Aufgaben:Exercise 4.09: Recursive Systematic Convolutional Codes

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Zustandsübergangsdiagramm eines RSC–Codes

In der Aufgabe A4.8 wurden bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodes aus dem Zustandsübergangsdiagramm abgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.

Nun wird ein Rate–1/2–RSC–Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht „RSC” für „Recursive Systematic Convolutional”.

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines RSC–Faltungscodes kann wie folgt angegeben werden:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \left [ 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G^{(2)}(D)/G^{(1)}(D) \right ]

\hspace{0.05cm}.$$

Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe A4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:

Systematische Faltungscodes (1)

Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1)

Definition der freien Distanz (1)

GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2)

Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes (2)

Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion

Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:

• Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$.
• Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes.
• Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
• In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
  • Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,
  • Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,
  • Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.

Fragebogen

1 Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?

	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.

2 Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$?

	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ ist stets auch $\underline{p}$ begrenzt.

3 Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktion $G(D)$?

	Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \ ... $
	Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$.
	Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$.

4 Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$?

	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Bei unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ ist stets auch $\underline{p}$ unbegrenzt.

5 Wie groß ist die freie Distanz dieses RSC–Coders?

$d_{\rm F} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)