sigma_X^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.2cm}\it k\hspace{0.2cm}\rm gerade).$$
*Charliersche Schiefe  $S_X = 0$,  da  $\mu_3 = 0$  $($WDF ist symmetrisch um  $m_X)$.
*Kurtosis  $K_X = 3$,  da  $\mu_4 = 3 \cdot \sigma_X^2$  ⇒   $K_X = 3$  ergibt sich nur für die Gauß–WDF.

'''(4)    Weitere Bemerkungen'''
*Die Namensgebung geht auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß zurück.
*Ist  $m_X = 0$  und  $σ_X = 1$, so spricht man oft auch von der  ''Normalverteilung''.

*Die Streuung kann aus der glockenförmigen WDF $f_{X}(x)$ auch grafisch ermittelt werden  (als Abstand von Maximalwert und Wendepunkt).
*Zufallsgrößen mit Gaußscher WDF sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen und auch für die Nachrichtentechnik von großer Bedeutung.
*Die Summe vieler kleiner und unabhängiger Komponenten führt stets zur Gauß–WDF   ⇒   Zentraler Grenzwertsatz der Statistik   ⇒   Grundlage für Rauschprozesse.
*Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.

[[File:Gauss_Signal.png|right|frame| Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals  $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße  $X$  aufgefasst werden kann. Aus der rechts dargestellten WDF erkennt man:
* Es liegt eine Gaußsche Zufallsgröße vor.
*Momentanwerte um den Mittelwert  $m_X$  treten am häufigsten auf.
*Wenn zwischen den Abtastwerten  $x_ν$  der Folge keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als ''„Weißes Rauschen”.''}}

===Gleichverteilte Zufallsgrößen===

[[File:Rechteck_WDF_VTF.png|right|frame|Gleichverteilung:  WDF und VTF]]
'''(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''

*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)  $f_{X}(x)$  ist im Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  konstant gleich  $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$  und außerhalb Null.
*An den Bereichsgrenzen ist für  $f_{X}(x)$  jeweils nur der halbe Wert  (Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert)  zu setzen.

'''(2)    Verteilungsfunktion'''

*Die Verteilungsfunktion (VTF) steigt im Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  linear von Null auf  $1$  linear an.

'''(3)    Momente und Zentralmomente'''
*Mittelwert und Streuung haben bei der Gleichverteilung die folgenden Werte:
:$$m_X = \frac{\it x_ {\rm max} \rm + \it x_{\rm min}}{2},\hspace{0.5cm}
\sigma_X^2 = \frac{(\it x_{\rm max} - \it x_{\rm min}\rm )^2}{12}.$$
*Bei symmetrischer WDF   ⇒   $x_{\rm min} = -x_{\rm max}$  ist der Mittelwert  $m_X = 0$  und die Varianz  $σ_X^2 = x_{\rm max}^2/3.$
*Aufgrund der Symmetrie um den Mittelwert  $m_X$  ist die Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.
*Die Kurtosis ist mit   $K_X = 1.8$  deutlich kleiner als bei der Gaußverteilung, weil die WDF–Ausläufer fehlen.

'''(4)    Weitere Bemerkungen'''

*Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei  ''Quadratur–Amplitudenmodulationsverfahren''  (QAM) auftreten.

*Die Bedeutung gleichverteilter Zufallsgrößen für die Informations– und Kommunikationstechnik liegt eher darin, dass diese WDF–Form aus Sicht der Informationstheorie unter der Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung” ein Optimum bezüglich der differentiellen Entropie darstellt.

*In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird häufig mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem ''natürlichen Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.

*Bei der Simulation nachrichtentechnischer Systeme verwendet man häufig auf der Gleichverteilung basierende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren” (die relativ einfach zu realisieren sind), woraus sich andere Verteilungen  (Gaußverteilung, Exponentialverteilung, etc.)  leicht ableiten lassen.

===Exponentialverteilte Zufallsgrößen===

'''(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''
[[File:Exponential_WDF_VTF.png|right|frame|Exponentialverteilung:  WDF und VTF]]

Eine exponentialverteilte Zufallsgröße  $X$  kann nur nicht–negative Werte annehmen. Für  $x>0$  hat die WDF den folgenden Verlauf hat:
:$$f_X(x)=\it \lambda_X\cdot\rm e^{\it -\lambda_X \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$
*Je größer der Verteilungsparameter  $λ_X$  ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
*Definitionsgemäß gilt  $f_{X}(0) = λ_X/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert  $(0)$  und rechtsseitigem Grenzwert  $(\lambda_X)$.

'''(2)    Verteilungsfunktion'''

Durch Integration über die WDF erhält man für  $x > 0$:
:$$F_{X}(x)=1-\rm e^{\it -\lambda_X\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$

'''(3)    Momente und Zentralmomente'''

*Die  ''Momente''  der (einseitigen) Exponentialverteilung sind allgemein gleich:
:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k}.$$
*Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für Mittelwert und Streuung:
:$$m_X = m_1=\frac{1}{\lambda_X},\hspace{0.6cm}\sigma_X^2={m_2-m_1^2}={\frac{2}{\lambda_X^2}-\frac{1}{\lambda_X^2}}=\frac{1}{\lambda_X^2}.$$
*Die WDF ist hier deutlich unsymmetrisch. Für die Charliersche Schiefe ergibt sich  $S_X = 2$.
*Die Kurtosis ist mit   $K_X = 9$  deutlich größer als bei der Gaußverteilung, weil die WDF–Ausläufer sehr viel weiter reichen.

'''(4)    Weitere Bemerkungen'''

*Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen; in diesem Zusammenhang ist auch der Begriff &bdquo;Lebensdauerverteilung” üblich.
*Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit  $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
*Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der Laplaceverteilung in Zusammenhang steht.

===Laplaceverteilte Zufallsgrößen===

[[File:Laplace_WDF_VTF.png|right|frame|Laplaceverteiung:  WDF und VTF]]
'''(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''

Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine &bdquo;zweiseitige Exponentialverteilung”:

:$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$

* Der Maximalwert ist hier  $\lambda_X/2$.
*Die Tangente bei  $x=0$  schneidet die Abszisse wie bei der Exponentialverteilung bei  $1/\lambda_X$.

'''(2)    Verteilungsfunktion'''

:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(x) = 0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.5cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$

'''(3)    Momente und Zentralmomente'''

* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_X =m_1 = 0$.

* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Laplaceverteilung und Exponentialverteilung überein:  $m_k = {k!}/{\lambda^k}$.

* Für die Varianz  $(=$ Zentralmoment zweiter Ordnung $=$ Moment zweiter Ordnung$)$  gilt:  $\sigma_X^2 = {2}/{\lambda_X^2}$   ⇒   doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung.

*Für die Charliersche Schiefe ergibt sich hier aufgrund der symmetrischen WDF   $S_X = 0$.

*Die Kurtosis ist mit  $K_X = 6$  deutlich größer als bei der Gaußverteilung, aber kleiner als bei der Exponentialverteilung.

'''(4)    Weitere Bemerkungen'''

*Die Momentanwerte von Sprach– und Musiksignalen sind mit guter Näherung laplaceverteilt. <br>Siehe Lernvideo  [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]],  Teil 2.
*Durch eine zusätzliche Diracfunktion bei  $x=0$  lassen sich auch Sprachpausen modellieren.
<br><br>
===Kurzbeschreibung weiterer Verteilungen===
<br>
$\text{(A) Rayleighverteilung}$     [[Mobile_Communications/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh–Fadings|Genauere Beschreibung]]

*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_X(x) =
\left\{ \begin{array}{c} x/\lambda_X^2 \cdot {\rm e}^{- x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \lambda_X^2)} \\
0 \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} x\hspace{-0.05cm} \ge \hspace{-0.05cm}0,
\\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} x \hspace{-0.05cm}<\hspace{-0.05cm} 0. \\ \end{array}.$$
*Anwendung:     Modellierung des Mobilfunkkanals (nichtfrequenzselektives Fading, nur Dämpfungs–, Beugungs– und Brechungseffekte, keine Sichtverbindung).

$\text{(B) Riceverteilung}$     [[Mobile_Communications/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente|Genauere Beschreibung]]

*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $(\rm I_0$  bezeichnet die modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung$)$:
:$$f_X(x) = \frac{x}{\lambda_X^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{x^2 + C_X^2}{2\cdot \lambda_X^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{x \cdot C_X}{\lambda_X^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
\hspace{0.05cm}.$$
*Anwendung:     Modellierung des Mobilfunkkanals (nichtfrequenzselektives Fading, nur Dämpfungs–, Beugungs– und Brechungseffekte, mit Sichtverbindung).

$\text{(C) Weibullverteilung}$     [[https://de.wikipedia.org/wiki/Weibull-Verteilung Genauere Beschreibung]]

*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_X(x) = \lambda_X \cdot k_X \cdot (\lambda_X \cdot x)^{k_X-1} \cdot {\rm e}^{(\lambda_X \cdot x)^{k_X}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Anwendung:     WDF mit einstellbarer Schiefe $S_X$; Exponentialverteilung  $(k_X = 1)$  und Rayleighverteilung  $(k_X = 2)$  als Sonderfälle enthalten.

$\text{(D) Wigner-Halbkreisverteilung}$     [[https://de.qwertyu.wiki/wiki/Wigner_semicircle_distribution Genauere Beschreibung]]

*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_X(x) =
\left\{ \begin{array}{c} 2/(\pi \cdot {R_X}^2) \cdot \sqrt{{R_X}^2 - (x- m_X)^2} \\
0 \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x- m_X|\hspace{-0.05cm} \le \hspace{-0.05cm}R_X,
\\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x- m_X| \hspace{-0.05cm} > \hspace{-0.05cm} R_X \\ \end{array}.$$
*Anwendung:     WDF der Tschebyscheff–Knoten   ⇒   Nullstellen der Tschebyscheff–Polynome aus der Numerik.

$\text{(E) Wigner-Parabelverteilung}$

*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_X(x) =
\left\{ \begin{array}{c} 3/(4 \cdot {R_X}^3) \cdot \big ({R_X}^2 - (x- m_X)^2\big ) \\
0 \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x|\hspace{-0.05cm} \le \hspace{-0.05cm}R_X,
\\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x| \hspace{-0.05cm} > \hspace{-0.05cm} R_X \\ \end{array}.$$
*Anwendung:     WDF der Eigenwerte von symmetrischen Zufallsmatrizen, deren Dimension gegen unendlich geht.

$\text{(F) Cauchyverteilung}$     [[Theory_of_Stochastic_Signals/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|Genauere Beschreibung]]

*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Verteilungsfunktion:
:$$f_{X}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda_X}{\lambda_X^2+x^2}, \hspace{2cm} F_{X}(x)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({x}/{\lambda_X}).$$
*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente  $m_k$  für gerades  $k$  einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter  $λ_X$.
*Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz:  $\sigma_X^2 \to \infty$.
*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades  $k$  alle Momente  $m_k = 0$, wenn man wie im Programm vom &bdquo;Cauchy Principal Value” ausgeht:  $m_X = 0, \ S_X = 0$.
*Beispiel:     Der Quotient zweier Gaußscher mittelwertfreier Zufallsgrößen ist cauchyverteilt. Für praktische Anwendungen hat die Cauchyverteilung weniger Bedeutung.

==Exercises==
<br>
*First, select the number  $(1,\ 2, \text{...} \ )$  of the task to be processed.  The number  "$0$"  corresponds to a  "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing  "Show Solution".
*In the following  $\text{Red}$  stands for the random variable  $X$  and  $\text{Blue}$  for  $Y$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(1)'''  Select  $\text{red: Gaussian PDF}\ (m_X = 1, \ \sigma_X = 0.4)$  and  $\text{blue: Rectangular PDF}\ (y_{\rm min} = -2, \ y_{\rm max} = +3)$.  Interpret the  $\rm PDF$  graph.}}

* $\text{Gaussian PDF}$:  The  $\rm PDF$ maximum is equal to  $f_{X}(x = m_X) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} = 0.9974 \approx 1$.
* $\text{Rectangular PDF}$:  All  $\rm PDF$ values are equal  $0.2$  in the range  $-2 < y < +3$.  At the edges  $f_Y(-2) = f_Y(+3)= 0.1$  (half value) holds.

{{BlueBox|TEXT=
'''(2)'''  Same setting as for  $(1)$.  What are the probabilities  ${\rm Pr}(X = 0)$,   ${\rm Pr}(0.5 \le X \le 1.5)$,   ${\rm Pr}(Y = 0)$   and  ${\rm Pr}(0.5 \le Y \le 1.5)$ .}}

* ${\rm Pr}(X = 0)={\rm Pr}(Y = 0) \equiv 0$   ⇒   Probability of a discrete random variable to take exactly a certain value.
* The other two probabilities can be obtained by integration over the PDF in the range  $+0.5\ \text{...} \ +\hspace{-0.1cm}1.5$.
* Or:  ${\rm Pr}(0.5 \le X \le 1.5)= F_X(1.5) - F_X(0.5) = 0.8944-0.1056 = 0.7888$. Correspondingly:  ${\rm Pr}(0.5 \le Y \le 1.5)= 0.7-0.5=0.2$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(3)'''  Same settings as before.  How must the standard deviation  $\sigma_X$  be changed so that with the same mean  $m_X$  it holds for the quadratic mean:  $P_X=2$ ?}}

* According to Steiner's theorem:  $P_X=m_X^2 + \sigma_X^2$   ⇒   $\sigma_X^2 = P_X-m_X^2 = 2 - 1^2 = 1 $   ⇒   $\sigma_X = 1$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(4)'''  Same settings as before:  How must the parameters  $y_{\rm min}$  and  $y_{\rm max}$  of the rectangular PDF be changed to yield  $m_Y = 0$  and  $\sigma_Y^2 = 0.75$?}}

* Starting from the previous setting  $(y_{\rm min} = -2, \ y_{\rm max} = +3)$  we change  $y_{\rm max}$ until  $\sigma_Y^2 = 0.75$  occurs   ⇒   $y_{\rm max} = 1$.
* The width of the rectangle is now  $3$.  The desired mean   $m_Y = 0$  is obtained by shifting:  $y_{\rm min} = -1.5, \ y_{\rm max} = +1.5$.
* You could also consider that for a mean-free random variable  $(y_{\rm min} = -y_{\rm max})$  the following equation holds:   $\sigma_Y^2 = y_{\rm max}^2/3$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(5)'''  For which of the adjustable distributions is the Charlier skewness  $S \ne 0$ ? }}

* The Charlier's skewness denotes the third central moment related to  $σ_X^3$   ⇒  $S_X = \mu_3/σ_X^3$  $($valid for the random variable  $X)$.
* If the PDF  $f_X(x)$  is symmetric around the mean  $m_X$  then the parameter  $S_X$  is always zero.
* Exponential distribution:  $S_X =2$;  Rayleigh distribution:  $S_X =0.631$   $($both independent of  $λ_X)$;   Rice distribution:  $S_X >0$  $($dependent of  $C_X, \ λ_X)$.
* With the Weibull distribution, the Charlier skewness  $S_X$  can be zero, positive or negative,  depending on the PDF parameter  $k_X$.
*  Weibull distribution,  $\lambda_X=0.4$:  With  $k_X = 1.5$  ⇒   PDF is curved to the left  $(S_X > 0)$;   $k_X = 7$  ⇒   PDF is curved to the right  $(S_X < 0)$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(6)'''  Select  $\text{Red: Gaussian PDF}\ (m_X = 1, \ \sigma_X = 0.4)$  and  $\text{Blue: Gaussian PDF}\ (m_X = 0, \ \sigma_X = 1)$.  What is the kurtosis in each case?}}

* For each Gaussian distribution the kurtosis has the same value:   $K_X = K_Y =3$.  Therefore,  $K-3$  is called "excess".
*This parameter can be used to check whether a given random variable can be approximated by a Gaussian distribution.

{{BlueBox|TEXT=
'''(7)'''  For which distributions does a significantly smaller kurtosis value result than  $K=3$?  And for which distributions does a significantly larger one?}}

* $K<3$  always results when the PDF values are more concentrated around the mean than in the Gaussian distribution.
* This is true, for example, for the uniform distribution  $(K=1.8)$  and for the triangular distribution  $(K=2.4)$.
* $K>3$,  if the PDF offshoots are more pronounced than for the Gaussian distribution.  Example:  Exponential PDF  $(K=9)$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(8)'''  Select  $\text{Red: Exponential PDF}\ (\lambda_X = 1)$  and  $\text{Blue: Laplace PDF}\ (\lambda_Y = 1)$.  Interpret the differences.}}

* The Laplace distribution is symmetric around its mean  $(S_Y=0, \ m_Y=0)$  unlike the exponential distribution  $(S_X=2, \ m_X=1)$.
* The even moments  $m_2, \ m_4, \ \text{...}$  are equal,  for example:  $P_X=P_Y=2$.  But not the variances:  $\sigma_X^2 =1, \ \sigma_Y^2 =2$.
* The probabilities  ${\rm Pr}(|X| < 2) = F_X(2) = 0.864$  and  ${\rm Pr}(|Y| < 2) = F_Y(2) - F_Y(-2)= 0.932 - 0.068 = 0.864$  are equal.
* In the Laplace PDF, the values are more tightly concentrated around the mean than in the exponential PDF:  $K_Y =6 < K_X = 9$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(9)'''  Select  $\text{Red: Rice PDF}\ (\lambda_X = 1, \ C_X = 1)$  and  $\text{Blue: Rayleigh PDF}\ (\lambda_Y = 1)$.  Interpret the differences.}}

*  With  $C_X = 0$  the Rice PDF transitions to the Rayleigh PDF.  A larger  $C_X$  improves the performance, e.g., in mobile communications.
*  Both, in  "Rayleigh"  and  "Rice"  the abscissa is the magnitude  $A$  of the received signal.  Favorably, if  ${\rm Pr}(A \le A_0)$  is small  $(A_0$  given$)$.
*  For  $C_X \ne 0$  and equal  $\lambda$  the Rice CDF is below the Rayleigh CDF   ⇒   smaller  ${\rm Pr}(A \le A_0)$  for all  $A_0$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(10)'''  Select  $\text{Red: Rice PDF}\ (\lambda_X = 0.6, \ C_X = 2)$.  By which distribution  $F_Y(y)$  can this Rice distribution be well approximated? }}

*  The kurtosis   $K_X = 2.9539 \approx 3$  indicates the Gaussian distribution.   Favorable parameters:  $m_Y = 2.1 > C_X, \ \ \sigma_Y = \lambda_X = 0.6$.
*  The larger tht quotient  $C_X/\lambda_X$  is, the better the Rice PDF is approximated by a Gaussian PDF.
*  For large   $C_X/\lambda_X$  the Rice PDF has no more similarity with the Rayleigh PDF.

{{BlueBox|TEXT=
'''(11)'''  Select  $\text{Red: Weibull PDF}\ (\lambda_X = 1, \ k_X = 1)$  and  $\text{Blue: Weibull PDF}\ (\lambda_Y = 1, \ k_Y = 2)$. Interpret the results. }}

*  The Weibull PDF  $f_X(x)$  is identical to the exponential PDF and  $f_Y(y)$  to the Rayleigh PDF.
*  However, after best fit, the parameters  $\lambda_{\rm Weibull} = 1$  and  $\lambda_{\rm Rayleigh} = 0.7$ differ.
*  Moreover, it holds  $f_X(x = 0) \to \infty$  for  $k_X < 1$.  However, this does not have the affect of infinite momenta.

{{BlueBox|TEXT=
'''(12)'''  Select  $\text{Red: Weibull PDF}\ (\lambda_X = 1, \ k_X = 1.6)$  and   $\text{Blue: Weibull PDF}\ (\lambda_Y = 1, \ k_Y = 5.6)$.  Interpret the Charlier skewness. }}

*  One observes:   For the PDF parameter  $k < k_*$  the Charlier skewness is positive and for  $k > k_*$  negative.  It is approximately  $k_* = 3.6$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(13)'''  Select  $\text{Red: Semicircle PDF}\ (m_X = 0, \ R_X = 1)$  and  $\text{Blue: Parabolic PDF}\ (m_Y = 0, \ R_Y = 1)$.  Vary the parameter  $R$  in each case. }}

*  The PDF in each case is mean-free and symmetric  $(S_X = S_Y =0)$  with  $\sigma_X^2 = 0.25, \ K_X = 2$  respectively,  $\sigma_Y^2 = 0.2, \ K_Y \approx 2.2$.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Bildschirm_WDF_VTF_neu.png|right|600px|frame|Screenshot of the German version]]
    '''(A)'''     Auswahl der Verteilung  $f_X(x)$  (rote Kurven und Ausgabewerte)

    '''(B)'''     Parametereingabe für die &bdquo;rote Verteilung” per Slider

    '''(C)'''     Auswahl der Verteilung  $f_Y(y)$  (blaue Kurven und Ausgabewerte)

    '''(D)'''     Parametereingabe für die &bdquo;rote Verteilung” per Slider

    '''(E)'''     Grafikbereich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)

    '''(F)'''     Grafikbereich für die Verteilungsfunktion (VTF)

    '''(G)'''     Numerikausgabe für die &bdquo;rote Verteilung”

    '''(H)'''     Numerikausgabe für die &bdquo;blaue Verteilung”

    '''( I )'''     Eingabe der Abszissenwerte  $x_*$  und  $y_*$  für die Numerik–Ausgaben

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
<br>

'''Auswahlmöglichkeiten''' für  $\rm A$  und  $\rm C$:  

Gaußverteilung,   Gleichverteilung,   Dreieckverteilung,   Exponentialverteilung,   Laplaceverteilung,   Rayleighverteilung,  Riceverteilung,   Weibullverteilung,   Wigner–Halbkreisverteilung,   Wigner–Parabelverteilung,   Cauchyverteilung.

Folgende '''integrale Kenngrößen''' werden ausgegeben  $($bzgl. $X)$:  

Linearer Mittelwert  $m_X = {\rm E}\big[X \big]$,   quadratischer Mittelwert  $P_X ={\rm E}\big[X^2 \big] $,   Varianz  $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$,   Standardabweichung (oder Streuung)  $\sigma_X$,  Charliersche Schiefe  $S_X$,   Kurtosis  $K_X$.

'''In all applets top right''':    Changeable graphical interface design   ⇒   '''Theme''':
* Dark:   black background  (recommended by the authors).
* Bright:   white background  (recommended for beamers and printouts)
* Deuteranopia:   for users with pronounced green–visual impairment
* Protanopia:   for users with pronounced red–visual impairment
<br clear=all>
==About the Authors==
<br>
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2005 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]]  as part of her diploma thesis with “FlashMX – Actionscript”  (Supervisor:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]  and  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).

*In 2019 the program was redesigned via HTML5/JavaScript by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Matthias_Niller_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.29|Matthias Niller]]  (Ingenieurspraxis Mathematik, Supervisor:  [[Benedikt Leible]]  and  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ).

*Last revision and English version 2021 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com (free version).

