Aufgaben:Exercise 1.2: Signal Classification

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predetermined characteristics

Three signal curves are shown on the Right:

• The blue signal  [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math]  is switched on at time  $t = 0$  and has the value  $t > 0$  den Wert  $1\,\text{V}$.
• The blue signal  [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math]  is for  $t < 0$  equals zero, jumps at  $t = 0$  to  $1\,\text{V}$  and then falls down with the time constant  $1\,\text{ms}$ . For  $t > 0$  the following applies:

[math]\displaystyle{ x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}. }[/math]

• Correspondingly, the signal shown in green applies to all times  $t$:

[math]\displaystyle{ x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}. }[/math]

You will now classify these three signals according to the following criteria:

• deterministic or stochastic,
• causal or acausal,
• energy limited or power limited,
• value-continuous or value-discrete,
• time-continuous or time-discrete.

Notes:

• This exercise belongs to the chapter   Klassifizierung von Signalen.

Questions

1 Which of the following statements are true?

	All signals considered here are deterministic.
	All signals considered here are of stochastic nature.
	The signals are always continuous in time.
	They are always signals of continuous value.

2 Which signals are causal according to the definition in the theory part?

	[math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math],
	[math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math],
	[math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math].

3 Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand  $R = 1\ Ω$  bezogene Energie  [math]\displaystyle{ E_2 }[/math]  des Signals  [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math].
Wie groß ist die Leistung  [math]\displaystyle{ P_2 }[/math]  dieses Signals?

[math]\displaystyle{ E_2 \ = \ }[/math] $\ \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$

[math]\displaystyle{ P_2 \ = \ }[/math] $\ \cdot \text{Vs}$

4 Which of the signals have a finite energy?

	[math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math],
	[math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math],
	[math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math].

Solutions

Solution

(1)  The solutions 1 and 3 are applicable:

• Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
• Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten  $t$  eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
• Die Signalamplituden von  [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math]  und  [math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math]  können alle beliebigen Werte zwischen  $0$  und  $1\,\text{V}$  annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
• Dagegen sind beim Signal  [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math]  nur die zwei Signalwerte  $0$  und  $1\,\text{V}$  möglich; es liegt ein wertdiskretes Signal vor.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten  $t < 0$  nicht existiert bzw. identisch Null ist. Dies gilt für die Signale  [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math]  und  [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math].
• Dagegen gehört  [math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math]  zur Klasse der akausalen Signale.

(3)  Nach der allgemeinen Definition gilt:

[math]\displaystyle{ E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t. }[/math]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze  $+\infty$. Man erhält:

[math]\displaystyle{ E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. }[/math]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt  $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt  [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math]  eine endliche Energie: 

$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$

• Die Energie des Signals  [math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math]  ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich  $t < 0$  den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich  $t > 0$. Also ist

$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$

• Beim Signal  [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math]  divergiert das Energieintegral:  $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf   ⇒   $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
• Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal  [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math]  in der Hälfte der Zeit  $(t < 0)$  identisch Null ist.
• Das Signal  [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math]  ist dementsprechend  leistungsbegrenzt.