Exercise 1.2: Signal Classification

Aufgabe zu Klassifizierung von Signalen

Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:

Das Signal [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math] wird genau zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
Das rote Signal [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math] ist für $t < 0$ identisch $0$, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ an und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:

[math]\displaystyle{ x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}. }[/math]

Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:

[math]\displaystyle{ x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}. }[/math]

Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:

deterministisch bzw. stochastisch,
kausal bzw. akausal,
energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.

Hinweis: Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen zu „Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung”

Musterlösung zu „Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung”

Solution

1. Zutreffend sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
Die Signalamplituden von [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math] und [math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math] können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
Dagegen sind beim Signal [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math] nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor.

2. Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die beiden ersten Signale [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math]. Dagegen gehört [math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math] zur Klasse der akausalen Signale.

3. Nach der allgemeinen Definition gilt:

[math]\displaystyle{ E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t. }[/math]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze $0$ und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält:

[math]\displaystyle{ E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. }[/math]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2 = 0$.

4. Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt [math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math] eine endliche Energie: $E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2}s. $

Die Energie des Signals [math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math] ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist $E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}$ ⇒ Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 2 und 3.

Beim Signal [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math] divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf ⇒ $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$ und ist dementsprechend leistungsbegrenzt. Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal [math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math] in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.

	Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
	Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
	Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
	Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

	[math]\displaystyle{ x_1(t) }[/math],
	[math]\displaystyle{ x_2(t) }[/math],
	[math]\displaystyle{ x_3(t) }[/math].