*The conversion of this applet was financially supported by  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ "Studienzuschüsse"]  (TUM Department of Electrical and Computer Engineering).  We thank.

==Once again: Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEnDe|wdf-vtf_en|wdf-vtf}}

Applets:Capacity of Memoryless Digital Channels

2021-03-31T12:09:39Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|transinformation_en|transinformation}}

==Applet Description==
<br>
In diesem Applet werden binäre  $(M=2)$  und ternäre  $(M=3)$  Kanalmodelle ohne Gedächtnis betrachtet mit jeweils  $M$  Eingängen  $X$  und  $M$  Ausgängen  $Y$.  Ein solches Nachrichtensystem ist durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$  und die Matrix  $P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.01cm}X}(Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} X)$  der Übergangswahrscheinlichkeiten vollständig bestimmt.

Für diese binären bzw. ternären Systeme werden folgende informationstheoretische Beschreibungsgrößen hergeleitet und verdeutlicht:
*die  ''Quellenentropie''   $H(X)$  und die  ''Sinkenentropie''   $H(Y)$,
*die  ''Äquivokation''   (&bdquo;Rückschlussentropie”)  $H(X|Y)$  und die   ''Irrelevanz'' (&bdquo;Streuentropie”)  $H(Y|X)$,
*die  ''Verbundentropie''   $H(XY)$  sowie die ''Transinformation''  (englisch:  ''Mutual Information'')  $I(X; Y)$,
*die  ''Kanalkapazität''   als die entscheidende Kenngröße digitaler Kanalmodelle ohne Gedächtnis:
:$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

Diese informationstheoretische Größen können sowohl in analytisch–geschlossener Form berechnet oder durch Auswertung von Quellen– und Sinkensymbolfolge simulativ ermittelt werden.

==Theoretical Background==
<br>
===Zugrunde liegendes Modell der Digitalsignalübertragung ===

Die Menge der möglichen  '''Quellensymbole'''  wird durch die diskrete Zufallsgröße  $X$  charakterisiert. 
*Im binären Fall   ⇒   $M_X= |X| = 2$  gilt  $X = \{\hspace{0.05cm}{\rm A}, \hspace{0.15cm} {\rm B} \hspace{0.05cm}\}$  mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion  $($englisch:  ''Probability Mass Function'',  $\rm PMF)$   $P_X(X)= \big (p_{\rm A},\hspace{0.15cm}p_{\rm B}\big)$  sowie den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B}=1- p_{\rm A}$.
*Entsprechend gilt für eine Ternärquelle  ⇒   $M_X= |X| = 3$:     $X = \{\hspace{0.05cm}{\rm A}, \hspace{0.15cm} {\rm B}, \hspace{0.15cm} {\rm C} \hspace{0.05cm}\}$,     $P_X(X)= \big (p_{\rm A},\hspace{0.15cm}p_{\rm B},\hspace{0.15cm}p_{\rm C}\big)$,     $p_{\rm C}=1- p_{\rm A}-p_{\rm B}$.

Die Menge der möglichen  '''Sinkensymbole'''  wird durch die diskrete Zufallsgröße  $Y$  charakterisiert.  Diese entstammen der gleichen Symbolmenge wie die Quellensymbole   ⇒   $M_Y=M_X = M$.  Zur Vereinfachung der nachfolgenden Beschreibung bezeichnen wir diese mit Kleinbuchstaben, zum Beispiel für  $M=3$:    $Y = \{\hspace{0.05cm}{\rm a}, \hspace{0.15cm} {\rm b}, \hspace{0.15cm} {\rm c} \hspace{0.05cm}\}$.

Der Zusammenhang zwischen den Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  ist durch ein  '''digitales Kanalmodell ohne Gedächtnis'''  $($englisch:  ''Discrete Memoryless Channel'',  $\rm DMC)$  festgelegt. Die linke Grafik zeigt dieses für  $M=2$  und die rechte Grafik für  $M=3$.

[[File:Transinf_1_neu.png|center|frame|Digitales Kanalmodell für  $M=2$  (links) und für  $M=3$  (rechts). <br>Bitte beachten Sie:  In der rechten Grafik sind nicht alle Übergänge beschriftet]]

Die folgende Beschreibung gilt für den einfacheren Fall  $M=2$.  Für die Berechnung aller informationstheoretischer Größen im nächsten Abschnitt benötigen wir außer  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  noch die zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $($jeweils eine  $2\times2$–Matrix$)$  aller
#  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]]   ⇒   $P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.01cm}X}(Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} X)$   ⇒   durch das DMC–Modell vorgegeben;
#  [[Information_Theory/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeit_und_Verbundentropie|Verbundwahrscheinlichkeiten]]  ⇒   $P_{XY}(X,\hspace{0.1cm}Y)$;
#  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#R.C3.BCckschlusswahrscheinlichkeit|Rückschlusswahrscheinlichkeiten]]   ⇒   $P_{\hspace{0.01cm}X\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm}Y}(X\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} Y)$.

[[File:Transinf_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Binärkanals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1}$:  Wir betrachten den skizzierten Binärkanal.
* Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien:

:$$\begin{align*}p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.95\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.05\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.60\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}X}(Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} X) =
\begin{pmatrix}
0.95 & 0.05\\
0.4 & 0.6
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

*Außerdem gehen wir von nicht gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen aus:

:$$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B} \big )=
\big ( 0.1,\ 0.9 \big )
\hspace{0.05cm}.$$

*Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Sinke ergibt sich somit:

:$$P_Y(Y) = \big [ {\rm Pr}( Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a})\hspace{0.05cm}, \ {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm b}) \big ] = \big ( 0.1\hspace{0.05cm},\ 0.9 \big ) \cdot
\begin{pmatrix}
0.95 & 0.05\\
0.4 & 0.6
\end{pmatrix} $$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm a}) =
0.1 \cdot 0.95 + 0.9 \cdot 0.4 = 0.455\hspace{0.05cm},\hspace{1.0cm}
{\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm b}) = 1 - {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm a}) = 0.545.$$

*Die Verbundwahrscheinlichkeiten  $p_{\mu \kappa} = \text{Pr}\big[(X = μ) ∩ (Y = κ)\big]$  zwischen Quelle und Sinke sind:

:$$\begin{align*}p_{\rm Aa} & = p_{\rm a} \cdot p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = 0.095\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm Ab} = p_{\rm b} \cdot p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = 0.005\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm Ba} & = p_{\rm a} \cdot p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = 0.360\hspace{0.05cm},
\hspace{0.5cm}p_{\rm Bb} = p_{\rm b} \cdot p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = 0.540\hspace{0.05cm}.
\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{XY}(X,\hspace{0.1cm}Y) =
\begin{pmatrix}
0.095 & 0.005\\
0.36 & 0.54
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

* Für die Rückschlusswahrscheinlichkeiten erhält man:

:$$\begin{align*}p_{\rm A\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}a} & = p_{\rm Aa}/p_{\rm a} = 0.095/0.455 = 0.2088\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm A\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}b} = p_{\rm Ab}/p_{\rm b} = 0.005/0.545 = 0.0092\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm B\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}a} & = p_{\rm Ba}/p_{\rm a} = 0.36/0.455 = 0.7912\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}b} = p_{\rm Bb}/p_{\rm b} = 0.54/0.545 = 0.9908\hspace{0.05cm}
\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}X\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}Y}(X\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} Y) =
\begin{pmatrix}
0.2088 & 0.0092\\
0.7912 & 0.9908
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ }}
<br clear=all><br><br>
===Definition und Interpretation verschiedener Entropiefunktionen ===

Im  [[Information_Theory/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|$\rm LNTwww$–Theorieteil]]  werden alle für 2D–Zufallsgrößen relevanten Entropien definiert, die auch für die Digitalsignalübertragung gelten.  Zudem finden Sie dort zwei Schaubilder, die den Zusammenhang zwischen den einzelnen Entropien illustrieren. 
*Für die Digitalsignalübertragung ist die rechte Darstellung zweckmäßig, bei der die Richtung von der Quelle  $X$  zur Sinke  $Y$  erkennbar ist. 
*Wir interpretieren nun ausgehend von dieser Grafik die einzelnen informationstheoretischen Größen.

[[File:P_ID2781__Inf_T_3_3_S2.png|center|frame|Zwei informationstheoretische Modelle für die Digitalsignalübertragung.
<br>Bitte beachten Sie:  In der rechten Grafik ist  $H_{XY}$  nicht darstellbar]]

*Die  '''Quellenentropie'''  (englisch:  ''Source Entropy'' )  $H(X)$  bezeichnet den mittleren Informationsgehalt der Quellensymbolfolge.  Mit dem Symbolumfang  $|X|$  gilt:

:$$H(X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.1cm}
= -{\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_X(X)}\big ] \hspace{0.2cm}
=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|}
P_X(x_{\mu}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_X(x_{\mu})} \hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Äquivokation'''  (auch  ''Rückschlussentropie'' genannt, englisch:  ''Equivocation'' )  $H(X|Y)$  gibt den mittleren Informationsgehalt an, den ein Betrachter, der über die Sinke  $Y$  genau Bescheid weiß, durch Beobachtung der Quelle  $X$  gewinnt:

:$$H(X|Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}X\hspace{-0.01cm}|\hspace{-0.01cm}Y}(X\hspace{-0.01cm} |\hspace{0.03cm} Y)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|}
P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}X\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.03cm}Y}
(\hspace{0.05cm}x_{\mu}\hspace{0.03cm} |\hspace{0.05cm} y_{\kappa})}
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Äquivokation ist der Anteil der Quellenentropie  $H(X)$, der durch Kanalstörungen  (bei digitalem Kanal:  Übertragungsfehler)  verloren geht.  Es verbleibt die  '''Transinformation'''  (englisch:  ''Mutual Information'')  $I(X; Y)$, die zur Sinke gelangt:

:$$I(X;Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(X, Y)}{P_X(X) \cdot P_Y(Y)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|}
P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa})}{P_{\hspace{0.05cm}X}(\hspace{0.05cm}x_{\mu}) \cdot P_{\hspace{0.05cm}Y}(\hspace{0.05cm}y_{\kappa})}
\hspace{0.05cm} = H(X) - H(X|Y) \hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Irrelevanz'''  (manchmal auch  ''Streuentropie''  genannt, englisch:  ''Irrelevance'')  $H(Y|X)$  gibt den mittleren Informationsgehalt an, den ein Betrachter, der über die Quelle  $X$  genau Bescheid weiß, durch Beobachtung der Sinke  $Y$  gewinnt:

:$$H(Y|X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{-0.01cm}X}(Y\hspace{-0.01cm} |\hspace{0.03cm} X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|}
P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.03cm}X}
(\hspace{0.05cm}y_{\kappa}\hspace{0.03cm} |\hspace{0.05cm} x_{\mu})}
\hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Sinkenentropie'''  $H(Y)$, der mittlere Informationsgehalt der Sinke, ist die Summe aus der nützlichen Transinformation  $I(X; Y)$  und der Irrelevanz  $H(Y|X)$, die ausschließlich von Kanalfehlern herrührt:

:$$H(Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_Y(Y)}\right ] \hspace{0.1cm}
= -{\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_Y(Y)}\big ] \hspace{0.2cm} =I(X;Y) + H(Y|X)
\hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Verbundentropie'''  $H(XY)$  gibt ist den mittleren Informationsgehalt der 2D–Zufallsgröße  $XY$ an.&nbsp sie beschreibt zudem eine obere Schranke für die Summe aus Quellenentropie und Sinkenentropie:

:$$H(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(X, Y)}\right ] = \sum_{\mu = 1}^{|X|} \hspace{0.1cm} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|} \hspace{0.1cm}
P_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\kappa}) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\kappa})}\le H(X) + H(Y) \hspace{0.05cm}.$$

[[File:Transinf_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Binärkanals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2}$:  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für das  [[Applets:Capacity_of_Memoryless_Digital_Channels#Zugrunde_liegendes_Modell_der_Digitalsignal.C3.BCbertragung|$\text{Beispiel 1}$]]: 

'''(1)'''  Die Quellensymbole sind nicht gleichwahrscheinlich:
:$$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B} \big )=
\big ( 0.1,\ 0.9 \big )
\hspace{0.05cm}.$$
'''(2)'''  Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien:
:$$\begin{align*}p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.95\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.05\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.60\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}X}(Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} X) =
\begin{pmatrix}
0.95 & 0.05\\
0.4 & 0.6
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

[[File:Inf_T_1_1_S4_vers2.png|frame|Binäre Entropiefunktion als Funktion von  $p$|right]]
*Wegen Voraussetzung  '''(1)'''  erhält man so für die Quellenentropie mit der  [[Information_Theory/Gedächtnislose_Nachrichtenquellen#Bin.C3.A4re_Entropiefunktion|binären Entropiefunktion]]  $H_{\rm bin}(p)$: 

:$$H(X) = p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm A}\hspace{0.1cm} } + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm B} }= H_{\rm bin} (p_{\rm A}) = H_{\rm bin} (0.1)= 0.469 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm};$$

::$$H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm} } + (1 - p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

* Entsprechend gilt für die Sinkenentropie mit der PMF  $P_Y(Y) = \big ( p_{\rm a},\ p_{\rm b} \big )=
\big ( 0.455,\ 0.545 \big )$:
:$$H(Y) = H_{\rm bin} (0.455)= 0.994 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$
*Als nächstes berechnen wir die Verbundentropie:
:$$H(XY) = p_{\rm Aa} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Aa}\hspace{0.1cm} }+ p_{\rm Ab} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ab}\hspace{0.1cm} }+p_{\rm Ba} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ba}\hspace{0.1cm} }+ p_{\rm Bb} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Bb}\hspace{0.1cm} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(XY) = 0.095 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.095 } +0.005 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.005 }+0.36 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.36 }+0.54 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.54 }= 1.371 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend dem oberen linken Schaubild sind somit auch die restlichen informationstheoretischen Größen berechenbar:
[[File:Transinf_4.png|right|frame|Informationstheoretisches Modell für  $\text{Beispiel 2}$]]

*die  '''Äquivokation'''  (oder Rückschlussentropie):

:$$H(X \vert Y) \hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} H(XY) \hspace{-0.01cm} -\hspace{-0.01cm} H(Y) \hspace{-0.01cm} = \hspace{-0.01cm} 1.371\hspace{-0.01cm} -\hspace{-0.01cm} 0.994\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} 0.377\ {\rm bit}
\hspace{0.05cm},$$

*die '''Irrelevanz'''  (oder Streuentropie):

:$$H(Y \vert X) = H(XY) - H(X) = 1.371 - 0.994 = 0.902\ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$

*die  '''Transinformation'''  (englisch  ''Mutual Information''):

:$$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY) = 0.469 + 0.994 - 1.371 = 0.092\ {\rm bit}
\hspace{0.05cm},$$

Die Ergebnisse sind in nebenstehender Grafik zusammengefasst.

''Anmerkung'':  Äquivokation und Irrelevanz könnte man (allerdings mit Mehraufwand) auch direkt aus den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen berechnen, zum Beispiel:

:$$H(Y \vert X) = \hspace{-0.2cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}XY} \hspace{-0.2cm} P_{XY}(x,\hspace{0.05cm}y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}\vert \hspace{0.03cm}X}
(\hspace{0.05cm}y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.05cm} x)}= p_{\rm Aa} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} } +
p_{\rm Ab} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} } +
p_{\rm Ba} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} } +
p_{\rm Bb} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} } = 0.902 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$}}

[[File:Transinf_3.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Ternärkanals:<br>Rote Übergänge stehen für  $p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = p_{\rm c\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}C} = q$  und blaue für  $p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = p_{\rm c\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} =\text{...}= p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}C}= (1-q)/2$]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3}$:  Nun betrachten wir ein Übertragungssystem mit  $M_X = M_Y = M=3$. 

'''(1)'''  Die Quellensymbole seien gleichwahrscheinlich:
:$$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B},\ p_{\rm C} \big )=
\big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )\hspace{0.30cm}\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(X)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3 \approx 1.585 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$
'''(2)'''  Das Kanalmodell ist symmetrisch   ⇒   auch die Sinkensymbole sind gleichwahrscheinlich:
:$$P_Y(Y) = \big ( p_{\rm a},\ p_{\rm b},\ p_{\rm c} \big )=
\big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )\hspace{0.30cm}\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(Y)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3 \approx 1.585 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$
'''(3)'''  Die Verbundwahrscheinlichkeiten ergeben sich wie folgt:
:$$p_{\rm Aa}= p_{\rm Bb}= p_{\rm Cc}= q/M,$$
:$$p_{\rm Ab}= p_{\rm Ac}= p_{\rm Ba}= p_{\rm Bc} = p_{\rm Ca}= p_{\rm Cb} = (1-q)/(2M)$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(XY) = 3 \cdot p_{\rm Aa} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Aa}\hspace{0.1cm} }+6 \cdot p_{\rm Ab} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ab}\hspace{0.1cm} }= \
\text{...} \ = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{M}{q }+ (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{M}{(1-q)/2 }.$$
[[File:Transinf_10.png|right|frame|Einige Ergebnisse zum  $\text{Beispiel 3}$]]
'''(4)'''  Für die Transinformation erhält man nach einigen Umformungen unter Berücksichtigung der Gleichung 
:$$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY)\text{:}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = {\rm log_2}\ (M) - (1-q) -H_{\rm bin}(q).$$
* Bei fehlerfreier Ternärübertragung  $(q=1)$  gilt  $I(X;Y) = H(X) = H(Y)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3$.
* Mit  $q=0.8$  sinkt die Transinformaion schon auf  $I(X;Y) = 0.663$  und mit  $q=0.5$  auf  $0.085$  bit.
*Der ungünstigste Fall aus informationstheoretischer Sicht ist  $q=1/3$  ⇒   $I(X;Y) = 0$.
*Dagegen ist der aus der aus Sicht der Übertragungstheorie ungünstigste Fall  $q=0$  ⇒   &bdquo;kein einziges Übertragungssymbol kommt richtig an”  aus informationstheoretischer Sicht gar nicht so schlecht.
* Um dieses gute Ergebnis nutzen zu können, ist allerdings sendeseitig eine Kanalcodierung erforderlich. }}
<br><br>
===Definition und Bedeutung der Kanalkapazität ===

Berechnet man die Transinformation  $I(X, Y)$  wie zuletzt im  $\text{Beispiel 2}$  ausgeführt,  so hängt diese nicht nur vom diskreten gedächtnislosen Kanal  (englisch:  ''Discrete Memoryless Channel'',  kurz DMC)  ab, sondern auch von der Quellenstatistik   ⇒   $P_X(X)$  ab.  Ergo:   '''Die Transinformation'''  $I(X, Y)$ ''' ist keine reine Kanalkenngröße'''.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  eingeführte  '''Kanalkapazität'''  (englisch:  ''Channel Capacity'')  lautet gemäß seinem Standardwerk  [Sha48]<ref name = ''Sha48''>Shannon, C.E.: ''A Mathematical Theory of Communication''. In: Bell Syst. Techn. J. 27 (1948), S. 379-423 und S. 623-656.</ref>:

:$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

Oft wird die Zusatzeinheit „bit/Kanalzugriff” hinzugefügt,  bei englischen Texten „bit/use”.  Da nach dieser Definition stets die bestmögliche Quellenstatistik zugrunde liegt,  hängt  $C$  nur von den Kanaleigenschaften   ⇒   $P_{Y \vert X}(Y \vert X)$ ab,  nicht jedoch von der Quellenstatistik   ⇒   $P_X(X)$.  }}

Shannon benötigte die Kanalbeschreibungsgröße  $C$  zur Formulierung des Kanalcodierungstheorems – eines der Highlights der von ihm begründeten Informationstheorie.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Shannons Kanalcodierungstheorem:}$ 
*Zu jedem Übertragungskanal mit der Kanalkapazität  $C > 0$  existiert (mindestens) ein  $(k,\ n)$–Blockcode,  dessen (Block–)Fehlerwahrscheinlichkeit gegen Null geht,  so lange die Coderate  $R = k/n$  kleiner oder gleich der Kanalkapazität ist:   $R ≤ C.$
* Voraussetzung hierfür ist allerdings,  dass für die Blocklänge dieses Codes gilt:   $n → ∞.$

$\text{Umkehrschluss von Shannons Kanalcodierungstheorem:}$ 

Ist die Rate  $R$  des verwendeten  $(n$,  $k)$–Blockcodes größer als die Kanalkapazität  $C$,  so ist niemals eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit erreichbar.}}

[[File:Transinf_9.png|right|frame|Informationsheoretischer Größen für <br>verschiedene  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}$ ]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4}$:  Wir betrachten den gleichen diskreten gedächtnislosen Kanal wie im  $\text{Beispiel 2}$. 
In diesem $\text{Beispiel 2}$  wurden die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}=0.9$  vorausgesetzt.  Damit ergab sich die Transinformation zu  $I(X;Y)= 0.092$  bit/Kanalzugriff   ⇒   siehe erste Zeile, vierte Spalte in der Tabelle.

Die  '''Kanalkapazität'''  ist die Transinformation  $I(X, Y)$  bei bestmöglichen Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.55$  und  $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}=0.45$:
:$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) = 0.284 \ \rm bit/Kanalzugriff \hspace{0.05cm}.$$

Aus der Tabelle erkennt man weiter  (auf die Zusatzeinheit &bdquo;bit/Kanalzugriff&bdquo; verzichten wir im Folgenden):
*Der Parameter  $p_{\rm A} = 0.1$  war sehr ungünstig gewählt, weil beim vorliegenden Kanal das Symbol  $\rm A$  mehr verfälscht wird als  $\rm B$.  Schon mit  $p_{\rm A} = 0.9$  ergibt sich ein etwas besserer Wert:  $I(X; Y)=0.130$.
*Aus dem gleichen Grund liefert  $p_{\rm A} = 0.55$,  $p_{\rm B} = 0.45$  ein etwas besseres Ergebnis als gleichwahrscheinliche Symbole  $p_{\rm A} = p_{\rm B} =0.5$.
*Je unsymmetrischer der Kanal ist, um so mehr weicht die optimale Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$  von der Gleichverteilung ab.  Im Umkehrschluss:  Bei symmetrischem Kanal ergibt sich stets die Gleichverteilung.}}

Der Ternärkanal von  $\text{Beispiel 3}$  ist symmetrisch.  Deshalb ist hier  $P_X(X) = \big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )$  für jeden  $q$–Wert optimal, und die in der Ergebnistabelle angegebene Transinformation  $I(X;Y)$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität  $C$.

==Exercises==

*First, select the number  $(1,\ 2, \text{...} \ )$  of the task to be processed.  The number  "$0$"  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show Solution".
*Source symbols are denoted by uppercase letters  (binary:  $\rm A$,  $\rm B$),  sink symbols by lowercase letters  ($\rm a$,  $\rm b$).  Error-free transmission:  $\rm A \rightarrow a$.
*For all entropy values, the unit "bit/use" would have to be added.

{{BlueBox|TEXT=
'''(1)'''  Let  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  and  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.1$.  What is the channel model?  What are the entropies  $H(X), \, H(Y)$  and the mutual information  $I(X;\, Y)$?}}

:*  Considered is the BSC model  (Binary Symmetric Channel).  Because of  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  it holds for the entropies:  $H(X) = H(Y) = 1$.
:*  Because of  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.1$  eqivocation and irrelevance are also equal:  $H(X \vert Y) = H(Y \vert X) = H_{\rm bin}(p_{\rm b \vert A}) = H_{\rm bin}(0.1) =0.469$.
:*  The mutual information is  $I(X;\, Y) = H(X) - H(X \vert Y)= 1-H_{\rm bin}(p_{\rm b \vert A}) = 0.531$  and the joint entropy is  $H(XY) =1.469$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(2)'''  Let further  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.1$, but now the symbol probability is  $p_{\rm A} = 0. 9$.  What is the capacity  $C_{\rm BSC}$  of the BSC channel with  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}$?<br>       
Which  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}$  leads to the largest possible channel capacity and which  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}$  leads to the channel capacity  $C_{\rm BSC}=0$?}}

:*  The capacity  $C_{\rm BSC}$  is equal to the maximum mutual information  $I(X;\, Y)$  considering the optimal symbol probabilities.
:*  Due to the symmetry of the BSC model  equally probable symbols  $(p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5)$  lead to the optimum   ⇒   $C_{\rm BSC}=0.531$.
:*  The best is the  "ideal channel"  $(p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0)$  ⇒   $C_{\rm BSC}=1$.   The worst BSC channel results with  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.5$   ⇒   $C_{\rm BSC}=0$.
:*  But also with   $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 1$  we get  $C_{\rm BSC}=1$.  Here all symbols are inverted, which is information theoretically the same as  $\langle Y_n \rangle \equiv \langle X_n \rangle$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(3)'''  Let  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$,  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$  and  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.   Interpret the results in comparison to the experiment  $(1)$  and to the  $\text{example 2}$  in the theory section.}}

:*  Unlike the experiment  $(1)$  no BSC channel is present here.  Rather, the channel considered here is asymmetric:  $p_{\rm b \vert A} \ne p_{\rm a \vert B}$.
:*  According to  $\text{Example 2}$  it holds for  $p_{\rm A} = 0.1,\ p_{\rm B} = 0.9$:     $H(X)= 0.469$,  $H(Y)= 0.994$,  $H(X \vert Y)=0.377$,  $H(Y \vert X)=0.902$,  $I(X;\vert Y)=0.092$.
:*  Now it holds  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  and we get  $H(X)=1,000$,  $H(Y)=0.910$,  $H(X \vert Y)=0.719$,  $H(Y \vert X)=0.629$,  $I(X;\ Y)=0.281$.
:*  All output values depend significantly on  $p_{\rm A}$  and  $p_{\rm B}=1-p_{\rm A}$  except for the conditional probabilities  ${\rm Pr}(Y \vert X)\in \{\hspace{0.05cm}0.95,\ 0.05,\ 0.4,\ 0.6\hspace{0.05cm} \}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(4)'''  Let further  $p_{\rm A} = p_{\rm B}$,  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.  What differences do you see in terms of analytical calculation and &bdquo;simulation”  $(N=10000)$.}}

:*  The joint probabilities are  $p_{\rm Aa} =0.475$,  $p_{\rm Ab} =0.025$,  $p_{\rm Ba} =0.200$, $p_{\rm Bb} =0.300$.  Simulation:  Approximation by relative frequencies:
:*  For example, for  $N=10000$:  $h_{\rm Aa} =0.4778$,  $h_{\rm Ab} =0.0264$,  $h_{\rm Ba} =0.2039$, $h_{\rm Bb} =0.2919$.  After pressing  "New sequence"  slightly different values.
:*  For all subsequent calculations, no principal difference between theory and simulation, except  $p \to h$.  Examples: 
:*  $p_{\rm A} = 0.5 \to h_{\rm A}=h_{\rm Aa} + h_{\rm Ab} =0.5042$,  $p_b = 0.325 \to h_{\rm b}=h_{\rm Ab} + h_{\rm Bb} =0. 318$,  $p_{b|A} = 0.05 \to h_{\rm b|A}=h_{\rm Ab}/h_{\rm A} =0.0264/0.5042= 0.0524$, 
:*  $p_{\rm A|b} = 0.0769 \to h_{\rm A|b}=h_{\rm Ab}/h_{\rm b} =0.0264/0.318= 0.0830$.  Thus, this simulation yields  $I_{\rm Sim}(X;\ Y)=0.269$  instead of  $I(X;\ Y)=0.281$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(5)'''  Setting according to  $(4)$.  How does  $I_{\rm Sim}(X;\ Y)$  differ from  $I(X;\ Y) = 0.281$  for  $N=10^3$,  $10^4$,  $10^5$ ?  In each case, averaging over ten realizations. }}
:*  $N=10^3$:   $0.232 \le I_{\rm Sim} \le 0.295$,   mean:  $0.263$   #   $N=10^4$:   $0.267 \le I_{\rm Sim} \le 0.293$,   mean:  $0.279$   #   $N=10^5$:   $0.280 \le I_{\rm Sim} \le 0.285$   mean:  $0.282$.
:*  With  $N=10^6$  for this channel, the simulation result differs from the theoretical value by less than  $\pm 0.001$. 

{{BlueBox|TEXT=
'''(6)'''  What is the capacity  $C_6$  of this channel with  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$?  Is the error probability  $0$  possible with the code rate  $R=0.3$? }}

:*  $C_6=0.284$  is the maximum of  $I(X;\ Y)$  for   $p_{\rm A} =0.55$  ⇒  $p_{\rm B} =0. 45$.  Simulation over  ten times  $N=10^5$:  $0.281 \le I_{\rm Sim}(X;\ Y) \le 0.289$.
:*  With the code rate  $R=0.3 > C_6$  an arbitrarily small block error probability is not achievable even with the best possible coding.

{{BlueBox|TEXT=
'''(7)'''  Now let  $p_{\rm A} = p_{\rm B}$,  $p_{\rm b \vert A} = 0$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0.5$.   What property does this asymmetric channel exhibit?  What values result for  $H(X)$,  $H(X \vert Y)$,  $I(X;\ Y)$ ? }}

:*  The symbol  $\rm A$  is never falsified, the symbol  $\rm B$  with (information theoretically) maximum falsification probability  $ p_{\rm a \vert B} = 0.5$
:*  The total falsification probability is  $ {\rm Pr} (Y_n \ne X_n)= p_{\rm A} \cdot p_{\rm b \vert A} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm a \vert B}= 0.25$  ⇒   about  $25\%$  of the output sink symbols are "purple".
:*  Joint probabilities:  $p_{\rm Aa}= 1/2,\ p_{\rm Ab}= 0,\ p_{\rm Ba}= p_{\rm Bb}= 1/4$,    Inference probabilities:   $p_{\rm A \vert a}= 1,\ p_{\rm B \vert a}= 0,\ p_{\rm A \vert b}= 1/3,\ p_{\rm B \vert b}= 2/3$.
:*  From this we get for equivocation  $H(X \vert Y)=0.689$;   with source entropy  $H(X)= 1$   ⇒   $I(X;\vert Y)=H(X)-H(X \vert Y)=0.311$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(8)'''  What is the capacity  $C_8$  of this channel with  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$,  $ p_{\rm a \vert B} = 035$?  Is the error probability  $0$  possible with the code rate  $R=0.3$? }}

:*  $C_8=0.326$  is the maximum of  $I(X;\ Y)$  for   $p_{\rm A} =0.55$.  Thus, because of  $C_8 >R=0.3 $  an arbitrarily small block error probability is achievable.
:*  The only difference compared to  $(6)$   ⇒   $C_6=0.284 < 0.3$  is the slightly smaller falsification probability  $ p_{\rm a \vert B} = 0.35$  instead of  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(9)'''  We consider the ideal ternary channel:  $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=1$.  What is its capacity  $C_9$?  What is the maximum mutual information displayed by the program? }}

:*  Due to the symmetry of the channel model, equally probable symbols  $(p_{\rm A} = p_{\rm B}=p_{\rm C}=1/3)$  lead to the channel capacity:  $C_9 = \log_2\ (3) = 1.585$.
:*  Since in the program all parameter values can only be entered with a resolution of  $0.05$ , for  $I(X;\ Y)$  this maximum value is not reached.
:*  Possible approximations:  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.3, \ p_{\rm C}=0.4$  ⇒   $I(X;\ Y)= 1. 571$     #     $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.35, \ p_{\rm C}=0.3$  ⇒   $I(X;\ Y)= 1.581$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(10)'''  Let the source symbols be (nearly) equally probable.  Interpret the other settings and the results. }}

:*  The falsification probabilities are  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=1$   ⇒   no single sink symbol is equal to the source symbol.
:*  This cyclic mapping has no effect on the channel capacity:  $C_{10} = C_9 = 1.585$.  The program returns  ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)\big]= 1.581$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(11)'''  We consider up to and including  $(13)$  the same ternary source.   What results are obtained for  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$  and  $p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B}=p_{\rm b \vert C}=0$? }}
:*  Each symbol can only be corrupted into one of the two possible other symbols.  From  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$  it follows  $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=0.8$.
:*  This gives us for the maximum mutual information  ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)\big]= 0.861$  and for the channel capacity a slightly larger value:  $C_{11} \gnapprox 0.861$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(12)'''  How do the results change if each symbol is   $80\%$  transferred correctly and   $10\%$  corrupted each in one of the other two symbols? }}
:*  Although the probability of correct transmission is with  $80\%$  as large as in  '''(11)''', here the channel capacity  $C_{12} \gnapprox 0.661$ is smaller.
:*  If one knows for the channel  $(11)$  that  $X = \rm A$  has been falsified, one also knows  $Y = \rm b$.  But not for channel  $(12)$  ⇒   the channel is less favorable.

{{BlueBox|TEXT=
'''(13)'''  Let the falsification probabilities now be  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=p_{\rm b \vert C}=0.5$.  Interpret this redundancy-free ternary channel. }}
:*  No single sink symbol is equal to its associated source symbol; with respect to the other two symbols, a  $50\hspace{-0.1cm}:\hspace{-0.1cm}50$  decision must be made.
:*  Nevertheless, here the channel capacity is  $C_{13} \gnapprox 0.584$  only slightly smaller than in the previous experiment:  $C_{12} \gnapprox 0.661$.
:*  The channel capacity  $C=0$  results for the redundancy-free ternary channel exactly for the case where all nine falsification probabilities are equal to  $1/3$ .

{{BlueBox|TEXT=
'''(14)'''  What is the capacity $C_{14}$ of the ternary channel with  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}= 0$  and  $p_{\rm c \vert A} = p_{\rm c \vert B} = p_{\rm a \vert C}=p_{\rm b \vert C}=0. 1$  ⇒   $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=0.9$,   $p_{\rm c \vert C} =0.8$? }}
:*  With the default  $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.2$   ⇒   $p_{\rm C}=0.6$  we get  $I(X;\ Y)= 0.738$.  Now we are looking for "better" symbol probabilities.
:*  From the symmetry of the channel, it is obvious that  $p_{\rm A}=p_{\rm B}$  is optimal.  The channel capacity  $C_{14}=0.995$  is obtained for  $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.4$   ⇒   $p_{\rm C}=0.2$.
:*  Example:  Ternary transfer if the middle symbol  $\rm C$  can be distorted in two directions, but the outer symbols can only be distorted in one direction at a time.
<br><br>

==Applet Manual==
[[File:Anleitung_transinformation.png|left|600px]]
<br><br><br><br>
    '''(A)'''     Auswahlmöglichkeit, ob  &bdquo;analytisch”  oder  &bdquo;per Simulation”

    '''(B)'''     Einstellung des Parameters  $N$  für die Simulation

    '''(C)'''     Auswahlmöglichkeit, ob  &bdquo;Binärquelle”  oder  &bdquo;Ternärquelle”

    '''(D)'''     Einstellung der Symbolwahrscheinlichkeiten

    '''(E)'''     Einstellung der Übergangswahrscheinlichkeiten

    '''(F)'''     Numerikausgabe verschiedener Wahrscheinlichkeiten

    '''(G)'''     Zwei Schaubilder mit den informationstheoretischen Größen

    '''(H)'''     Ausgabe einer beispielhaften Quellensymbolfolge

    '''(I)'''     Zugehörige simulierte Sinkensymbolfolge

    '''(J)'''     Bereich für Übungen: Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösungen
<br clear=all>

==About the Authors==
<br>
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2010 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]]  as part of his diploma thesis with “FlashMX – Actionscript”  (Supervisor:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]  and  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).

*In 2020 the program was redesigned via HTML5/JavaScript by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]]  (Ingenieurspraxis Mathematik, Supervisor:  [[Benedikt Leible]]  and  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ).

*Last revision and English version 2021 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com (free version).

*The conversion of this applet was financially supported by  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ "Studienzuschüsse"]  (TUM Department of Electrical and Computer Engineering).  We thank.

==Once again: Open Applet in new Tab==

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2021-02-25T21:13:24Z

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2021-02-24T15:45:35Z

Tasnad:

Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:33:12Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}

==Applet Description==
<br>
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
<br>
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[File:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[File:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digital_Signal_Transmission/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒   there are no [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[File:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[File:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[File:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  of the  [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2009 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]]  as part of his Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  as part of his Bachelor's thesis (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}

Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:32:52Z

Tasnad:

Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:32:29Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|attenuationCopperCables_en|attenuationCopperCables}}

==Applet Description==
<br>
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
<br>
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[File:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[File:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digital_Signal_Transmission/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒   there are no [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[File:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[File:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[File:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  of the  [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2009 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]]  as part of his Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  as part of his Bachelor's thesis (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again:  Open Applet in new Tab==

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Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:29:33Z

Tasnad: Text replacement - "\{\{LntAppletLinkEn\|([\w]*)(_en)?\}\}" to "{{LntAppletLinkEnDe|$1$2|$1}}"

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==Applet Description==
<br>
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
<br>
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[File:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[File:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digital_Signal_Transmission/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒   there are no [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[File:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[File:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[File:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  of the  [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2009 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]]  as part of his Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  as part of his Bachelor's thesis (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again:  Open Applet in new Tab==

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Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:29:20Z

Tasnad:

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==Applet Description==
<br>
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
<br>
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[File:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[File:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digital_Signal_Transmission/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒   there are no [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[File:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[File:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[File:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  of the  [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2009 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]]  as part of his Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  as part of his Bachelor's thesis (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again:  Open Applet in new Tab==

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Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:28:34Z

Tasnad: Text replacement - "\{\{LntAppletLinkEn\|([\w]*)(_en)\}\}" to "{{LntAppletLinkEnDe|$1$2|$1}}"

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==Applet Description==
<br>
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
<br>
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[File:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[File:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digital_Signal_Transmission/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒   there are no [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[File:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[File:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[File:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  of the  [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2009 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]]  as part of his Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  as part of his Bachelor's thesis (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEnDe|attenuationCopperCables_en|attenuationCopperCables}}         [https://www.lntwww.de/Applets:D%C3%A4mpfung_von_Kupferkabeln '''English Applet with German WIKI description''']

Applets:Attenuation of Copper Cables

2021-02-24T15:27:47Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}
{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables}}

==Applet Description==
<br>
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
<br>
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[File:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[File:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digital_Signal_Transmission/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met<br> ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other<br>⇒   there are no [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[File:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[File:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[File:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  of the  [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2009 by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]]  as part of his Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  as part of his Bachelor's thesis (Supervisor:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}         [https://www.lntwww.de/Applets:D%C3%A4mpfung_von_Kupferkabeln '''English Applet with German WIKI description''']

Template:LntAppletLinkEnDe

2021-02-24T15:08:13Z

Tasnad: Tasnad moved page Vorlage:LntAppletLinkEnDe to Template:LntAppletLinkEnDe without leaving a redirect

{{#tag:html|
<a href="lnt_applets/{{{1}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{3|Open Applet in new Tab}}}</a>
 
<a href="lnt_applets/{{{2}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{4|Deutsche Version Öffnen}}}</a>
}}

Template:LntAppletLinkEnDe

2021-02-24T15:07:28Z

Tasnad: Created page with "{{#tag:html| <a href="lnt_applets/{{{1}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{3|Open Applet in new Tab}}}</a>   <a href="lnt_apple..."

Applets:Pulses and Spectra

2021-02-24T15:07:01Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEnDe|impulsesAndSpectra_en|impulsesAndSpectra}}

==Applet Description==
<br>
Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   &bdquo;Impulse”  $x(t)$  und die dazugehörigen Spektralfunktionen  $X(f)$, nämlich
*Gaussian impulse, 
*rectangular pulse,  
*triangular pulse, 
*trapezoidal pulse, 
*cosine-rolloff pulse.

Weiter ist zu beachten:
* Die Funktionen  $x(t)$  bzw.  $X(f)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $x(t)$  (Signalwerte) bzw.  $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

==Theoretical Background==
<br>
===Relationship $x(t)\Leftrightarrow X(f)$===
*Der Zusammenhang zwischen der Zeitfunktion  $x(t)$  und dem Spektrum  $X(f)$  ist durch das  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  gegeben:
:$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

*Um aus der Spektralfunktion  $X(f)$  die Zeitfunktion  $x(t)$  berechnen zu können, benötigt man das  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
:$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
{\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen.  Somit gilt:
:$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
*$x(t)$  und  $X(f)$  haben unterschiedliche Einheiten, beispielsweise  $x(t)$  in  $\rm V$,  $X(f)$  in  $\rm V/Hz$.
*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul und dem ähnlich aufgebauten Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang & Impulsantwort]]  basiert auf dem  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
*Alle Zeiten sind auf eine Zeit  $T$  normiert und alle Frequenzen auf  $1/T$   ⇒   die Spektralwerte  $X(f)$  müssen noch mit der Normierungszeit  $T$  multipliziert werden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel:}$   Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude  $A_1 = 1$  und äquivalenter Impulsdauer  $\Delta t_1 = 1$  ein, so ist  $x_1(t)$  im Bereich  $-0.5 < t < +0.5$  gleich Eins und außerhalb dieses Bereichs gleich Null.  Die Spektralfunktion  $X_1(f)$  verläuft  $\rm si$–förmig mit  $X_1(f= 0) = 1$  und der ersten Nullstelle bei  $f=1$.

*Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit  $A = K = 3 \ \rm V$  und  $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$  nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit  $K = 3 \ \rm V$  und alle Spektralwerte mit  $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$  zu multiplizieren.
*Der maximale Spektralwert ist dann  $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$  und die erste Nullstelle liegt bei  $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.}}

===Gaussian Pulse ===

*Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
:$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/\Delta t)^2}.$$
*Die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
*Der Wert bei  $t = \Delta t/2$  ist um den Faktor  $0.456$  kleiner als der Wert bei  $t=0$.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t)^2} .$$
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   ⇒   [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
*Sowohl  $x(t)$  als auch  $X(f)$  sind zu keinem  $f$–  bzw.  $t$–Wert exakt gleich Null.
*Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden.  Zum Beispiel ist  $x(t)$  bereits bei  $t=1.5 \Delta t$  auf weniger als  $0.1\% $  des Maximums abgefallen.

===Rectangular Pulse ===
*Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

*Der  $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
*Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Der Spektralwert bei  $f=0$  ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
*Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen  $1/\Delta t$.
*Das Integral über der Spektralfunktion  $X(f)$  ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt  $t=0$, also der Impulshöhe  $K$.

===Triangular Pulse===
*Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot (1-|t|/{\Delta t}) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

*Die absolute Zeitdauer ist  $2 \cdot \Delta t$;  diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite  $\Delta t$.
*Daraus folgt:  $X(f)$  beinhaltet anstelle der  ${\rm si}$-Funktion die  ${\rm si}^2$-Funktion.
*$X(f)$  weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$  auf.
*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  erfolgt hier mit  $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit  $1/f$  abfällt.

===Trapezoidal Pulse ===
Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

*Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
:$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
*Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Dreieckimpuls.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  liegt zwischen  $1/f$  $($für Rechteck,  $r=0)$  und  $1/f^2$  $($für Dreieck,  $r=1)$.

===Cosine-rolloff Pulse ===
Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

*Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
:$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
*Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Cosinus-Quadrat-Impuls.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
*Je größer der Rolloff-Faktor  $r$  ist, desto schneller nimmt  $X(f)$  asymptotisch mit  $f$  ab.

===Cosinus-square Pulse ===
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für  $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, \ t_2= \Delta t$:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
*Wegen der letzten  ${\rm si}$-Funktion ist  $X(f)=0$  für alle Vielfachen von  $F=1/\Delta t$.  Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
*Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $X(f)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $f=\pm1.5 F$,  $\pm2.5 F$,  $\pm3.5 F$, ... auf.
*Für die Frequenz  $f=\pm F/2$  erhält man die Spektralwerte  $K\cdot \Delta t/2$.
*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/f^3$.

==Exercises==
<br>

* First select the number  $(1,\text{...}, 7)$  of the exercise.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show solution". <br>
* "Red" refers to the first parameter set ⇒ $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$,  "Blue" refers to the second parameter set ⇒ $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
*Values with magnitude less than  $0.0005$  are output in the program as "zero".

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Compare the  <b>red Gaussian impulse</b>  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  with the  <b>blue rectangular impulse</b>  $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$ ⇒ default setting.
<br>          What are the differences in the time and frequency domain?}}

* The Gaussian impulse theoretically reaches infinity in the time– as well as in the frequency domain. <br>
* Practically  $x_1(t)$  for  $|t| > 1.5$  and  $X_1(f)$  for  $|f| > 1.5$  are almost zero.<br>
* The rectangle is strictly limited in time:  $x_2(|t| > 0.5) \equiv 0$.  $X_2(f)$  has shares in a much larger range than  $X_1(f)$. <br>
* It holds  $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$  since the integral over the Gaussian impulse  $x_1(t)$  is equal to the integral over the rectangular impulse  $x_2(t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Compare the  <b>red Gaussian impulse</b>  $(A_1 = 1,  \Delta t_1 = 1)$ with the  <b>blue rectangular impulse</b>  $(A_2 = 1,  \Delta t_2)$.<br>          Vary the equivalent impulse duration  $\Delta t_2$  between  $0.5$  and  $2$.  Interpret the displayed graphs.}}

* One can recognize the reciprocity law of bandwidth and impulse duration.  The greater  $\Delta t_2$, the higher and narrower the spectral function  $X_2(f)$.<br>
* For each setting of  $\Delta t_2$,  $x_1(t=0)$  and  $x_2(t=0)$  are equal   ⇒   Also, the integrals over  $X_1(f)$  and  $X_2(f)$  are identical.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Compare the  <b>red Gaussian impulse</b>  $(A_1 = 1,  \Delta t_1 = 1)$ with the  <b>blue rectangular impulse</b>  $(A_2 = 1,  \Delta t_2 = 0.5)$.<br>          Vary  $\Delta t_2$  between  $0.05$  and  $2$.  Interpret the displayed graphs and extrapolate the result.}}

* The blue spectrum is now twice as wide as the red one, but only half as high.  First zero of  $X_1(f)$  at  $f = 1$, of  $X_2(f)$  at  $f = 2$.<br>
* Reduction of  $\Delta t_2$:  $X_2(f)$  lower and wider.  Very flat course at  $\Delta t_2 = 0.05$:  $X_2(f = 0)= 0.05$,  $X_2(f = \pm 3)= 0.048$. <br>
* If one choose  $\Delta t_2 = \varepsilon \to 0$  (not possible in the program),  the result would be the almost constant, very small spectrum  $X_2(f)=A \cdot \varepsilon \to 0$.<br>
* Increasing the amplitude to  $A=1/\varepsilon$  results in the constant spectral function  $X_2(f) = 1$  of the Dirac function  $\delta(t)$.  That means:<br>
* $\delta(t)$  is approximated by a rectangle  $($width  $\Delta t = \varepsilon \to 0$,  height  $A = 1/\varepsilon \to \infty)$.  The weight of the Dirac function is one:  $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Compare the  <b> rectangular impulse</b>  $(A_1 = 1,   \Delta t_1 = 1)$  with the  <b>triangular impulse</b>  $(A_2 = 1,   \Delta t_2 = 1)$.  Interpret the spectral functions.}}

* The (normalized) spectrum of the rectangle  $x_1(t)$  with the (normalized) parameters  $A_1 = 1, \ \ \Delta t_1 = 1$  is:  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.<br>
* The convolution of the rectangle  $x_1(t)$  with itself gives the triangle  $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$.  By the convolution theorem:   $X_2(f) = X_1(f)^2 $. <br>
* By squaring the  $\rm si$–shaped spectral function  $X_1(f)$  the zeros of  $X_2(f)$  remain unchanged.  But now it holds that: $X_2(f) \ge 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Compare the  <b>trapezoidal impulse</b>  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$  with the 
<b>triangular impulse</b> $(A_2 = 1,   \Delta t_2 = 1)$.<br>         Vary  $r_1$  between  $0$  and  $1$.  Interpret the spectral function  $X_1(f)$.}}

* The trapezoidal impulse with roll–off factor  $r_1= 0$  is identical to the rectangular impulse.  The &bdquo;normalized spectrum” is  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.<br>
* The trapezoidal impulse with roll–off factor  $r_1= 1$  is identical to the triangular impulse.  The &bdquo;normalized spectrum” is  $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$. <br>
* In both cases  $X_1(f)$  has equidistant zeros at  $\pm 1$,  $\pm 2$, ...  (none else);   $0 < r_1 < 1$:  depending on  $r_1$  further zeros.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Compare this  <b>trapezoidal impulse</b>  with the <b>cosine-rolloff impulse</b> 
$(A_2 = 1,\ \Delta t_2 = 1.0,\ r_2 = 0.5)$.<br>         Vary  $r_2$  between  $0$  and  $1$.  Interpret the spectral function  $X_2(f)$  for  $r_2 = 0.7$.}}

* With the same  $r= 0.5$  the cosine-rolloff impulse  $X_2(f)$ is for  $f > 1$  greater in amount than the trapezoidal impulse.<br>
* With the same rolloff factor  $(r_1 = r_2= 0.5)$  the drop of  $X_2(f)$  around the frequency  $f = 0.5$  is steeper than the drop of  $X_1(f)$. <br>
* With  $r_1 = 0.5$  and  $r_2 = 0.7$  $x_1(t) \approx x_2(t)$  is valid and therefore also  $X_1(f) \approx X_2(f)$.  Comparable edge steepness.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Compare the  <b>red trapezoidal impulse</b>  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, \ r_1 = 1)$  with the  <b>blue cosine-rolloff impulse</b>  $(A_2 = 1,\ \Delta t_2 = 1.0, \ r_2 = 1)$.<br>          Interpret the time function  $x_2(t)$  and the spectral function  $X_2(f)$  system theoretically.}}

* $x_2(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \ \text{for} \ |t| \le 1$  is the  cosine-square impulse.  Zeros at  $f = \pm 1$,  $\pm 2$, ... <br>
* For the frequency  $f=\pm 0.5$  one obtains the spectral values  $X_2(f)=0.5$.  The asymptotic decline is shown here with  $1/f^3$.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Exercise_impuls.png |right|frame|Screenshot]]
    '''(A)'''     Theme (changeable graphical user interface design)
:* Dark:   dark background  (recommended by the authors)
:* Bright:   white background  (recommended for beamers and printouts)
:* Deuteranopia:   for users with pronounced green visual impairment
:* Protanopia:   for users with pronounced red visual impairment

    '''(B)'''     Preselection for pulse shape  $x_1(t)$  (red curve)

    '''(C)'''     Parameter definition for  $x_1(t)$ 

    '''(D)'''     Numeric output for  $x_1(t_*)$  and  $X_1(f_*)$

    '''(E)'''     Preselection for pulse shape  $x_2(t)$  (blue curve)

    '''(F)'''     Parameter definition for  $x_2(t)$ 

    '''(G)'''     Numeric output for  $x_2(t_*)$  and  $X_2(f_*)$

    '''(H)'''     Setting the time  $t_*$  for the numeric output

    '''(I)'''     Setting the frequency  $f_*$  for the numeric output

    '''(J)'''     Graphic field for the time domain

    '''(K)'''     Graphic field for the frequency domain

    '''(L)'''     Selection of the exercise according to the numbers

    '''(M)'''     Task description and questions

    '''(N)'''     Show and hide sample solution

==About the Authors==
<br>
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2005 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2017 the program was redesigned by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] (Ingenieurspraxis_Math, Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) via &bdquo;HTML5”.
*Last revision and English version 2020 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com.

==Once again: Open Applet in new Tab==
{{LntAppletLinkEnDe|impulsesAndSpectra_en|impulsesAndSpectra}}
<br><br>

MediaWiki:Common.css

2021-02-24T15:04:32Z

Tasnad:

#content { font:Times 13px bold; }
#toc .tocnumber { display: none; }

Applets:Matched Filter Properties

2021-02-24T13:10:10Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|matchedFilter_en}}

== Applet Description==
<br>
Das Applet soll die Eigenschaften des so genannten &bdquo;Matched-Filters”  $({\rm MF})$  verdeutlichen.  Dieses dient zur optimalen Bestimmung des Vorhandenseins (Detektion) der Amplitude und/oder der Lage einer bekannten Signalform in einer stark verrauschten Umgebung.  Oder allgemeiner gesprochen:  Das Matched-Filter – manchmal auch als &bdquo;Optimalfilter”  oder als &bdquo;Korrelationsfilter”  bezeichnet – dient dem Nachweis der Signalexistenz. 

[[File:P_ID568__Sto_T_5_4_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers]]

Die Grafik zeigt den so genannten  '''Matched-Filter-Empfänger''':

*Dieser kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt:   mit maximalem Signal–zu–Rausch–Verhältnis  $($englisch:  signal–to–noise–ratio,  $\rm SNR)$  – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen  $n(t)$  gestörtes impulsförmiges Nutzsignal  $g(t)$  vorhanden ist oder nicht.
*Eine Anwendung ist die Radartechnik, bei der man zwar die Impulsform  $g(t)$  kennt, nicht aber, wann der Impuls gesendet wurde und mit welcher Stärke und Verzögerung dieser ankommt.
*Das Matched-Filter wird aber auch als Empfangsfilter in digitalen Übertragungssystemen (oder zumindest als Teil davon) eingesetzt, um die Fehlerwahrscheinlichkeit des Systems zu minimieren.

Alle Parameter, Zeiten und Frequenzen sind als normierte Größen zu verstehen und damit dimensionslos.

* Für den '''Eingangsimpuls'''  $g(t)$  sind  &bdquo;Rechteck”,  &bdquo;Gauß”  und  &bdquo;Exponential”  einstellbar, die jeweils durch die Impulsamplitude  $A_g$,  die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_g$  sowie die Verschiebung  $\tau_g$  gegenüber dem (hinsichtlich Zeit) symmetrischen Fall beschrieben werden.  Weitere Informationen im Abschnitt  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters#Weitere_Angaben_zu_den_betrachteten_Eingangsimpulsen|Weitere Angaben zu den betrachteten Eingangsimpulsen]].
* Für das '''Empfangsfilter'''  kann zwischen den Alternativen  &bdquo;Spalt–Tiefpass”,  &bdquo;Gauß–Tiefpass”,  &bdquo;Tiefpass erster Ordnung”und  &bdquo;Tiefpass 4”  gewählt werden.  Dargestellt werden die jeweiligen Impulsantworten  $h(t)$,  gekennzeichnet durch deren Höhe  $A_h$,  die äquivalente Dauer  $\Delta t_h$  und die Verschiebung  $\tau_h$.  Weitere Informationen im Abschnitt  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters#Weitere_Angaben_zu_den_betrachteten_Impulsantworten|Weitere Angaben zu den betrachteten Impulsantworten]].
* Weitere Eingabeparameter sind der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$  sowie die ebenfalls normierte Rauschleistungsdichte  $N_0$  am Empfängereingang.

Als Numerikwerte ausgegeben werden
*die Energie  $E_g$  des Eingangsimpulses  $g(t)$,  der Nutzabtastwert  $d_{\rm S} (T_{\rm D})$  am Filterausgang sowie die Rauschvarianz  $\sigma_d^2$  am Filterausgang,
*das Signal–zu–Rausch–Verhältnis  $\rm (SNR)$  $\rho_{d} (T_{\rm D})$  am Filterausgang und die zugehörige dB–Angabe  $10 \cdot \lg \ \rho_{d} (T_{\rm D})$,
*der hierfür maximale Wert  $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$. 

Erfüllt die eingegebene Konfiguration die Matched-Filter-Bedingungen, dann gilt:   $10 \cdot \lg \ \rho_{d} (T_{\rm D,\ opt}) = 10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.

==Theoretical Background==
<br>
===Detailbeschreibung des zugrunde liegenden Modells===

Für die einzelnen Komponenten des obigen Blockschaltbild gelten folgende Voraussetzungen:
*Der Nutzanteil  $g(t)$  des Empfangssignals  $r(t)=g(t)+n(t)$  sei impulsförmig und somit  ''energiebegrenzt''.  Das heißt:   Das Integral über  $ [g(t) ]^2$  von  $–∞$  bis  $+∞$  liefert den endlichen Wert  $E_g$.
*Das Störsignal  $n(t)$  sei  ''Weißes Gaußsches Rauschen''  mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$.
*Das Filterausgangssignal  $d(t)= d_{\rm S}(t) + d_{\rm N}(t)$  besteht additiv aus zwei Anteilen.  Der Anteil  $d_{\rm S}(t)$  geht auf das  $\rm S\hspace{0.04cm}$ignal  $g(t)$  zurück,   $d_{\rm N}(t)$  auf das  $\rm N\hspace{0.04cm}$oise  $n(t)$.
*Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter   ⇒   Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma_d^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$
*Hierbei bezeichnen  ${σ_d}^2$  die  ''Varianz''  (Leistung) von $d_{\rm N}(t)$ und  $T_{\rm D}$  den (geeignet gewählten)  ''Detektionszeitpunkt.''

===Matched-Filter-Optimierung===

Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal  $g(t)$  mit dem zugehörigen Spektrum  $G(f)$.  Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$  für jedes beliebige Filter mit Impulsantwort  $h(t)$  und Frequenzgang  $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ geschrieben werden  (ohne Berücksichtigung des Rauschens   ⇒   Index  $\rm S$  für „Signal”):
:$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$

Der  „Rauschanteil”  $d_{\rm N}(t)$  des Filterausgangssignals  (Index  $\rm N$  für „Noise”) rührt allein vom Weißen Rauschen  $n(t)$  am Eingang des Empfängers her.  Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$:
:$$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$

{{BlaueBox|TEXT=
Dieser Quotient wird für den folgenden Frequenzgang  $H(f)$  am größten wird:
:$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$
*Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang  $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante  $K_{\rm MF})$:
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho _{\rm MF}.$$

* $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Parseval Satz von Parseval]  sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:
:$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$ 

$(1)$  Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen  $A(f)$  und  $B(f)$:
:$$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$
$(2)$  Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$
$(3)$  Mit  $A(f) = G(f)$  und  $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$  ergibt sich somit die folgende Schranke:
:$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$
$(4)$  Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:
:$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$
$(5)$  Dann erhält man aus der obigen Gleichung  $(2)$  folgendes Ergebnis:
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

$\text{Das heißt:}$
*Mit dem Ansatz  $(4)$  für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
*Mit keinem anderen Filter  $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$  kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
*Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.
<div align="right">'''q.e.d.'''</div>
}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$   Ein rechteckförmiger Impuls  $g(t)$  mit Amplitude  $\rm 1\hspace{0.05cm}V$,  Dauer  $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$  und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.
*Somit ist die Impulsenergie  $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
*Die Rauschleistungsdichte sei  $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.

Das beste Ergebnis   ⇒   das  '''maximale S/N–Verhältnis'''  erzielt man mit dem Matched-Filter:
:$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } =
\frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}= 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{\rm MF}.$$}}

===Interpretation des Matched-Filters===

Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:
:$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$
Durch  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]  erhält man die dazugehörige Impulsantwort:
:$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$

Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:
*Das  ''Matched-Filter''  ist durch den Term  $G^{\star}(f)$  an das Spektrum des aufzufindenden Impulses  $g(t)$  angepasst – daher sein Name (englisch: ''to match'' ≡ anpassen).
*Die  ''Konstante''  $K_{\rm MF}$  ist aus Dimensionsgründen notwendig.
*Ist  $g(t)$  ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”.  Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
*Die  ''Impulsantwort''  $h_{\rm MF}(t)$  ergibt sich aus dem Nutzsignal  $g(t)$  durch Spiegelung   ⇒   aus $g(t)$ wird $g(–t)$     sowie einer Verschiebung um  $T_{\rm D}$  nach rechts.
*Der  ''früheste Detektionszeitpunkt''  $T_{\rm D}$  folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung  $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$   $($„Kausalität”,  siehe Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]]$)$.
*Der  ''Nutzanteil''  $d_{\rm S} (t)$  des Filterausgangssignals ist formgleich mit der  [[Digital_Signal_Transmission/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|Energie-AKF]]   $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$  und gegenüber dieser um  $T_{\rm D}$  verschoben. Es gilt:
:$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Bitte beachten Sie:}$ 
Bei einem energiebegrenzten Signal  $g(t)$  kann man nur die  ''Energie–AKF''  angeben:
:$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$
Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals  $x(t)$, nämlich
:$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$
wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer  $T_{\rm M}$  sowie auf den Grenzübergang  $T_{\rm M} → ∞$  verzichtet.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen  $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  und  $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$  liegt und der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  gewünscht wird.

Unter diesen Voraussetzungen gilt:
*Die Matched–Filter–Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  muss im Bereich von  $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$  bis  $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  konstant sein.
*Für  $t < t_1$  sowie für  $t > t_2$  darf sie keine Anteile besitzen.
*Der Betragsfrequenzgang  $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$  ist hier  $\rm si$–förmig.
*Die Höhe der Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von  $K_{\rm MF}$  ist.}}
<br clear=all>

===Weitere Angaben zu den betrachteten Eingangsimpulsen===
Alle Angaben sind ohne Berücksichtigung der Verzögerung  $\tau_g$

  '''(1)  Rechteckimpuls'''  ⇒   ''Rectangular Impulse''
*Der Impuls  $g(t)$  hat im Bereich  $\pm \Delta t_g/2$  die konstante Höhe  $A_g$  und ist außerhalb Null.
*Die Spektralfunktion  $G(f)=A_g\cdot \Delta t_g \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t_g \cdot f)$  besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t_g$.
*Die Impulsenergie ist  $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g$.

  '''(2)  Gaußimpuls'''  ⇒   ''Gaussian Imulse''
*Der Impuls  $g(t)=A_g\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t_g)^2}$  ist unendlich weit ausgedehnt.  Das Maximum ist  $g(t= 0)=A_g$.
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t_g$  ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   $G(f)=A_g \cdot \Delta t_g \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta t_g)^2}$. 
*Die Impulsenergie ist  $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g/\sqrt{2}$.

  '''(3)  Exponentialimpuls'''  ⇒   ''Exponential Impulse''
*Der Impuls ist für  $t<0$  identisch Null und für positive Zeiten unendlich weit ausgedehnt   ⇒   $g(t)=A_g\cdot {\rm e}^{-t/\Delta t_g}$.
*$g(t)$  ist (stark) unsymmetrisch   ⇒   das Spektrum   $G(f)=A_g \cdot \Delta t_g/( 1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot f \cdot \Delta t_g)$  ist komplexwertig;
*Die Impulsenergie ist  $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g/2$.

===Weitere Angaben zu den betrachteten Impulsantworten===
Die verschiedenen Empfangsfilter  $H(f)$  werden durch ihre Impulsantworten  $h(t)$  beschrieben. 

Diese werden ähnlich wie die Eingangsimpulse  $g(t)$  durch die Impulshöhe  $A_h$, die äquivalente Impulsdauer   $\Delta t_h$  sowie die Verzögerung  $\tau_h$  gegenüber dem symmetrischen Fall gekennzeichnet.  Die folgenden Kurzbeschreibungen gelten stets für   $\tau_h= 0$.

  '''(1)  Spalt–Tiefpass'''  ⇒   ''Rechteckförmige Impulsantwort''
*Die Impulsantwort  $h(t)$  hat im Bereich  $\pm \Delta t_h/2$  die konstante Höhe  $A_h$  und ist außerhalb Null.
*Der Frequenzgang  $H(f)=K \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t_g \cdot f)$  besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t_h$.
*Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang:  $\sigma_d^2= N_0/2 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.

  '''(2)  Gauß–Tiefpass'''  ⇒   ''Gaußsche Impulsantwort''
*Die Impulsantwort  $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t_h)^2}$  ist unendlich weit ausgedehnt.  Das Maximum ist  $h(t= 0)=A_h$.
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t_h$  ist, um so breiter und niedriger ist der Frequenzgang  $H(f)=K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta t_h)^2}$. 
*Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang:  $\sigma_d^2= N_0/2 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h/\sqrt{2}$.

  '''(3)  Tiefpass 1. Ordnung'''  ⇒   ''Exponentiell abfallende Impulsantwort''
*Die Impulsantwort ist für  $t<0$  identisch Null und für positive Zeiten unendlich weit ausgedehnt   ⇒   $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{-t/\Delta t_h}$.
*$h(t)$  ist kausal und (stark) unsymmetrisch.  Der Frequenzgang $H(f)=A_g \cdot \Delta t_g/( 1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot f \cdot \Delta t_g)$  ist komplexwertig.
*Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang:  $\sigma_d^2= N_0/4 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.

  '''(4)  Extrem akausales Filter'''  ⇒   ''Impulsantwort spiegelbildlich zu''  '''(3)'''
*Die Impulsantwort ist für  $t>0$  identisch Null und für negative Zeiten unendlich weit ausgedehnt   ⇒   $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{t/\Delta t_h}$  für  $t<0$.
*Der Frequenzgang $H(f)$  ist konjugiert komplex zum Frequenzgang des Tiefpasses 1. Ordnung.
*Die Rauschvarianz am Filterausgang ist bei Weißem Rauschen genau so groß wie beim Tiefpass 1. Ordnung:  $\sigma_d^2= N_0/4 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.

==Exercises==

*First, select the number  $(1,\ 2, \text{...} \ )$  of the task to be processed.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.  Solution after pressing "Show Solution".
*Both the input signal  $x(t)$  and the filter impulse response  $h(t)$  are normalized, dimensionless and energy-limited ("time-limited pulses").
*All times, frequencies, and power values are to be understood normalized, too.

{{BlueBox|TEXT=
'''(1)'''  Let the input pulse be Gaussian with  $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=1$.   Which setting leads to the "Matched Filter"?  What value has  $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$  with  $N_0=0.01$? }}

:* The Matched Filter must also have a Gaussian shape and it must hold:  $\Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=1$   ⇒   $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=2$.
:* The (instantaneous) signal-to-noise power ratio at the Matched Filter output is  $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \approx 141.4$  ⇒   $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 21.5$  dB.
:* With no other filter than the Matched Filter this  $\rm SNR$  (or an even better one)  can be achieved   ⇒   $10 \cdot \lg \ \rho _{d} \le 10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(2)'''  The "Matched Filter" on rectangular input pulse with  $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=0$  is a rectangular-in-time low–pass   ⇒   rectangular impulse response. <br>           What value has  $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$  with  $N_0=0.01$?  Interpret all the graphs shown and the numerical results in different ways}}

:* The MF parameters are  $A_h=A_g=1, \ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=0$   ⇒   $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=0$   ⇒   $\rho _{\rm MF} = 200$   ⇒   $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 23$  dB.
:* The pulse energy is the integral over  $g^2(t)$   ⇒   $E_g = A_g^2 \cdot \Delta t_g=1$   ⇒   $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g /N_0 =200$.   $T_{\text{D, opt} }=0$  is implicitly considered here.
:* Another equation is  $\rho_d (T_{\rm D}) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D})/\sigma_d^2$.  The noise variance can, for example, be calculated as the integral over  $h^2(t)$   ⇒   $\sigma_d^2= N_0 \cdot \Delta t_h/2 = 0.005$.
:* The useful detection signal  $d_{\rm S} (t)= g(t) * h(t)$  has a triangular shape with the maximum  $d_{\rm S} (T_{\rm D, \ opt} = 0 )= 1$   ⇒   $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 200= \rho _{\rm MF}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(3)'''  The settings of  $(2)$  continue to apply, with the exception of  $N_0=0.02 $  instead of  $N_0=0.01$.  What changes can be seen? }}
:* The only difference is twice the noise variance  $\sigma_d^2= 0.01$   ⇒   $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 100= \rho _{\rm MF}$   ⇒   $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =20$ dB.

{{BlueBox|TEXT=
'''(4)'''  The settings of  $(3)$  continue to apply, except  $T_{\rm D} = 0.1 $  instead of  $T_{\rm D, \ opt} = 0$.  What is the effect of this non-optimal detection time? }}
:* Now the useful signal value  $d_{\rm S} (T_{\rm D} = 0.1 )= 0.9$  is smaller   ⇒   $\rho_d (T_{\rm D} = 0.1 ) =0.9^2/0.01= 81< \rho _{\rm MF}$.  There is a degradation of nearly  $1$ dB.
:* For the further tasks the optimal detection time  $T_{\rm D, \ opt}$  is assumed, if not explicitly stated otherwise.

{{BlueBox|TEXT=
'''(5)'''  The settings of  $(3)$  apply again except for a lower impulse response  $A_h = 0.8 $  instead of  $A_h = 1$.  Interpret the changes. }}
:* With  $A_h \ne A_g$  it is also a Matched Filter as long as  $h(t)$  is equal in shape to  $g(t)$    ⇒   $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } =100$   ⇒   $10 \cdot \lg \rho _{\rm MF} =20$ dB.
:* The equation  $\rho_d (T_{\rm D}=0) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D}=0)/\sigma_d^2$  leads to the same result, since  ${d_{\rm S}}^2 (T_{\rm D})$  and  $\sigma_d^2$  are compared to  $(3)$  each reduced by a factor  $0. 8^2$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(6)'''  Compared to  $(5)$  now the height of the input pulse  $g(t)$  is increased from  $A_g = 1$  to  $A_g = 1. 25$.  Does  $h(t)$  describe a Matched Filter?  What is the SNR  $\rho_{\rm MF}$? }}
:* Again, this is a Matched Filter, since  $h(t)$  and  $g(t)$  are equal in shape.  With  $E_g = 1.25^2$:     $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot 1.25^2 } }/{ 0.02 } =156.25$  ⇒  $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} \approx 21.9$ dB.
:* The higher value  $21.9$ dB compared to  $(5)$  is related to the fact that for the same noise variance  $\sigma_d^2= 0.0064$  the useful detection sample is again  ${d_{\rm S}} (T_{\rm D}) = 1$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(7)'''  We continue from the rectangle–rectangle combination with  $A_h=A_g=1,\ \ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.02,\ T_{\rm D}=0$.   <br>           Interpret the results after varying the equivalent pulse duration  $\Delta t_h$  of  $h(t)$  in the range  $0.6$ ... $1.4$.  Use the graph representation over  $\Delta t_h$. }}

:* As expected the optimum is obtained for the equivalent pulse duration  $\Delta t_h=\Delta t_g=1$.  Then  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) =20$ dB  $\big(= 10 \cdot \lg \rho_{\rm MF}\big)$.
:* If  $\Delta t_h<\Delta t_g=1$, the useful detection signal is trapezoidal.  For  $\Delta t_h=0.6$:   $d_{\rm S} (T_{\rm D}=0)= 0.6$,  $\sigma_d^2\approx0.006$   ⇒   $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) \approx 17.8$ dB.
:* Also for  $\Delta t_h>1$  the useful detection signal is trapezoidal, but now still  $d_{\rm S} (T_{\rm D}=0)= 1$.  The noise variance  $\sigma_d^2$  increases continuously with  $\Delta t_h$.
:* For  $\Delta t_h=1.4$:     $\sigma_d^2=0.014$   ⇒   $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) \approx 18. 5$ dB.  Compared to the Matched Filter  $(\Delta t_h=1)$  the degradation is approx.  $1.5$ dB.

{{BlueBox|TEXT=
'''(8)'''  Now interpret the results for different  $\Delta t_g$  of the input pulse  $g(t)$  in the range  $0.6$ ... $1.4$.  Use the graph representation over  $\Delta t_g$. }}
:* Note:   The blue curve  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$  is the difference between  $20\cdot \lg \ \big [{K \cdot d_{\rm S}} (T_{\rm D,\ opt}) \big ]$    (purple curve)  and  $20\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d \big ]$  (green curve).
:* For the considered parameter set  and  $K=10$  the "green term"  $20\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d \big ] = 0$ dB  for all  $\Delta t_g$   ⇒   the blue and the purple curves are identical.
:* The blue curve  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$  increases from  $15.6$ dB  $($for  $\Delta t_g = 0. 6)$  to  $20$ dB  $($for  $\Delta t_g = 1)$  continuously and then remains constant for  $\Delta t_g > 1$.
:* But, the setting  $(\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1)$  does not yield a "Matched Filter".   Rather, with  $\Delta t_h = \Delta t_g = 1.4$:    $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}=10 \cdot \lg \ (2 \cdot E_g/N_0) \approx 21.5$ dB.
:* On the other hand the plot over  $\Delta t_h$  with the default setting  $(\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1)$  shows a monotonic increase of the blue curve   $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$.
:* For  $\Delta t_h = 0.6$  this gives  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )\approx 17.8$ dB,  and for  $\Delta t_h = 1. 4$  against  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )\approx 21.5$ dB  $=10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(9)'''  We consider the exponential pulse  $g(t)$  and the first order low–pass, where  $A_h=A_g=1,\ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.02,\ T_{\rm D}=1$.   <br>           Does this setting meet the Matched Filter criteria?  Justify your answers with as many arguments as possible. }}
:* No!   Here  $h(t)=g(t)$.  In a Matched Filter configuration, the impulse response should be  $h(t)={\rm const.}\cdot g(T_{\rm D}-t) $. 
:* The useful detection signal  $d_{\rm S}(t)$  does not have a symmetric shape around the maximum. For the Matched Filter,  $d_{\rm S}(T_{\rm D}-t) = d_{\rm S}(T_{\rm D}+t) $  would have to hold.
:* Despite  $\Delta t_h=\Delta t_g$  the SNR  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt}) \approx 14. 3$ dB   is now less than  $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 10 \cdot \lg \ 2 \cdot E_g/N_0 \approx 17$ dB.

{{BlueBox|TEXT=
'''(10)'''  With all other settings being the same, what changes with the "extremely acausal filter"?  Does the setting meet the Matched Filter criteria?  Reason. }}
:* Now here  $h(t)=g(-t)$  and the useful detection signal  $d_{\rm S}(t)$  is symmetric around  $t=0$.  It makes sense to choose  $T_{\rm D} = 0 $  here.
:* This gives  $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt}) =10 \cdot \lg \ d_{\rm S}^2 (T_{\rm D,\ opt})/\sigma_d^2 = 17$ dB   –   the same value as for  $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 10 \cdot \lg \ 2 \cdot E_g/N_0 = 17$ dB.
:* The useful detection signal  $d_{\rm S}(t)$  is of the same shape as the energy ACF of the input pulse  $g(t)$.  The Matched Filter focuses the energy around the time  $T_{\rm D,\ opt}$.

{{BlueBox|TEXT=
'''(11)'''  With which rectangular pulse  $g(t)$  can one achieve the same  $\rho _{\rm MF}=50$  as in task  $(10)$?   <br>           With  $(A_h=A_g=1,\ \ \Delta t_h=\Delta t_g=0.5)$   or with   $(A_h=A_g=0.5,\ \ \Delta t_h=\Delta t_g=1)$ ? }}
:* From the equation  $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g/N_0$  it is already clear that the SNR depends only on the energy  $E_g$  of the input pulse and not on its shape.
:* The exponential pulse with   $(A_g=1,\ \Delta t_g=1)$   has the energy  $E_g=0.5$  ⇒   $\rho _{\rm MF}=50$.  As well as the rectangular pulse with  $(A_g=1,\ \Delta t_g=0.5)$.
:* In contrast, the rectangular pulse with  $(A_g=0.5,\ \Delta t_g=1)$  has a smaller energy   ⇒   $E_g=0. 25$   ⇒   $\rho _{\rm MF}=25$   ⇒   $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 14$ dB.

==Applet Manual==
<br>
[[File:Anleitung_abtast.png|right|600px]]
<br><br><br><br>
    '''(A)'''     Auswahl eines von vier Quellensignalen

    '''(B)'''     Parameterwahl für Quellensignal  $1$  (Amplitude, Frequenz, Phase)

    '''(C)'''     Ausgabe der verwendeten Programmparameter

    '''(D)'''     Parameterwahl für Abtastung  $(f_{\rm G})$  und <br>                Signalrekonstruktion  $(f_{\rm A},\ r)$

    '''(E)'''     Skizze des Empfänger–Frequenzgangs  $H_{\rm E}(f)$

    '''(F)'''     Numerische Ausgabe  $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$

    '''(G)'''     Darstellungsauswahl für Zeitbereich

    '''(H)'''     Grafikbereich für Zeitbereich

    '''( I )'''     Darstellungsauswahl für Frequenzbereich

    '''(J)'''     Grafikbereich für Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
<br clear=all>
==About the Authors==
This interactive calculation tool was designed and implemented at the  [https://www.ei.tum.de/en/lnt/home/ Institute for Communications Engineering]  at the  [https://www.tum.de/en Technical University of Munich].
*The first version was created in 2006 by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]  as part of his bachelor thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).

*Last revision and English version 2020/2021 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  ("study grants")  of the TUM Faculty EI.  We thank.

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLink|matchedFilter_en}}

Template:OldFlash

2021-01-26T23:40:43Z

Tasnad:

{{#tag:html|
<a href="oldFlash/{{{1}}}.swf" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{2|Download Flash Applet}}}</a>
}}

Template:OldFlashComments

2021-01-26T23:39:40Z

Tasnad:

* SWF interaction modules are programmed for Adobe Flash, which is no longer supported for security reasons. You can download a "projector" version [https://www.adobe.com/support/flashplayer/debug_downloads.html from Adobe] (Windows, Mac and Linux). You don't need to install this program and it won't be integrated into your browser, so there are no security concerns in this respect. You can also find the projector version [https://en.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/0_Flashplayer on our server].
* Download our applications, start the Flashplayer and open the application (also possible by Drag'n Drop).

Mobile Communications/Statistical Bindings within the Rayleigh Process

2020-11-16T21:48:46Z

Tasnad: Undo revision 35182 by Guenter (talk)

{{Header
|Untermenü=Time variant transmission channels
|Vorherige Seite=Probability Density of Rayleigh Fading
|Nächste Seite=Non-Frequency Selective Fading With Direct Component
}}

== Some general remarks on ACF and PDS ==
<br>
The  $r(t)$  and  $r(t+ \Delta t)$  is suitable for describing the inner statistical dependencies between the neighboring signal values [[Theory_of_Stochastic_Signals/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|''' checkLink:_Buch_3 ⇒ '''Autocorrelation function]]  $\rm (ACF)$:

::<math>\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\big [ r(t) \cdot r^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Compared to the definition under the link above, the following differences can be seen:
*The ACF–variable is here marked with  $\Delta t$  instead of  $\tau$  because in this book we need the &bdquo;$\tau$” still for the 2D–impulse response  $h(t, \hspace{0.05cm}\tau)$ .<br>

*The equivalent low pass–signal  $r(t)$  is complex.   By the factor  $1/2$  however, the AKF  $\varphi_r ({\rm \Delta}t)$  and especially the power  $\varphi_r ({\rm \Delta}t = 0)$  refers to the (real) bandpass–Signal  $r_{\rm BP}(t)$.<br><br>

Applying the Rayleighf ading channel model:   $r(t) = s(t) \cdot z(t)$.  This results for its ACF:

::<math>\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\big [ s(t) \cdot z(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ] = \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.</math>

For the ACF of the transmitted signal  $s(t)$  and multiplicative factor  $z(t)$  the following definitions apply:

::<math> \varphi_s ({\rm \Delta}t)= {1}/{2} \cdot {\rm E}\big [ s(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]
\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]\hspace{0.05cm}.</math>

The factor  $1/2$  is only to be considered for the ACF calculation of bandpass signals in the equivalent lowpass range, but not for  $\varphi_z ({\rm \Delta}t)$.   Otherwise  $\varphi_r ({\rm \Delta}t) \ne \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)$  would result in  $\varphi_r ({\rm \Delta}t) $ <br>

Based on the definition of  $\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]$  the ACF is always real even with a complex time function  $z(t)$  and also with respect to  $ {\rm \Delta}t$  even.   Let us further consider that
*$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $ ,<br>

*$x(t)$ and $y(t)$  have the same statistical properties, and<br>

*that no statistical dependencies exist between  $x(t)$  and  $y(t)$  ,<br><br>

so can the ACF of the complex factor  $z(t)$  be written as it follows:
::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_x ({\rm \Delta}t) + \varphi_y ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t)
\hspace{0.05cm}.</math>

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Conclusion:}$  This results in the following simplification:
*To determine the statistical dependencies of the complex variable  $z(t)$  only one of the two Gaussian processes must be considered. In the following, this is  $x(t)$.

*We first calculate the autocorrelation function  $\rm (ACF)$  $\varphi_x ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\big[x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)\big]$  of the real part and then its power density spectrum  $\rm (PDS)$ 

::<math>{\it \Phi}_x (f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \cdot
{\rm e}^{ -- {\rm j \cdot 2 \pi} \cdot f_{\rm D} \cdot {\rm \Delta}t } \hspace{0.15cm}{\rm d}( {\rm \Delta}t)
\hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.3cm} \varphi_x ({\rm \Delta}t)
\hspace{0.05cm}.
</math>

*For the corresponding parameters of the complex random process  $z(t)$  we have:

::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\it \Phi}_z (f_{\rm D}) = 2 \cdot {\it \Phi}_x (f_{\rm D})
\hspace{0.05cm}.</math>

*The  $\rm PDS$–Variable is the  [[Mobile_Communications/Statistical_bonds_within_the_Rayleigh_process#Doppler frequency and its distribution|'''Doppler frequency''']]  $f_{\rm D}$, because in mobile radio the so-called  "Doppler effect"  is the cause of the statistical dependencies. }}

This effect is explained on the next page.

== Phenomenological description of the Doppler effect==
<br>
The statistical dependencies within the real "signals"  $x(t)$  and  $y(t)$  or within the complex quantity  $z(t)$  are due to the Doppler effect.  This was predicted theoretically in the middle of the 19th century by the Austrian mathematician, physicist and astronomer  [https://en.wikipedia.org/wiki/Christian_Doppler Christian Andreas Doppler]  and named after him.<br>

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  The  '''Doppler effect'''  refers to the change in the perceived frequency of waves of any kind that occurs when the source (transmitter) and observer (receiver) move relative to each other.}}<br>

Qualitatively, the Doppler effect can be described as follows:
*If the observer and source approach each other, the frequency increases from the observer's point of view, regardless of whether the observer is moving or the source or both.

*If the source moves away from the observer or the observer moves away from the source, the observer perceives a lower frequency than that actually transmitted.<br><br>

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$  We look at the pitch change of the  "Martinhorn"  of an ambulance.  As long as the vehicle approaches, the observer hears a higher tone than when the car is stationary.  When the ambulance moves away, a lower tone is perceived.<br>

The same effect can be seen with a  car racing  note.  The frequency changes and the sound are the more obvious the faster the cars are going.}}<br>

In this learning tutorial you can illustrate the subject matter with the interactive applet  [[Applets:The_Doppler_Effect|The Doppler Effect]] .

[[File:P ID2113 Mob T 1 3 S2a v1.png|right|frame|Initial situation:  $\rm (S)$  and  $\rm (E)$  are not moving|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
Some properties of this effect, which is still known from physics lessons, will now be shown by means of snapshots of an earlier version of the above mentioned animation, where the dynamic program properties are of course lost.<br>

The first diagram shows the initial situation:
*The stationary station  $\rm (S)$  outputs the constant frequency  $f_{\rm S}$ .
*The wave propagation is illustrated in the diagram by concentric circles around  $\rm (S)$ .
*If the receiver  $\rm (E)$  is also at rest, the frequency  $f_{\rm E} = f_{\rm S}$  is then perceived}}
<br>

[[File:P ID2114 Mob T 1 3 S2b v2.png|right|frame|Doppler effect: $\rm (S)$ moves towards resting $\rm (E)$]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$  The next snapshot shows the case where the transmitter  $\rm (S)$  has moved at constant speed  $v$  from its starting point  $\rm (S_0)$  towards the receiver  $\rm (E)$  <br>
*The right diagram shows that the frequency  $f_{\rm E}$  (blue oscillation) perceived by the receiver is larger by about  $20\%$  than the frequency  $f_{\rm S}$  at the transmitter (red oscillation).
*Due to the movement of the transmitter, the circles are no longer concentric.

[[File:P ID2115 Mob T 1 3 S2c v2.png|left|frame|Doppler effect: $\rm (S)$ moves away from resting $\rm (E)$ ]]
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
* The scenario shown on the left results when the transmitter  $\rm (S)$  moves away from the receiver  $\rm (E)$    Then the received frequency  $f_{\rm E}$  (blue oscillation) is about  $20\%$  smaller than the transmitted frequency  $f_{\rm S}$.<br>}}
<br clear=all>
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{However, the following must be taken into account:}$ 
*All these figures apply to unrealistically high speed  $(v = c/5)$, where  $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  indicates the speed of light.  In mobile radio, the deviations between  $f_{\rm S}$  and  $f_{\rm E}$  are usually only a fraction of the transmission frequency.
*The exact equation for the receiving frequency  $f_{\rm E}$  ,including an angle  $\alpha$  between the direction of movement and the connecting line transmitter–receiver, is
::<math>f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}
\hspace{0.05cm}.</math>
*As the  [[Aufgaben:Exercise_1.4Z:_On_the_Doppler_Effect|Exercise 1.4Z]]  will show, at realistic speeds  $(v \ll c)$  one can assume the following approximation, in which the effects described by the  [https://de.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A4tstheorie Theory of Relativity]  are disregarded
::<math>f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.05cm}.</math>}}

== Doppler frequency and its distribution==
<br>
We summarize the statements of the last page again briefly, whereby we start from the second, i.e. the non–relativistic equation:
*A relative movement between transmitter (source) and receiver (observer) results in a shift by the Doppler frequency  $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$.

*A positive Doppler frequency  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  results when transmitter and receiver  (relative)  move towards each other.  A negative Doppler frequency  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  means that transmitter and receiver  (directly or at an angle)  move away from each other.<br>

*The maximum frequency shift occurs when transmitter and receiver move directly towards each other   ⇒   angle  $\alpha = 0^\circ$.   This maximum value depends first approximation on the transmission frequency  $ f_{\rm S}$  and the speed  $v$  depends   $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  indicates the speed of light$)$:

::<math>f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \hspace{0.05cm}.</math>

*If the relative movement takes place at any angle  $\alpha$  to the connecting line transmitter–receiver, a Doppler shift of

::<math>f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha)
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \le f_{\rm D} \le + \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}
\hspace{0.05cm}.</math>

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Conclusion:}$  Assuming equal probable directions of motion  $($Equal distribution for the angle  $\alpha$  in the range  $- \pi \le \alpha \le +\pi)$  the probability density function  $($here denoted with "wdf" (from the german WahrscheinlichkeitsDichteFunktion)$)$  the Doppler frequency in the range  $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
\hspace{0.05cm}.</math>

Outside the range between  $-f_{\rm D}$  and  $+f_{\rm D}$  the probability density function always has the value zero.}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Derivation:}$  The resulting Doppler frequency depending on the angle of movement  $\alpha$  is

[[File:P ID3103 Mob T 1 3 S3 v2.png|right|frame|To calculate the probability density function  $\rm (PDF)$  of the Doppler frequency|class=fit]]
::<math>f_{\rm D} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha) = g(\alpha)
\hspace{0.05cm}.</math>

We refer to this function as  $g(\alpha)$  and assume that
*$\alpha$  takes all angle values between  $\pm \pi$ 
*with equal probability   ⇒   equal distribution.&nbsp

Then for the probability of the Doppler frequency according to the chapter  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation of Random Variables]]  in the book "Stochastic Signal Theory":

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{ {\rm wdf}(\alpha)}{\vert g\hspace{0.08cm}'(\alpha)\vert}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=h(f_{\rm D})}
\hspace{0.05cm}</math>

*the derivative  $g\hspace{0.08cm}'(\alpha)= - f_\text{D, max} \cdot \sin(\alpha)$, and
*the inverse function  $ \alpha = h(f_{\rm D})$.

In the example the inverse function is
:$$ \alpha = \arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}).$$

The diagram illustrates the calculation procedure for determining the Doppler frequency's PDF:

*Since the characteristic curve between the Doppler frequency  $f_{\rm D}$  and the angle  $\alpha$   ⇒   $ g(\alpha) = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha)$  is limited by the value  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  is for  $f_{\rm D}$  no value outside this range possible.<br>

*When transforming random variables, a distinction must be made between areas with positive and negative slopes of the transformation's characteristic curve.   The  $\alpha$–values between  $-\pi$  and  $0$   $($positive gradient of the transformation characteristic$)$  between the Doppler frequency  $f_{\rm D}$  and the angle  $\alpha$  provide the result

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{1/(2\pi)}{f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sin(\alpha)} \Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})} = \frac{(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} )^{-1} }{ \sin(\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}))} = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
\hspace{0.05cm}.</math>
*For reasons of symmetry, the positive  $\alpha$–area contributes in the same way, so that the inner total area is:

::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
\hspace{0.05cm}.</math>

*If   $\alpha$  takes values around  $\pm \pi/2$  it results in a small Doppler frequency   ⇒   $f_{\rm D} \approx 0$   $($violet marking$)$.  But, because of the relatively large gradient of the cosine curve   $g(\alpha)$  at  $\alpha = \pm \pi/2$   the PDF–value at  $f_{\rm D} \approx 0$  ist very small. <br>

*Small angles   $($um  $\alpha \approx 0)$   however, lead to the maximum Doppler frequency   ⇒   $f_{\rm D} \approx f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$   $($red marker$)$.  Because of the nearly horizontal characteristic curve  $g(\alpha)$  the  $f_{\rm D}$–PDF is clearly larger here.  For  $f_{\rm D} \equiv f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  this even results in an infinitely large value.<br>

*On the other hand, if   $\alpha$  takes values around  $\pm \pi$  it leads to the Doppler frequency  $f_{\rm D} \approx -f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$   $($green marker$)$.  Again the characteristic curve is nearly horizontal and again it results in a large PDF–value.}}<br><br>

== ACF und PDS with Rayleigh–Fading ==
<br>
We now assume an antenna with the same radiation in all directions; the Doppler–PDS is then identical in shape to the PDF of the Doppler frequencies.

For  ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$  the PDF must still be multiplied by the power  $\sigma^2$  of the Gaussian process, and the resulting PDS  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  of the complex factor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $  can be written after doubling as:

::<math>{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) =
\left\{ \begin{array}{c} (2\sigma^2)/( \pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}) \cdot \left [ 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 \right ]^{-0.5} \\
0 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} |f_{\rm D}| \le f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}
\\ {\rm sonst} \\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math>

This process is named after  [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.]  the  '''Jakes–Spectrum'''.  The doubling is necessary, because up to now only the contribution of the real part  $x(t)$  was considered. <br>

The corresponding autocorrelation function (ACF) is obtained after a   [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_zweite_Fourierintegral|''' checkLink:_Buch_1 ⇒ '''Fourier inverse transformation:]]

::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},</math>

with the  Bessel function of first kind and zero order  (first equation:  definition,  second equation:  series expansion):

::<math>{\rm J }_0 (u) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{- {\rm j }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}u \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
\hspace{0.05cm}.</math>

The numerical values of this function can be obtained with the  [[Applets:Bessel functions of the first kind|applet of the same name]]. <br>

[[File:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler-PDS and time function (magnitude in dB) for Rayleigh fading with Doppler effect]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 4:}$  Shown on the left is the Jakes–spectrum
*for  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \ \rm Hz$  (blue curve) as well as
*for  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$  (red curve).

For  [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#Entstehung_und_Historie_von_GSM|$\text{GSM 900}$]]  $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$  these values correspond to the speeds  $v = 60 \ \rm km/h$  bzw.  $v = 120 \ \rm km/h$.

For [[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#Entstehung_und_Historie_von_GSM|$\text{GSM 1800}$]]  $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz)$  these values apply to half as high speeds:   $v = 30 \ \ \rm km/h$  or.  $v = 60 \ \rm km/h$.

The right picture shows the logarithmic absolute value of  $z(t)$:
*You can see the twice as fast fading of the red curve
*The Rayleigh–PDF (amplitude distribution) is independent of  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  and therefore the same for both cases.}}<br>

The right figure shows the logarithmic absolute value of  $z(t)$:
*You can see that the red curve fades twice as fast.
*The Rayleigh–PDF (amplitude distribution) is independent of  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  and therefore the same for both cases.}}<br>

==Exercises to the chapter==
<br>
[[Aufgaben:Exercise 1.4: Rayleigh PDF and Jakes PDS]]

[[Aufgaben:Exercise 1.4Z: On the Doppler Effect]]

[[Aufgaben:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum]]

{{Display}}

Applets:Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit(Applet)

2020-08-20T12:41:25Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|eyeDiagram}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Das Applet verdeutlicht die Augendiagramme für
*verschiedene Codierungen  (binär–redundanzfrei,  quaternär–redundanzfrei,  pseudo–ternär:  AMI und Duobinär)  sowie
*verschiedene Empfangskonzepte  (Matched–Filter–Empfänger,  CRO–Nyquistsystem,  gaußförmiges Empfangsfilter).

Das letzte Empfängerkonzept führt zu Impulsinterferenzen, das heißt:  Benachbarte Symbole beeinträchtigen sich bei der Symbolentscheidung gegenseitig.

Solche Impulsinterferenzen und deren Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeit lassen sich durch das Augendiagramm sehr einfach erfassen und quantifizieren.  Aber auch für die beiden anderen (impulsinterferenzfreien) Systeme lassen sich anhand der Grafiken wichtige Erkenntnisse gewinnen.

Ausgegeben wird zudem die ungünstigste (&bdquo;worst case”) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$, die bei den binären Nyquistsystemen identisch mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist und für die beiden anderen Systemvarianten eine geeignete obere Schranke darstellt:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In der  $p_{\rm U}$–Gleichung bedeuten:
*${\rm Q}(x)$  ist die  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].  Die normierte Augenöffnung kann Werte zwischen  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  annehmen.
*Der Maximalwert  $(ö_{\rm norm} = 1)$  gilt für die binären Nyquistsysteme und  $ö_{\rm norm}=0$  steht für ein &bdquo;geschlossenes Auge”.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  hängt vom einstellbaren Parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  ab, aber auch von der Codierung und vom Empfängerkonzept.

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
=== Systembeschreibung und Voraussetzungen===

Für dieses Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:
*Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate  $R_{\rm B} = 1/T$, wobei  $T$  die Symboldauer angibt.
*Das Sendesignal  $s(t)$  ist zu allen Zeiten  $t$  gleich  $ \pm s_0$   ⇒   Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude  $s_0$  und Impulsdauer  $T$.

*Das Empfangssignal sei  $r(t) = s(t) + n(t)$, wobei der AWGN–Term  $n(t)$  durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0$  gekennzeichnet ist.
*Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden:  $H_{\rm K}(f) =1$.
*Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formt aus  $r(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
* Dieses wird vom Entscheider mit der Entscheiderschwelle  $E = 0$  zu den äquidistanten Zeiten  $\nu \cdot T$  ausgewertet.
*Es wird zwischen dem Signalanteil  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend von  $s(t)$  – und dem Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  unterschieden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen  $n(t)$  ist.
*$d_{\rm S}(t)$  kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um  $T$  verschobenen Detektionsgrundimpulsen  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  dargestellt werden.

*Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz  $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$  des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen).

===Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger===

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall  $H_{\rm K}(f) =1$  mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit dem NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist. Die rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  hat dann die Dauer  $T_{\rm E} = T$  und die Höhe  $1/T$.

[[File:Auge_1neu.png|center|frame|Binäres Basisbandübertragungssystem;  die Skizze für  $h_{\rm E}(t)$  gilt nur für den Matched-Filter-Empfänger ]]

*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist dreieckförmig mit dem Maximum  $s_0$  bei  $t=0$ ; es gilt  $g_d(t)=0$  für  $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen   ⇒   $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$   ⇒   der Abstand aller Nutzabtastwerte von der Schwelle  $E = 0$  ist stets  $|d_{\rm S}(t = \nu \cdot T)| = s_0$.
*Die Detektionsrauschleistung ist bei dieser Konstellation:
:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t = N_0/(2T)=\sigma_{\rm MF}^2.$$
*Für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]  ${\rm Q}(x)$ :
:$$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{{s_0^2}/{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$

Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen  &bdquo;nach Spalt–Tiefpass”  sowie  $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen
*die normierte Augenöffnung  $ö_{\rm norm} =1$   ⇒   dies ist der maximal mögliche Wert,
*der normierte Detektionsrauscheffektivwert (gleich der Wurzel aus der Detektionsrauschleistung)  $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$  sowie
*die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen  $p_{\rm M}$  und   $p_{\rm U}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$
*Es gibt  $M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ Augen und eben so viele Schwellen   ⇒   $ö_{\rm norm} =1/(M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1)$  ⇒   $M=4$:  Quaternärsystem,  $M=3$:  AMI-Code, Duobinärcode.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.
*Beim AMI-Code und dem Duobinärcode hat dieser Verbesserungsfaktor, der auf das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  zurückgeht, den Wert  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

<br>
===Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang===

[[File:Auge_2_neu.png|right|frame|Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang ]]

Wir setzen voraus, dass der Gesamtfrequenzgang zwischen der diracförmigen Quelle bis zum Entscheider den Verlauf eines  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus-Rolloff-Tiefpasses]]  hat   ⇒   $H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ .
*Der Flankenabfall von  $H_{\rm CRO}(f)$  ist punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $1/(2T)$. Je größer der Rolloff-Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  ist, um so flacher verläuft die Nyquistflanke.
*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot {\mathcal F}^{-1}\big[H_{\rm CRO}(f)\big]$  hat unabhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  Nullstellen.  Weitere Nulldurchgänge gibt es abhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$.  Für den Impuls gilt:
:$$g_d(t) = s_0 \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm si}(\pi \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t/T )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T )}{1 - (2 \cdot
r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T)^2}.$$
*Daraus folgt:  Wie beim Matched-Filter-Empfänger ist das Auge maximal geöffnet   ⇒   $ö_{\rm norm} =1$.

[[File:Auge_3.png|right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors ]]
Betrachten wir nun die Rauschleistung vor dem Entscheider. Für diese gilt:

:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} {\rm d}f.$$

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion  $|H_{\rm E}(f)|^2$  für drei verschiedene Rolloff–Faktoren

* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0$   ⇒   grüne Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=1$   ⇒   rote Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0.8$   ⇒   blaue Kurve.

Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung  $\sigma_d^2$.  Das grau hinterlegte Rechteck markiert den kleinsten Wert  $\sigma_d^2 =\sigma_{\rm MF}^2$, der sich auch mit dem Matched-Filter-Empfänger ergeben hat.
<br clear=all>
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Rolloff–Faktor  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0$  (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalen Empfangsfilters zu  $\sigma_d^2 =K \cdot \sigma_{\rm MF}^2$  mit  $K \approx 1.5$, da  $|H_{\rm E}(f)|^2$  mit wachsendem  $f$  steil ansteigt. Der Grund für diese Rauschleistungsanhebung ist die Funktion  $\rm si^2(\pi f T)$  im Nenner, die zur Kompensation des  $|H_{\rm S}(f)|^2$–Abfalls erforderlich ist. <br>
* Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen Kurve, führt  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$  trotz dopplelt so breitem Spektrum zu einer kleineren Rauschleistung:  $K \approx 1.23$.  Für  $r_{\hspace{-0.05cm}f} \approx 0.8$ ergibt sich noch ein geringfügig besserer Wert. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert lautet somit für den Rolloff–Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$:   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{K(r_f)/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$. <br>
*Auch hier stimmt die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   exakt mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$

Alle Anmerkungen im Abschnitt $2.2$ gelten in gleicher Weise für das &bdquo;Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang”.

===Impulsinterferenzbehaftetes System mit Gauß-Empfangsfilter===

[[File:Auge_4.png|right|frame|System mit gaußförmigem Empfangsfilter ]]

Wir gehen vom rechts skizzierten Blockschaltbild aus. Weiter soll gelten:
*Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$:
:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T).$$
*Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:
:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} f^2/(2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_{\rm G})^2 } \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
\hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm e}^{- \pi \cdot (2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} t)^2}
\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der hier getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

[[File:Auge_5_neu.png|right|frame|Frequenzgang und Impulsantwort des Empfangsfilters ]]
:$$g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot \big [h_{\rm S}(t) \star h_{\rm G}(t)\big ] = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2}
{\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm} \tau )^2} \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Integration führt zum Ergebnis:

:$$g_d(t) = s_0 \cdot \big [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi}
\cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left (
2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2}
)\right ) \big ],$$

unter Verwendung der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
\hspace{0.05cm}.$$

Das Modul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte von  ${\rm Q} (x)$.<br>
*Dieser Detektionsgrundimpuls bewirkt  [[Digital_Signal_Transmission/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D|Impulsinterferenzen]].
*Darunter versteht man, dass die Symbolentscheidung durch die Ausläufer benachbarter Impulse beeinflusst wird. Während bei impulsinterferenzfreien Übertragungssystemen jedes Symbol mit gleicher Wahrscheinlichkeit – nämlich der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  – verfälscht wird, gibt es günstige Symbolkombinationen mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(v_{\nu} \ne q_{\nu}) < p_{\rm M}$.
*Andere Symbolkombinationen erhöhen dagegen die Verfälschungswahrscheinlichkeit erheblich.

[[File:Auge_6.png|right|frame|Binäres Auge $($Gaußtiefpass,  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.35)$.]]
Die Impulsinterferenzen lassen sich durch das sogenannte  '''Augendiagramm'''  sehr einfach erfassen und analysieren. Diese stehen im Mittelpunkt dieses Applets. Alle wichtigen Informationen finden Sie  [[Digital_Signal_Transmission/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|hier]].
*Das Augendiagramm entsteht, wenn man alle Abschnitte des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  der Länge  $2T$  übereinander zeichnet. Die Entstehung können Sie sich im Programm mit &bdquo;Einzelschritt” verdeutlichen.

* Ein Maß für die Stärke der Impulsinterferenzen ist die ''vertikale Augenöffnung''. Für den symmetrischen Binärfall gilt mit  $g_\nu = g_d(\pm \nu \cdot T)$  und geeigneter Normierung:
:$$ ö_{\rm norm} = g_0 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$$
* Mit größerer Grenzfrequenz stören sich die Impulse weniger und  $ ö_{\rm norm}$  nimmt kontinuierlich zu. Gleichzeitig wird bei größerem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  auch der (normierte) Detektionsrauscheffektivwert größer:
:$$ \sigma_{\rm norm} = \sqrt{\frac{f_{\rm G}/R_{\rm B}}{\sqrt{2} \cdot E_{\rm B}/N_{\rm 0}}}.$$
*Die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   &bdquo;Worst Case” liegt meist deutlich über der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$.

$\text{Unterschiede beim redundanzfreien Quaternärsystem}$
*Für  $M=4$  ergeben sich andere Grundimpulswerte. <br>''Beispiel'':     Mit  $M=4, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.4$  sind Grundimpulswerte  $g_0 = 0.955, \ g_1 = 0.022$  identisch mit  $M=2, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.8$.
* Es gibt nun drei Augenöffnungen und eben so viele Schwellen.  Die Gleichung für die normierte Augenöffnung lautet nun:   $ ö_{\rm norm} = g_0/3 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem wieder um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.

===Pseudoternärcodes===

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des Codes.  Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
*die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.<br><br>

[[File:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|center|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcoders|class=fit]]

Besondere Bedeutung besitzen ''Pseudoternärcodes''   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist. Genaueres hierzu finden Sie im  [[Digital_Signal_Transmission/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|$\rm LNTwww$–Theorieteil]].  Fazit:

*Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$:
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.5cm} c_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm}.$$

*Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich:
:$$ r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

Anhand des Codeparameters  $K_{\rm C}$  werden verschiedene Pseudoternärcodes erster Ordnung  $(N_{\rm C} = 1)$  charakterisiert.

[[File:Auge_16.png|right|frame|Signale bei der AMI-Codierung|class=fit]]
$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = 1\text{: AMI–Code}$  (von:   ''Alternate Mark Inversion'')

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Darunter sind dargestellt:
* das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
* das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.

Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:
*Jeder Binärwert  &bdquo;–1”  von $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert.<br>
*Der Binärwert  &bdquo;+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt.<br><br>

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen  &bdquo;+1”–  bzw.  &bdquo;–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal problematisch wäre. 
<br>
[[File:Auge_16a.png|left|frame|class=fit]]

Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt zwei Augenöffnungen und zwei Schwellen.
::* Die normierte Augenöffnung ist  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1)$, wobei  $g_0 = g_d(t=0)$  den Hauptwert des Detektionsgrundimpulses bezeichnet und  $g_1 = g_d(t=\pm T)$  die relevanten Vor- und Nachläufer, die das Auge vertikal begrenzen.

::* Die normierte Augenöffnung ist somit deutlich kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem   ⇒   $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist um den Faktor  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$  kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem.
<br clear=all>
[[File:Auge_17.png|right|frame|Signale bei der Duobinärcodierung|class=fit]]

$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = -1\text{: Duobinärcode}$ 

Aus der rechten Grafik mit den Signalverläufen erkennt man:
*Hier können beliebig viele Symbole gleicher Polarität  (&bdquo;+1” bzw. &bdquo;–1”)  direkt aufeinanderfolgen   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei. 
*Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge  &bdquo; ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ”  nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
* Auch die Duobinärcode–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Der Verbesserungsfaktor durch das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  ist wie beim AMI-Code gleich  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

[[File:Auge_17a.png|left|frame|class=fit]]
<br>
Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt wieder zwei &bdquo;Augen” und zwei Schwellen.
::* Die Augenöffnung ist   $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 - g_1)$.
*$ö_{\rm norm}$  ist also größer als beim AMI–Code und auch wie beim vergleichbaren Binäsystem.
*Nachteilig gegenüber dem AMI–Code ist allerdings, dass er nicht gleichsignalfrei ist.

==Versuchsdurchführung==
<br>
[[File:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer  ('''1''', ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für  $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. Wählen Sie hierfür &bdquo;Einzelschritt”. }}

::* Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t)$  in Stücke der Dauer  $2T$  unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
::* In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle &bdquo;Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $2^5 = 32$  Teilstücke   ⇒   maximal  $32$  unterscheidbare Linien.
::* Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(1)'''. Zusätzlich gilt  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$  und  $p_{\rm U}$.}}

::* $ö_{\rm norm}= 0.542$  zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt  $ö_{\rm norm}= 1$.
::* Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$  erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
::* Die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  bezieht sich allein auf die &bdquo;ungünstigsten Folgen”, bei &bdquo;Gauß” z. B.  $-1, -1, +1, -1, -1$.
::* Andere Folgen werden weniger verfälscht   ⇒   die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$  (beschreibt den &bdquo;''Worst Case''”).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.}}

::* Der minimale Wert  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  ergibt sich für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch  '''(2)'''  von  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  auf  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$  an.
::* Dies wird aber durch die größere Augenöffnung  $ö_{\rm norm}= 0.91$  gegenüber  $ö_{\rm norm}= 0.542$  mehr als ausgeglichen  $($Vergrößerungsfaktor $\approx 1.68)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Für welche Grenzfrequenzen  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.}}

::* Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von  $50\%$.
::* Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss dann zufällig erfolgen, auch bei geringem Rauschen  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  sowie &bdquo;Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge  $ö_{\rm norm}= 1.$
::* Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
::* Dieser Wert ist um den Faktor  $15$  besser als in '''(3)'''.   Aber:  Bei  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(5)'''. Variieren Sie nun  $T_{\rm E}/T$  im Bereich zwischen  $0.5$  und  $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Für  $T_{\rm E}/T < 1$  gilt weiterhin  $ö_{\rm norm}= 1$. Aber  $\sigma_{\rm norm}$  wird größer, zum Beispiel  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  für  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   das Filter ist zu breitbandig!
::* Für  $T_{\rm E}/T > 1$  ergibt sich im Vergleich zu  '''(5)'''  ein kleineres  $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet.  $T_{\rm E}/T =1.25$:  $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$  sowie &bdquo;Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere  $r_f$–Werte. }}

::* Im Gegensatz zu  '''(6)'''  ist hier der Grundimpuls für  $|t|>T$  nicht Null, aber  $g_d(t)$  hat äquidistane Nulldurchgänge:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   '''Nyquistsystem'''.
::* Alle  $32$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle  $r_f$  maximal   ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
::* Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit  $r_f$  zu und ist  $r_f = 1$  maximal gleich  $T$   ⇒   Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(7)'''. Variieren Sie nun  $r_f$  im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
::* $ö_{\rm norm}= 1$  gilt stets. Dagegen zeigt  $\sigma_{\rm norm}$  eine leichte Abhängigkeit von  $r_f$.  DasMinimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  ergibt sich für  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
::* Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß  '''(7)'''  &bdquo;Matched–Filter–Empfänger” ist  $p_{\rm U}$  dreimal so groß, obwohl  $\sigma_{\rm norm}$  nur um ca.  $5\%$  größer ist.
::* Der größere  $\sigma_{\rm norm}$–Wert geht auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurück, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  auszugleichen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  und  $12 \ {\rm dB}$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* Es gibt nun drei Augenöffnungen. Gegenüber  '''(5)'''  ist also  $ö_{\rm norm}$  um den Faktor  $3$  kleiner,  $\sigma_{\rm norm}$  dagegen nur um etwa den Faktor  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
::* Für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  ergibt sich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  und für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  nur mehr  $0.59\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Für die restlichen Aufgaben gelte stets  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Betrachten Sie das Augendiagramm für  $M=4 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.5$. }}

::* In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle &bdquo;Fünf–'''Symbol'''–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $4^5 = 1024$  Teilstücke   ⇒   maximal  $1024$  unterscheidbare Linien.
::* Alle  $1024$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur vier Punkte:  $ö_{\rm norm}= 0.333$. $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  ist etwas größer als in  '''(9)'''  ⇒   ebenso  $p_{\rm U} \approx 1\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  und variieren Sie  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.   Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  Kompromiss zwischen  $ö_{\rm norm}= 0.312$  und  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
::* Bei zu kleiner Grenzfrequenz dominieren die Impulsinterferenzen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
::* Bei zu großer Grenzfrequenz dominiert das Rauschen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
::* Aus dem Vergleich mit  '''(9)'''  erkennt man:  '''Bei Quaternärcodierung ist es günstiger, Impulsinterferenzen zuzulassen'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (AMI-Code), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? Interpretation. }}
::* Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist in beiden Fällen gleich. Die Abtastwerte sind jeweils  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
::* Beim AMI–Code gibt es zwei Augenöffnungen mit je  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  Beim Binärcode:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
::* Die AMI–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Die Symbole  $+1$  und  $-1$  wechseln sich ab   ⇒   es gibt keine lange  $+1$–Folge und keine lange  $-1$–Folge.
::* Darin liegt der einzige Vorteil des AMI–Codes:  Dieser kann auch bei einem gleichsignalfreien Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$  angewendet werden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(12)''', zudem  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Analysieren Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des AMI–Codes. }}
::* Trotz kleinerem  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  hat der AMI–Code eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2\%$  als der Binärcode:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
::* Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$. Beim Binärcode:  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  ist das Auge geöffnet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (Duobinärcode), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? }}
::* Redundanzfreier Binärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\% $       Duobinärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\% $.
::*Insbesondere bei kleinem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  liefert der Duobinärcode gute Ergebnisse, da die Übergänge von  $+1$  nach  $-1$  (und umgekehrt) im Auge fehlen.
::*Selbst mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  ist das Auge noch geöffnet. Im Gegensatz zum AMI–Code  ist aber &bdquo;Duobinär” bei gleichsignalfreiem Kanal nicht anwendbar.

==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Anleitung_Auge.png|right|600px]]
    '''(A)'''     Auswahl:   Codierung <br>                   (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    '''(B)'''     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls<br>                    (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    '''(C)'''     Prametereingabe zu  '''(B)'''<br>                   (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    '''(D)'''     Steuerung der Augendiagrammdarstellung<br>                   (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    '''(F)'''     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    '''(G)'''     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    '''(H)'''     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    '''( I )'''     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    '''(J)'''     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  '''(K)'''

    '''(K)'''     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    '''(L)'''     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    '''(M)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(N)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(O)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
<br clear=all>
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|eyeDiagram}}

Applets:Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit

2020-08-20T12:41:19Z

Tasnad:

Applets:Augendiagramm und BER (Applet)

2020-08-20T12:41:12Z

Tasnad:

Augendiagramm und BER (Applet)

2020-08-20T12:41:03Z

Tasnad:

Applets:Zur Verdeutlichung digitaler Filter

2020-08-20T12:38:20Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|digitalFilters}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Das Applet behandelt die Systemkomponenten  &bdquo;Abtastung”  und  &bdquo;Signalrekonstruktion”, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der  [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]  $({\rm PCM})$  von großer Wichtigkeit sind.  Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.  Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte  $x(\nu \cdot T_{\rm A})$  des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$.

*Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal  $x(t)$  das zeitdiskrete (abgetastete) Signal  $x_{\rm A}(t)$  gewonnen.  Man nennt diesen Vorgang  '''Abtastung'''  oder  '''A/D–Wandlung'''.
*Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand  $T_{\rm A}$  eingezeichnet.
*Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal  $y_{\rm A}(t)$  das zeitkontinuierliche Sinkensignal  $y(t)$  erzeugt   ⇒   '''Signalrekonstruktion'''  oder  '''D/A–Wandlung'''  entsprechend dem Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$.

Das Applet berücksichtigt nicht die PCM–Blöcke  &bdquo;Quantisierung”,  &bdquo;Codierung / Decodierung” und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen. 

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Allgemeines Blockschaltbild===

Jedes Signal  $x(t)$  kann an einem Rechner nur durch die Folge  $〈x_ν〉$  seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei  $x_ν$  für  $x(ν · T_{\rm A})$  steht.
[[File:P_ID552__Sto_T_5_2_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild eines digitalen (IIR–) Filters  $M$–Ordnung]]
*Der zeitliche Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das  [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]  nach oben begrenzt.
*Wir beschränken uns hier auf kausale Signale und Systeme, das heißt, es gilt  $x_ν \equiv 0$  für  $ν \le 0$.

*Um den Einfluss eines linearen Filters mit Frequenzgang  $H(f)$  auf das zeitdiskrete Eingangssignal  $〈x_ν〉$  zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben.  Im Zeitbereich geschieht das mit der zeitdiskreten Impulsantwort  $〈h_ν〉$.
*Rechts sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.  Für die Abtastwerte des Ausgangssignals  $〈y_ν〉$  gilt somit:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Hierzu ist Folgendes zu bemerken:
*Der Index  $\nu$  bezieht sich auf Folgen, zum Beispiel   Eingang $〈x_ν〉$  und Ausgang   $〈y_ν〉$.
*Den Index  $\mu$  verwenden wir dagegen für die Kennzeichnung der  $a$– und  $b$–Filterkoeffizienten.
*Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Ausgangs  $y_ν$  vom aktuellen Eingang  $x_ν$  und von den  $M$  vorherigen Eingangswerten  $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}.$
*Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von  $y_ν$  durch die vorherigen Werte  $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$  am Filterausgang.  Sie gibt den rekursiven Teil des Filters an.
*Den ganzzahligen Parameter  $M$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des digitalen Filters.  Im Programm ist dieser Wert auf  $M\le 2$  begrenzt.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$ 

'''(1)'''  Man bezeichnet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  als die  '''zeitdiskrete Impulsantwort'''  $〈h_ν〉$, wenn am Eingang die  &bdquo;zeitdiskrete Diracfunktion”  anliegt:
:$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
'''(2)'''  Man bezeichnet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  als die  '''zeitdiskrete Sprungantwort'''  $〈\sigma_ν〉$, wenn am Eingang die  &bdquo;zeitdiskrete Sprungfunktion”  anliegt:
:$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$
'''(3)'''  Man bezeichnet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  als die  '''zeitdiskrete Recheckantwort'''  $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$, wenn am Eingang die  &bdquo;zeitdiskrete Rechteckfunktion”  anliegt:
:$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
:In Hochkommata angegeben sind hier der Beginn der Einsen  $(2)$  und die Stelle der letzten Eins  $(4)$.
}}

===Nichtrekursives Filter   ⇒   FIR–Filter ===

{{BlaueBox|TEXT=
[[File:P_ID553__Sto_T_5_2_S2_neu.png|right |frame| Nichtrekursives digitales Filter  $($FIR–Filter$)$  $M$–Ordnung]]
$\text{Definition:}$  Sind alle Rückführungskoeffizienten  $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem  '''nichtrekursiven Filter'''.  Insbesondere in der englischsprachigen Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung  '''FIR Filter'''  (''Finite Impulse Response'') gebräuchlich.

Für die Ordnung  $M$  gilt:

*Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt nur vom aktuellen und den  $M$  vorherigen Eingangswerten ab:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$
*Zeitdikrete Impulsantwort mit $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:
:$$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Ein Zweiwegekanal, bei dem
*das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um  $2\ \rm µ s$  verzögert ankommt, und
*in  $4\ \rm µ s$  Abstand – also absolut zur Zeit  $t = 6\ \rm µ s$  – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:
:$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Betrachtet wird ein nichtrekursives Filter mit den Filterkoeffizienten  $a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$ 
[[File:P_ID608__Sto_Z_5_3.png|right|frame|Nichtrekursives Filter]]

'''(1)'''   Die herkömmliche Impulsantwort lautet:   $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ <br>        ⇒   Zeitdiskrete Impulsantwort:  $〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$

'''(2)'''   Der Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$.  Durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
:$$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }\cdot }f \cdot T_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }fT_{\rm A} }\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}H(f = 0) = 4.$$

'''(3)'''   Daraus folgt:  Die  '''zeitdiskrete Sprungantwort'''  $〈\sigma_ν〉$  tendiert für große  $\nu$  gegen  $4$.

'''(4)'''   Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  mit  $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  ergibt
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;2,\;1,\;0,\;1,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

'''(5)'''   Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  mit  $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  ergibt
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;3,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$}}

===Rekursives Filter   ⇒   IIR–Filter ===

{{BlaueBox|TEXT=
[[File:P_ID607__Sto_A_5_3.png|right|frame|Rekursives Filter erster Ordnung]]
$\text{Definition:}$ 
*Ist zumindest einer der Rückführungskoeffizienten  $b_{\mu} \ne 0$, so spricht von einem  '''rekursiven Filter'''  (siehe rechte Grafik).  Insbesondere in der englischsprachigen Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung  '''IIR Filter'''  (''Infinite Impulse Response'') gebräuchlich.  Dieses Filter wird in der Verrsuchsdurchführung ausführlich behandelt.

*Sind zusätzlich alle Vorwärtskoeffizienten identisch  $a_\mu = 0$  mit Ausnahme von  $a_0$,   so liegt ein  '''rein rekursives Filter'''  vor   (siehe linke Grafik).

[[File:P_ID554__Sto_T_5_2_S3_neu.png|left|frame| Rein rekursives Filter erster Ordnung]] }}

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall  &bdquo;Rein rekursives Filter erster Ordnung”.  Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:
*Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$
*Dies zeigt die folgende Rechung:
:$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + a_0 \cdot {b_1} ^2 \cdot x_{\nu - 2} + {b_1} ^3 \cdot y_{\nu - 3} = \text{...}. $$

*Die zeitdiskrete Impulsantwort ist definitionsgemäß der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei  $t =0$  anliegt.
:$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit  $M = 1$  bis ins Unendliche:
*Aus Stabilitätsgründen muss  $b_1 < 1$  gelten.
*Bei  $b_1 = 1$  würde sich die Impulsantwort  $h(t)$  bis ins Unendliche erstrecken und bei  $b_1 > 1$  würde  $h(t)$  sogar bis ins Unendliche anklingen.
*Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor  $b_1$  kleiner als die vorherige Diraclinie:
:$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
[[File:Sto_T_5_2_S3_version2.png |frame| Zeitdiskrete Impulsantwort | rechts]]
$\text{Beispiel 3:}$  Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.
*Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
*Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils  $b_1 = 0.6$.
}}

===Rekursives Filter als Sinus–Generator===
[[File:P_ID622__Sto_A_5_4.png|right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur '''ändern auf''' $T_{\rm A}$]]
Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist, wenn die Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  eine (zeitdiskrete) Diracfunktion ist:
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu \cdot T_{\rm A} \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Die fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $Z$-Transformation]:
:$$Z \{ {\sin ( {\nu T{\rm A}\cdot \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right) + 1}}.$$
Nach Umsetzung dieser Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung erhält man folgende Filterkoeffizienten:
:$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad b_2 = - 1.$$

*Auf die Filterkoeffizienten  $a_0$  und  $a_2$  kann verzichtet werden und  $b_2=-1$  hat einen festen Wert. 
*Die Kreisfrequenz  $\omega_0$  der Sinusschwingung wird also nur durch  $a_0$  und  $a_0$  festelegt.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$  Es gelte  $a_1 = 0.5$,  $b_1 = \sqrt 3$,  $x_0 = 1$  und  $x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$.

'''(1)'''  Dann gilt für die Ausgangswerte  $y_\nu$  zu den Zeitpunkten  $\nu \ge 0$:<br>
:*  $y_0 = 0;$
:*  $y_1 = 0.5$                                                                                         ⇒  die &bdquo;$1$” am Eingang wirkt sich wegen  $a_0= 0$  am Ausgang erst zum Zeitpunkt  $\nu = 1$  aus;
:*  $y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$                             ⇒   bei  $\nu = 2$  wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam;
:*  $y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$          ⇒  für  $\nu \ge 2$  ist das Filter rein rekursiv:     $y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$;
:*  $y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$
:*  $y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$
:*  $y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$
:*  $y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$

'''(2)'''  Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses erhält man für große  $\nu$–Werte:     $y_\nu = y_{\nu - 12} $   ⇒   $T_0/T_{\rm A}= 12.$ }}

==Versuchsdurchführung==

[[File:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer  '''1'''  ...  '''10'''  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

'''Noch ersetzen'''
In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:
*'''Rot''':     Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  (im Applet rot gezeichnet),
*'''Blau''':   Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  (im Applet blau gezeichnet).
'''bis hierher'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Die Filterkoeffizienten seien  $a_0=0.25$,  $a_1=0.5$, $a_2=0.25$,  $b_1=b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  <br>        Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$,  die Sprungantwort  $〈\sigma_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  jeweils in zeitdiskreter Darstellung.}}

:*  Aufgrund der fehlenden  $b$–Koeffizienten handelt es sich um ein nichtrekursives digitales Filter   ⇒   '''FIR–Filter'''  (''Finite impulse Response'').
:*  Die Impulsantwort setzt sich aus  $M+1=3$  Diraclinien gemäß den  $a$–Koeffizienten zusammen:    $〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $.
:*  Die Sprungantwort lautet:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $.  Der Endwert ist gleich dem Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$.
:*  Die Verzerrungen bei Anstieg und Abfall erkennt man auch aus der Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Wie unterscheiden sich die Ergebnisse mit  $a_2=-0.25$? }}

:*  Unter Berücksichtigung von  $H(f=0)= 0.5$  ergeben sich vergleichbare Folgen   ⇒   Sprungantwort:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Nun seien die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=0.9$  sowie  $a_1=a_2= b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$.}}

:*  Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter   ⇒   '''IIR–Filter'''  (''Infinite impulse Response'')  erster Ordnung.  Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass.
:*  Ausgehend von  $h_0= 1$  gilt  $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$,  $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$,  $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$,  usw.   ⇒   $〈h_ν〉$  reicht bis ins Unendliche.
:*  Impulsantwort  $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$  mit  $T$:  Schnittpunkt $($Tangente bei  $t=0$, Abszisse$)$   ⇒   $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$  mit  $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$.
:*  '''Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???''' 1.0 0.9048 0.8187 ...

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Die Filtereinstellung wird beibehalten.  Interpretieren Sie die Sprungantwort  $〈h_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$.  Welcher Wert ergibt sich für  $H(f=0)$?}}

:*  Die Sprungantwort ist das Ingral über die Impulsantwort  $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$   ⇒   $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$   ⇒   $\sigma_0=1$,  $\sigma_1=1.9$,  $\sigma_2=2.71$, ...
:*  Für große $\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)= 10$:  $\sigma_{40}=9.867$,  $\sigma_{50}=9.954$,  $\sigma_\infty=10$.
:* Die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  steigt mit einer Verzögerung von $2$ in gleicher Weise an wie  $〈\sigma_ν〉$.  Im Bereich  $\nu \ge 8$  fallen die  $\rho_ν$– Werte exponentiell ab.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wir betrachten weiterhin das Filter mitnbsp; $a_0=1$,  $b_1=0.9$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  Welche Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$ für die Eingangsfolge  $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ -0.5〉$? <br>        ''Hinweis'':  Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist.}}

:*  Man behilft sich, indem man den Koeffizienten  $a_2=-0.5$  setzt und dafür die Eingangsfolge auf   $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ 0.,\ \text{ ...}〉$   ⇒   „Diracfunktion” reduziert.
:*  Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters $($mit  $a_2=0)$  wurde in Aufgabe  '''(3)'''  ermittelt:   $h_0= 1$,   $h_1= 0.9$,   $h_2= 0.81$,   $h_3= 0.729$,   $h_4= 0.646$.  
:*  Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit:   $y_0 = h_0= 1$,   $y_1= h_1= 0.9$,   $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$,   $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$,   $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.  
:*  Vorsicht:  Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter $($mit  $a_2=-0.5)$  und nicht auf das eigentliche Filter $($mit  $a_2=0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=1$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  }}

:*  '''Das System ist instabil''':   Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang  $($zur Zeit  $t=0)$  bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe.
:*  Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=-1$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  }}
:*  Im Gegensatz zur Aufgabe  '''(6)'''  sind hier die Gewichte der Impulsantwort  $〈h_ν〉$  nicht konstant gleich  $1$, sondern alternierend  $\pm 1$.  Das System ist ebenfalls instabil.
:*  Bei der Sprunganwort  $〈\sigma_ν〉$  wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen  $0$  $($bei geradem $\nu)$  und  $1$  $($bei ungeradem $\nu)$  ab.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Wir betrachten den  &bdquo;Sinusgenerator”:  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1.$  Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in  $\text{Beispiel 4}$. <br>        Wie beinflussen die Parameter  $a_1$  und  $b_1$  die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und die Amplitude  $A$  der Sinusfunktion? }}
:*  $〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$   ⇒   $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$   ⇒   '''Sinus''',  Periode  $T_0/T_{\rm A}= 12$,  Amplitude  $1$.
:*  Die Vergrößerung/Verkleinerung von  $b_1$  führt zur größeren/kleineren Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und zur größeren/kleineren Amplitude  $A$.  Es muss  $b_1 < 2$  gelten. '''Stimmt das?'''
:*  $a_1$  beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer.  Für  $a_1$  gibt es keine Wertebegrenzumg.  Bei negativem  $a_1$  ergibt sich die Minus–Sinusfunktion.
:*  '''Gibt es hier keine Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Die Grundeinstellung bleibt erhalten.  Mit welchen  $a_1$  und  $b_1$ ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16$  und Amplitude  $A=1$? }}
:*  Durch Probieren erreicht man mit  $b_1= 1.8478$  tatsächlich die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16.$  Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf  $A=1.307$.
:*  Die Anpassung des Parameters   $a_1= 0.5/1.307=0.3826$  führt dann zur gewünschten Amplitude  $A=1$.
:*  Oder man kann das auch wie im Beispiel berechnen:  $b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$,     $a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Wir gehen weiter vom &bdquo;Sinusgenerator” aus.  Welche Modifikationen muss man vornehmen, um damit einen &bdquo;Cosinus” zu generieren?}}
:*    Mit  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1$  sowie  $〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$  ist die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  das zeitdiskrete Analogon der Sprungantwort  $\sigma(t)$.
:*  '''Hier noch auf die Diskrepanz zu sigma(t) wertkontinuierlich eingehen. Es fehlen noch einige Statements'''

==Zur Handhabung des Applets==
[[File:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    '''(B)'''     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    '''(C)'''     Vorauswahl für roten Parametersatz

    '''(D)'''     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    '''(E)'''     Graphische Darstellung der Verteilungen

    '''(F)'''     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    '''(G)'''     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    '''(H)'''     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    '''( I )'''     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung
<br clear=all>
<br>'''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
*Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2020 wurde das Programm von [[Andre Schulz]] (Bachelorarbeit LB, Betreuer: [[Benedikt Leible]] und [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) unter &bdquo;HTML5” neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|digitalFilters}}

Applets:Digital Filters

2020-08-20T12:38:12Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|digitalFilters_en}}

==Applet Description==
<br>
The applet should clarify the properties of digital filters, whereby we confine ourselves to filters of the order $M=2$. Both non-recursive filters $\rm (FIR$,  ''Finite Impulse Response''$)$  as well as recursive filters $\rm (IIR$,  ''Infinite Impulse Response''$)$.

The input signal $x(t)$ is represented by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. The output sequence $〈y_ν〉$is calculated, i.e. the discrete-time representation of the output signal $y(t)$.

*$T_{\rm A}$ denotes the time interval between two samples.
*We also limit ourselves to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ and $y_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.

It should also be noted that we denote the initial sequence $〈y_ν〉$ as

'''(1)''' the '''discrete-time impulse response''' $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:         $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉,$

'''(2)''' the '''time-discrete step response''' $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:         $〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉,$

'''(3)''' the '''discrete-time rectangle response''' $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangle function” is present at the input:     $〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉;$<br>        In quotation marks are the beginning of the ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$.

==Theoretical background==
<br>
===General block diagram===

Each signal $x(t)$ can only be represented on a computer by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$.
[[File:P_ID552__Sto_T_5_2_S1_neu.png|right |frame| Block diagram of a digital (IIR–) filter $M$–order]]
*The time interval $T_{\rm A}$ between two samples is limited by the [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|sampling theorem]].
*We limit ourselves here to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.

*In order to determine the influence of a linear filter with frequency response $H(f)$ on the time-discrete input signal $〈x_ν〉$, it is advisable to describe the filter discrete-time. In the time domain, this happens with the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$.
*On the right you can see the corresponding block diagram. The following therefore applies to the samples of the output signal $〈y_ν〉$ thus holds:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

The following should be noted here:
*The index $\nu$ refers to sequences, for example at the input $〈x_ν〉$ and output $〈y_ν〉$.
*On the other hand, we use the index $\mu$ to identify the $a$ and $b$ filter coefficients.
*The first sum describes the dependency of the current output $y_ν$ on the current input $x_ν$ and on the $M$ previous input values $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}$.
*The second sum indicates the influence of $y_ν$ by the previous values $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$ at the filter output. It specifies the recursive part of the filter.
*The integer parameter $M$ is called the order of the digital filter. In the program, this value is limited to $M\le 2$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 

'''(1)'''  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the '''discrete-time impulse response''' $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:
:$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
'''(2)'''  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the '''time-discrete step response''' $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:
:$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$
'''(3)'''  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the '''discrete-time rectangle response'''  $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangular function” is present at the input:
:$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
:The beginning of ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$ are given in single quotes.
}}

===Non-recursive filter   ⇒   FIR–filter ===

{{BlaueBox|TEXT=
[[File:P_ID553__Sto_T_5_2_S2_neu.png|right |frame| Non-recursive digital filter  $($FIR filter$)$  $M$ order]]
$\text{Definition:}$ If all feedback coefficients $b_{\mu} = 0$ , one speaks of one '''non-recursive filter'''. In the English language literature, the term '''FIR filter''' (''Finite Impulse Response'') is also used for this.

The following applies to the order $M$ applies:

*The output value $y_ν$ depends only on the current and the previous $M$ input values:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$
*Time-discrete impulse response with $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:
:$$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$  A two-way channel where
*the signal on the main path arrives undamped compared to the input signal but is delayed by $2\ \rm µ s$ arrives with a delay, and
*at $4\ \rm µ s$ distance – so absolutely at time $t = 6\ \rm µ s$ – follows an echo with half the amplitude,

can be simulated by a non-recursive filter according to the sketch above, whereby the following parameter values must be set:
:$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ Consider a non-recursive filter with the filter coefficients $a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$
[[File:P_ID608__Sto_Z_5_3.png|right|frame|Nichtrekursives Filter]]

'''(1)''' The conventional impulse response is: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ <br>        ⇒   discrete-time impulse response: $〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$

'''(2)'''   The frequency response $H(f)$ is the Fourier transform of $h(t)$. By applying the displacement theorem:
:$$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }\cdot }f \cdot T_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }fT_{\rm A} }\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}H(f = 0) = 4.$$

'''(3)'''   It follows that the '''time-discrete step response''' $〈\sigma_ν〉$ tends to become $4$ for large $\nu$.

'''(4)'''   The discrete-time convolution of the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  with $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  results
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;2,\;1,\;0,\;1,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

'''(5)'''   The discrete-time convolution of the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  with  $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  results
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;3,\;2,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$}}

===Recursive filter   ⇒   IIR filter ===

{{BlaueBox|TEXT=
[[File:P_ID607__Sto_A_5_3.png|right|frame|First order recursive filter]]
$\text{Definition:}$ 
*If at least one of the feedback coefficients is $b_{\mu} \ne 0$, then this is referred to as a '''recursive filter''' (see graphic on the right). The term '''IIR filter'''  (''Infinite Impulse Response'') is also used for this, particularly in the English-language literature. This filter is dealt with in detail in the trial implementation.

*If all forward coefficients are also identical $a_\mu = 0$ with the exception of $a_0$, a '''purely recursive filter''' is available (see graphic on the left).

[[File:P_ID554__Sto_T_5_2_S3_neu.png|left|frame| Purely recursive first order filter]] }}

In the following we restrict ourselves to the special case “purely recursive filter of the first order”. This filter has the following properties:
*The output value $y_ν$ depends (indirectly) on an infinite number of input values:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$
*This shows the following calculation:
:$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + a_0 \cdot {b_1} ^2 \cdot x_{\nu - 2} + {b_1} ^3 \cdot y_{\nu - 3} = \text{...}. $$

*By definition, the discrete-time impulse response is the same as the output sequence if there is a single "one" at $t =0$ at the input.
:$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Conclusion:}$  With a recursive filter, the (time-discrete) impulse response extends to infinity with $M = 1$:
*For reasons of stability, $b_1 < 1$ must apply.
*With $b_1 = 1$ the impulse response $h(t)$ would extend to infinity and with $b_1 > 1$ the variable $h(t)$ would even continue to infinity.
*With such a recursive filter of the first order, each individual Dirac line is exactly the factor $b_1$ smaller than the previous Dirac line:
:$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
[[File:Sto_T_5_2_S3_version2.png |frame| Discrete-time impulse response | rechts]]
$\text{Example 3:}$  The graphic opposite shows the discrete-time impulse response $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$ of a recursive filter of the first order with the parameters $a_0 = 1$ and $b_1 = 0.6$.
*The (time-discrete) course is exponentially falling and extends to infinity.
*The ratio of the weights of two successive Diracs is $b_1 = 0.6$.
}}

===Recursive filter as a sine generator===
[[File:EN_Sto_A_5_4_version2.png|right|frame|Proposed filter structure]]

The graphic shows a second-order digital filter that is suitable for generating a time-discrete sine function on a digital signal processor (DSP) if the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  a (time-discrete) Dirac function is:
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu \cdot T_{\rm A} \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

The five filter coefficients result from the:
[https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $Z$ transformation]:
:$$Z \big \{ {\sin ( {\nu T{\rm A}\cdot \omega _0 } )} \big \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right) + 1}}.$$
After implementing this equation using a second-order recursive filter, the following filter coefficients are obtained:
:$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad b_2 = - 1.$$

*The filter coefficients $a_0$ and $a_2$ can be omitted and $b_2=-1$ has a fixed value.
*The angular frequency $\omega_0$ of the sine wave is therefore only determined by $a_0$ and $a_0$.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$  Let $a_1 = 0.5$, $b_1 = \sqrt 3$, $x_0 = 1$ and $x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$.

'''(1)'''  Then the following applies to the initial values $y_\nu$ at times $\nu \ge 0$:<br>
:*  $y_0 = 0;$
:*  $y_1 = 0.5$                                                                                         ⇒  the &bdquo;$1$” at the input only has an effect at time $\nu = 1$ because of $a_0= 0$ at the output;
:*  $y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$                             ⇒   with $\nu = 2$ the recursive part of the filter also takes effect;
:*  $y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$          ⇒  for  $\nu \ge 2$  the filter is purely recursive:     $y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$;
:*  $y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$
:*  $y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$
:*  $y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$
:*  $y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$

'''(2)'''  By continuing the recursive algorithm one gets for large $\nu$–values:     $y_\nu = y_{\nu - 12}$   ⇒   $T_0/T_{\rm A}= 12.$ }}

==Exercises==

[[File:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*First select the number '''1''' ... '''10''' of the task to be processed.
*A task description is displayed.  The parameter values are adjusted.
*Solution after pressing  "Sample Solution".
*The number '''0''' corresponds to a "reset":  Same setting as when the program was started.
<br clear=all>

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  The filter coefficients are  $a_0=0.25$,  $a_1=0.5$,  $a_2=0.25$,  $b_1=b_2=0$.  Which filter is it?<br>        Interpret the impulse response  $〈h_ν〉$,  the step response  $〈\sigma_ν〉$  and the rectangular response  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$, each in a time-discrete representation.}}

:*  Due to the missing  $b$ coefficients, it is a non-recursive digital filter ⇒   '''FIR filter''' (''Finite Impulse Response'').
:*  The impulse response consists of  $M+1=3$  Dirac lines according to the  $a$  coefficients:  $〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $.
:*  The step response is:  $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $.  The final value is equal to the DC signal transfer factor  $H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$.
:*  The distortions with rise and fall can also be seen from the rectangular response  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  How do the results differ with  $a_2=-0.25$? }}

:*  Taking into account  $H(f=0)= 0.5$  there are comparable consequences   ⇒   Step response:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Now let the filter coefficients  $a_0=1$,  $b_1=0.9$  and  $a_1=a_2= b_2=0$.  Which filter is it?  Interpret the impulse response  $〈h_ν〉$.}}

:*  It is a recursive digital filter   ⇒   '''IIR filter'''  (''Infinite Impulse Response'')  of the first order.  It is the discrete-time analogon of the RC low pass.
:*  Starting from  $h_0= 1$ is $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$,  $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$,  $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$,  and so on   ⇒   $〈h_ν〉$  extends to infinity.
:*  Impulse response  $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$  with  $T$:   intersection $($Tangente bei  $t=0$, Abscissa$)$   ⇒   $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$  with  $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$.
:*  So:  The values of the continuous time differ from the discrete-time impulse response.  This results in the values  $1.0, \ 0.9048,\ 0.8187$ ...

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  The filter setting is retained.  Interpret the step response  $〈h_ν〉$  and the rectangular response  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$.  What is the value for  $H(f=0)$?}}

:*  The step response is the integral over the impulse response:   $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$   ⇒   $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$   ⇒   $\sigma_0=1$,  $\sigma_1=1.9$,  $\sigma_2=2.71$, ...
:*  For large  $\nu$  values, the (time-discrete) step response tends to the DC signal transmission factor  $H(f=0)= 10$:  $\sigma_{40}=9.867$,  $\sigma_{50}=9.954$,  $\sigma_\infty=10$.
:* The rectangular response  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  increases with a delay of  $2$  in the same way as  $〈\sigma_ν〉$.  In the area  $\nu \ge 8$  the  $\rho_ν$  values decrease exponentially.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  We continue to consider the filter with  $a_0=1$,  $b_1=0.9$,  $a_1=a_2=b_2=0$.  What is the output sequence  $〈y_ν〉$  for the input sequence  $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ -0.5〉$? <br>        ''Note'': The task can also be solved with this program, although the constellation considered here cannot be set directly.}}

:*  You can help yourself by setting the coefficient  $a_2=-0.5$  and reducing the input sequence  to $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ \text{ ...}〉$   ⇒   „Dirac function”.
:*  The actual impulse response of this filter  $($with  $a_2=0)$  was determined in task  '''(3)''':   $h_0= 1$,   $h_1= 0.9$,   $h_2= 0.81$,   $h_3= 0.729$,   $h_4= 0.646$.  
:*  The solution to this problem is:  $y_0 = h_0= 1$,   $y_1= h_1= 0.9$,   $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$,   $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$,   $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.  
:*  Caution:  Step response and rectangular response now refer to the fictitious filter  $($with  $a_2=-0.5)$  and not to the actual filter  $($with  $a_2=0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Consider and interpret the impulse response and the step response for the filter coefficients  $a_0=1$,  $b_1=1$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  }}

:*  '''The system is unstable''':   A time-discrete Dirac function at input $($at time  $t=0)$  causes an infinite number of Diracs of the same height in the output signal.
:*  A discrete-time step function at the input causes an infinite number of Diracs with monotonically increasing weights (to infinity) in the output signal.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Consider and interpret the impulse response and step response for the filter coefficients  $a_0=1$,  $b_1=-1$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  }}
:*  In contrast to exercise  '''(6)''', the weights of the impulse response  $〈h_ν〉$  are not constantly equal to  $1$, but alternating  $\pm 1$.  The system is unstable too.
:*  With the jump response  $〈\sigma_ν〉$, however, the weights alternate between  $0$  $($with even $\nu)$  and  $1$  $($with odd $\nu)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  We consider the "sine generator":  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1.$  Compare the impulse response with the calculated values in  $\text{Example 4}$. <br>        How do the parameters $a_1$ and $b_1$ influence the period duration  $T_0/T_{\rm A}$  and the amplitude  $A$  of the sine function?}}
:*  $〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$   ⇒   $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$   ⇒   '''sine''',  period  $T_0/T_{\rm A}= 12$,  amplitude  $1$.
:*  The increase/decrease of $b_1$  leads to the larger/smaller period  $T_0/T_{\rm A}$  and the larger/smaller amplitude  $A$.  $b_1 < 2$ must apply.
:*  $a_1$  only affects the amplitude, not the period.  There is no value limit for  $a_1$. If  $a_1$  is negative, the minus sine function results.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  The basic setting is retained.  Which  $a_1$  and  $b_1$  result in a sine function with period  $T_0/T_{\rm A}=16$  and amplitude  $A=1$?}}
:*  Trying with  $b_1= 1.8478$  actually achieves the period duration  $T_0/T_{\rm A}=16$.  However, this increases the amplitude to  $A=1.307$.
:*  Adjusting the parameter  $a_1= 0.5/1.307=0.3826$  then leads to the desired amplitude  $A=1$.
:*  Or you can calculate this as in the example:  $b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$,     $a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  We continue with the  "sine generator".  What modifications do you have to make to generate a  "cosine"?}}
:*  With  $a_1=0.3826$,  $b_1=1.8478$,  $b_2=-1$  and  $〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$  is the output sequence  $〈y_ν〉$  the time-discrete analogon of the step response  $\sigma(t)$.
:*  The step response is the integral over   $\sin(\pi\cdot\tau/8)$   within the limits of   $\tau=0$   to   $\tau=t$   ⇒   $\sigma(t)=-8/\pi\cdot\cos(\pi\cdot\tau/8)+1$.
:*  If you change   $a_1=0.3826$   on   $a_1=-0.3826\cdot\pi/8=-0.1502$, then   $\sigma(t)=\cos(\pi\cdot\tau/8)-1$   ⇒   Values between  $0$  and  $-2$.
:*  Would you still in the block diagram   $z_\nu=y_\nu+1$   add, then   $z_\nu$   a time-discrete cosine curve with   $T_0/T_{\rm A}=16$   and   $A=1$.

==Applet Manual==
<br>

==About the authors==
<br>
This interactive calculation tool was designed and implemented at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite chair for communications engineering] at the [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The first version was created in 2005 by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] as part of her diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2020 the program was redesigned by [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Andr.C3.A9_Schulz_.28Bachelorarbeit_LB_2020.29|André Schulz]] (Bachelor thesis LB, Supervisors: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Benedikt_Leible.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2017.29|Benedikt Leible]] and [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) via &bdquo;HTML5”.

==Once again: Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLink|digitalFilters_en}}

Applets:Zur Verdeutlichung digitaler Filter

2020-08-20T12:38:03Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|digitalfilters}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Das Applet behandelt die Systemkomponenten  &bdquo;Abtastung”  und  &bdquo;Signalrekonstruktion”, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der  [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]  $({\rm PCM})$  von großer Wichtigkeit sind.  Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.  Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte  $x(\nu \cdot T_{\rm A})$  des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$.

*Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal  $x(t)$  das zeitdiskrete (abgetastete) Signal  $x_{\rm A}(t)$  gewonnen.  Man nennt diesen Vorgang  '''Abtastung'''  oder  '''A/D–Wandlung'''.
*Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand  $T_{\rm A}$  eingezeichnet.
*Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal  $y_{\rm A}(t)$  das zeitkontinuierliche Sinkensignal  $y(t)$  erzeugt   ⇒   '''Signalrekonstruktion'''  oder  '''D/A–Wandlung'''  entsprechend dem Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$.

Das Applet berücksichtigt nicht die PCM–Blöcke  &bdquo;Quantisierung”,  &bdquo;Codierung / Decodierung” und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen. 

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Allgemeines Blockschaltbild===

Jedes Signal  $x(t)$  kann an einem Rechner nur durch die Folge  $〈x_ν〉$  seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei  $x_ν$  für  $x(ν · T_{\rm A})$  steht.
[[File:P_ID552__Sto_T_5_2_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild eines digitalen (IIR–) Filters  $M$–Ordnung]]
*Der zeitliche Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das  [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]  nach oben begrenzt.
*Wir beschränken uns hier auf kausale Signale und Systeme, das heißt, es gilt  $x_ν \equiv 0$  für  $ν \le 0$.

*Um den Einfluss eines linearen Filters mit Frequenzgang  $H(f)$  auf das zeitdiskrete Eingangssignal  $〈x_ν〉$  zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben.  Im Zeitbereich geschieht das mit der zeitdiskreten Impulsantwort  $〈h_ν〉$.
*Rechts sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.  Für die Abtastwerte des Ausgangssignals  $〈y_ν〉$  gilt somit:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Hierzu ist Folgendes zu bemerken:
*Der Index  $\nu$  bezieht sich auf Folgen, zum Beispiel   Eingang $〈x_ν〉$  und Ausgang   $〈y_ν〉$.
*Den Index  $\mu$  verwenden wir dagegen für die Kennzeichnung der  $a$– und  $b$–Filterkoeffizienten.
*Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Ausgangs  $y_ν$  vom aktuellen Eingang  $x_ν$  und von den  $M$  vorherigen Eingangswerten  $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}.$
*Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von  $y_ν$  durch die vorherigen Werte  $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$  am Filterausgang.  Sie gibt den rekursiven Teil des Filters an.
*Den ganzzahligen Parameter  $M$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des digitalen Filters.  Im Programm ist dieser Wert auf  $M\le 2$  begrenzt.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$ 

'''(1)'''  Man bezeichnet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  als die  '''zeitdiskrete Impulsantwort'''  $〈h_ν〉$, wenn am Eingang die  &bdquo;zeitdiskrete Diracfunktion”  anliegt:
:$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
'''(2)'''  Man bezeichnet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  als die  '''zeitdiskrete Sprungantwort'''  $〈\sigma_ν〉$, wenn am Eingang die  &bdquo;zeitdiskrete Sprungfunktion”  anliegt:
:$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$
'''(3)'''  Man bezeichnet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  als die  '''zeitdiskrete Recheckantwort'''  $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$, wenn am Eingang die  &bdquo;zeitdiskrete Rechteckfunktion”  anliegt:
:$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
:In Hochkommata angegeben sind hier der Beginn der Einsen  $(2)$  und die Stelle der letzten Eins  $(4)$.
}}

===Nichtrekursives Filter   ⇒   FIR–Filter ===

{{BlaueBox|TEXT=
[[File:P_ID553__Sto_T_5_2_S2_neu.png|right |frame| Nichtrekursives digitales Filter  $($FIR–Filter$)$  $M$–Ordnung]]
$\text{Definition:}$  Sind alle Rückführungskoeffizienten  $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem  '''nichtrekursiven Filter'''.  Insbesondere in der englischsprachigen Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung  '''FIR Filter'''  (''Finite Impulse Response'') gebräuchlich.

Für die Ordnung  $M$  gilt:

*Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt nur vom aktuellen und den  $M$  vorherigen Eingangswerten ab:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$
*Zeitdikrete Impulsantwort mit $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:
:$$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Ein Zweiwegekanal, bei dem
*das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um  $2\ \rm µ s$  verzögert ankommt, und
*in  $4\ \rm µ s$  Abstand – also absolut zur Zeit  $t = 6\ \rm µ s$  – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:
:$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Betrachtet wird ein nichtrekursives Filter mit den Filterkoeffizienten  $a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$ 
[[File:P_ID608__Sto_Z_5_3.png|right|frame|Nichtrekursives Filter]]

'''(1)'''   Die herkömmliche Impulsantwort lautet:   $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ <br>        ⇒   Zeitdiskrete Impulsantwort:  $〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$

'''(2)'''   Der Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$.  Durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
:$$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }\cdot }f \cdot T_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }fT_{\rm A} }\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}H(f = 0) = 4.$$

'''(3)'''   Daraus folgt:  Die  '''zeitdiskrete Sprungantwort'''  $〈\sigma_ν〉$  tendiert für große  $\nu$  gegen  $4$.

'''(4)'''   Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  mit  $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  ergibt
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;2,\;1,\;0,\;1,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

'''(5)'''   Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  mit  $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  ergibt
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;3,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$}}

===Rekursives Filter   ⇒   IIR–Filter ===

{{BlaueBox|TEXT=
[[File:P_ID607__Sto_A_5_3.png|right|frame|Rekursives Filter erster Ordnung]]
$\text{Definition:}$ 
*Ist zumindest einer der Rückführungskoeffizienten  $b_{\mu} \ne 0$, so spricht von einem  '''rekursiven Filter'''  (siehe rechte Grafik).  Insbesondere in der englischsprachigen Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung  '''IIR Filter'''  (''Infinite Impulse Response'') gebräuchlich.  Dieses Filter wird in der Verrsuchsdurchführung ausführlich behandelt.

*Sind zusätzlich alle Vorwärtskoeffizienten identisch  $a_\mu = 0$  mit Ausnahme von  $a_0$,   so liegt ein  '''rein rekursives Filter'''  vor   (siehe linke Grafik).

[[File:P_ID554__Sto_T_5_2_S3_neu.png|left|frame| Rein rekursives Filter erster Ordnung]] }}

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall  &bdquo;Rein rekursives Filter erster Ordnung”.  Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:
*Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab:
:$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$
*Dies zeigt die folgende Rechung:
:$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + a_0 \cdot {b_1} ^2 \cdot x_{\nu - 2} + {b_1} ^3 \cdot y_{\nu - 3} = \text{...}. $$

*Die zeitdiskrete Impulsantwort ist definitionsgemäß der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei  $t =0$  anliegt.
:$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit  $M = 1$  bis ins Unendliche:
*Aus Stabilitätsgründen muss  $b_1 < 1$  gelten.
*Bei  $b_1 = 1$  würde sich die Impulsantwort  $h(t)$  bis ins Unendliche erstrecken und bei  $b_1 > 1$  würde  $h(t)$  sogar bis ins Unendliche anklingen.
*Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor  $b_1$  kleiner als die vorherige Diraclinie:
:$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
[[File:Sto_T_5_2_S3_version2.png |frame| Zeitdiskrete Impulsantwort | rechts]]
$\text{Beispiel 3:}$  Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.
*Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
*Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils  $b_1 = 0.6$.
}}

===Rekursives Filter als Sinus–Generator===
[[File:P_ID622__Sto_A_5_4.png|right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur '''ändern auf''' $T_{\rm A}$]]
Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist, wenn die Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  eine (zeitdiskrete) Diracfunktion ist:
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu \cdot T_{\rm A} \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Die fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $Z$-Transformation]:
:$$Z \{ {\sin ( {\nu T{\rm A}\cdot \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right) + 1}}.$$
Nach Umsetzung dieser Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung erhält man folgende Filterkoeffizienten:
:$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad b_2 = - 1.$$

*Auf die Filterkoeffizienten  $a_0$  und  $a_2$  kann verzichtet werden und  $b_2=-1$  hat einen festen Wert. 
*Die Kreisfrequenz  $\omega_0$  der Sinusschwingung wird also nur durch  $a_0$  und  $a_0$  festelegt.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$  Es gelte  $a_1 = 0.5$,  $b_1 = \sqrt 3$,  $x_0 = 1$  und  $x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$.

'''(1)'''  Dann gilt für die Ausgangswerte  $y_\nu$  zu den Zeitpunkten  $\nu \ge 0$:<br>
:*  $y_0 = 0;$
:*  $y_1 = 0.5$                                                                                         ⇒  die &bdquo;$1$” am Eingang wirkt sich wegen  $a_0= 0$  am Ausgang erst zum Zeitpunkt  $\nu = 1$  aus;
:*  $y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$                             ⇒   bei  $\nu = 2$  wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam;
:*  $y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$          ⇒  für  $\nu \ge 2$  ist das Filter rein rekursiv:     $y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$;
:*  $y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$
:*  $y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$
:*  $y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$
:*  $y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$

'''(2)'''  Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses erhält man für große  $\nu$–Werte:     $y_\nu = y_{\nu - 12} $   ⇒   $T_0/T_{\rm A}= 12.$ }}

==Versuchsdurchführung==

[[File:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer  '''1'''  ...  '''10'''  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

'''Noch ersetzen'''
In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:
*'''Rot''':     Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  (im Applet rot gezeichnet),
*'''Blau''':   Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  (im Applet blau gezeichnet).
'''bis hierher'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Die Filterkoeffizienten seien  $a_0=0.25$,  $a_1=0.5$, $a_2=0.25$,  $b_1=b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  <br>        Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$,  die Sprungantwort  $〈\sigma_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  jeweils in zeitdiskreter Darstellung.}}

:*  Aufgrund der fehlenden  $b$–Koeffizienten handelt es sich um ein nichtrekursives digitales Filter   ⇒   '''FIR–Filter'''  (''Finite impulse Response'').
:*  Die Impulsantwort setzt sich aus  $M+1=3$  Diraclinien gemäß den  $a$–Koeffizienten zusammen:    $〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $.
:*  Die Sprungantwort lautet:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $.  Der Endwert ist gleich dem Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$.
:*  Die Verzerrungen bei Anstieg und Abfall erkennt man auch aus der Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Wie unterscheiden sich die Ergebnisse mit  $a_2=-0.25$? }}

:*  Unter Berücksichtigung von  $H(f=0)= 0.5$  ergeben sich vergleichbare Folgen   ⇒   Sprungantwort:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Nun seien die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=0.9$  sowie  $a_1=a_2= b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$.}}

:*  Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter   ⇒   '''IIR–Filter'''  (''Infinite impulse Response'')  erster Ordnung.  Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass.
:*  Ausgehend von  $h_0= 1$  gilt  $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$,  $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$,  $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$,  usw.   ⇒   $〈h_ν〉$  reicht bis ins Unendliche.
:*  Impulsantwort  $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$  mit  $T$:  Schnittpunkt $($Tangente bei  $t=0$, Abszisse$)$   ⇒   $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$  mit  $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$.
:*  '''Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???''' 1.0 0.9048 0.8187 ...

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Die Filtereinstellung wird beibehalten.  Interpretieren Sie die Sprungantwort  $〈h_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$.  Welcher Wert ergibt sich für  $H(f=0)$?}}

:*  Die Sprungantwort ist das Ingral über die Impulsantwort  $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$   ⇒   $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$   ⇒   $\sigma_0=1$,  $\sigma_1=1.9$,  $\sigma_2=2.71$, ...
:*  Für große $\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)= 10$:  $\sigma_{40}=9.867$,  $\sigma_{50}=9.954$,  $\sigma_\infty=10$.
:* Die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  steigt mit einer Verzögerung von $2$ in gleicher Weise an wie  $〈\sigma_ν〉$.  Im Bereich  $\nu \ge 8$  fallen die  $\rho_ν$– Werte exponentiell ab.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wir betrachten weiterhin das Filter mitnbsp; $a_0=1$,  $b_1=0.9$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  Welche Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$ für die Eingangsfolge  $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ -0.5〉$? <br>        ''Hinweis'':  Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist.}}

:*  Man behilft sich, indem man den Koeffizienten  $a_2=-0.5$  setzt und dafür die Eingangsfolge auf   $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ 0.,\ \text{ ...}〉$   ⇒   „Diracfunktion” reduziert.
:*  Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters $($mit  $a_2=0)$  wurde in Aufgabe  '''(3)'''  ermittelt:   $h_0= 1$,   $h_1= 0.9$,   $h_2= 0.81$,   $h_3= 0.729$,   $h_4= 0.646$.  
:*  Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit:   $y_0 = h_0= 1$,   $y_1= h_1= 0.9$,   $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$,   $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$,   $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.  
:*  Vorsicht:  Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter $($mit  $a_2=-0.5)$  und nicht auf das eigentliche Filter $($mit  $a_2=0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=1$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  }}

:*  '''Das System ist instabil''':   Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang  $($zur Zeit  $t=0)$  bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe.
:*  Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=-1$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  }}
:*  Im Gegensatz zur Aufgabe  '''(6)'''  sind hier die Gewichte der Impulsantwort  $〈h_ν〉$  nicht konstant gleich  $1$, sondern alternierend  $\pm 1$.  Das System ist ebenfalls instabil.
:*  Bei der Sprunganwort  $〈\sigma_ν〉$  wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen  $0$  $($bei geradem $\nu)$  und  $1$  $($bei ungeradem $\nu)$  ab.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Wir betrachten den  &bdquo;Sinusgenerator”:  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1.$  Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in  $\text{Beispiel 4}$. <br>        Wie beinflussen die Parameter  $a_1$  und  $b_1$  die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und die Amplitude  $A$  der Sinusfunktion? }}
:*  $〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$   ⇒   $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$   ⇒   '''Sinus''',  Periode  $T_0/T_{\rm A}= 12$,  Amplitude  $1$.
:*  Die Vergrößerung/Verkleinerung von  $b_1$  führt zur größeren/kleineren Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und zur größeren/kleineren Amplitude  $A$.  Es muss  $b_1 < 2$  gelten. '''Stimmt das?'''
:*  $a_1$  beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer.  Für  $a_1$  gibt es keine Wertebegrenzumg.  Bei negativem  $a_1$  ergibt sich die Minus–Sinusfunktion.
:*  '''Gibt es hier keine Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Die Grundeinstellung bleibt erhalten.  Mit welchen  $a_1$  und  $b_1$ ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16$  und Amplitude  $A=1$? }}
:*  Durch Probieren erreicht man mit  $b_1= 1.8478$  tatsächlich die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16.$  Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf  $A=1.307$.
:*  Die Anpassung des Parameters   $a_1= 0.5/1.307=0.3826$  führt dann zur gewünschten Amplitude  $A=1$.
:*  Oder man kann das auch wie im Beispiel berechnen:  $b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$,     $a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Wir gehen weiter vom &bdquo;Sinusgenerator” aus.  Welche Modifikationen muss man vornehmen, um damit einen &bdquo;Cosinus” zu generieren?}}
:*    Mit  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1$  sowie  $〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$  ist die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  das zeitdiskrete Analogon der Sprungantwort  $\sigma(t)$.
:*  '''Hier noch auf die Diskrepanz zu sigma(t) wertkontinuierlich eingehen. Es fehlen noch einige Statements'''

==Zur Handhabung des Applets==
[[File:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    '''(B)'''     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    '''(C)'''     Vorauswahl für roten Parametersatz

    '''(D)'''     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    '''(E)'''     Graphische Darstellung der Verteilungen

    '''(F)'''     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    '''(G)'''     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    '''(H)'''     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    '''( I )'''     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung
<br clear=all>
<br>'''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
*Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2020 wurde das Programm von [[Andre Schulz]] (Bachelorarbeit LB, Betreuer: [[Benedikt Leible]] und [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) unter &bdquo;HTML5” neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|digitalfilters}}